حاسبة التسلسل الرقمي والهندسي

تقوم بإيجاد الحد النوني من المتتاليات الحسابية والهندسية ومتواليات فيبوناتشي. في كل حالة، تقوم حاسبة التسلسل بإيجاد الحد التاسع من المتتالية.

تعليمات الاستخدام

حاسبة التسلسل الحسابي

استخدم حاسبة المتتالية الحسابية لإيجاد الحد n من المتتالية الحسابية. أدخل الرقم الأول من التسلسل والفرق المشترك (يشار إليه عادةً بالرمز f) ثم أدخل قيمة n للحصول على رقم n من التسلسل. على سبيل المثال، إذا كنت بحاجة إلى الحد العشرين، فأدخل n = 20 وستقوم الآلة الحاسبة بإرجاع قيمة الحد الـ 20 ومجموع كل الشروط حتى (بما في ذلك) مصطلح الحد الـ 20.

حاسبة التسلسل الهندسي

استخدم حاسبة التسلسل الهندسي لإيجاد الحد n من المتتابعة الهندسية. أدخل الرقم الأول من التسلسل، والنسبة الشائعة (يشار إليها عادةً بالرمز r)، وقيمة n ثم اضغط على "احسب". ستعيد الآلة الحاسبة قيمة الحد n من التسلسل ومجموع كل الأرقام حتى (بما في ذلك) الحد n

حاسبة تسلسل فيبوناتشي

استخدم حاسبة متتالية فيبوناتشي لإيجاد الحد n من متوالية فيبوناتشي. أدخل قيمة n، ثم اضغط على "حساب". ستعيد الآلة الحاسبة الحد n من التسلسل ومجموع كل الأرقام حتى (بما في ذلك) قيمة n.

تعريفات

المتتاليات الرياضية

في الرياضيات، يتم تعريف التسلسل الرقمي على أنه قائمة من الأرقام بالترتيب. "بالترتيب" تعني أن لكل رقم موقع ثابت. يُشار إلى التسلسل الرقمي على أنه قائمة من الأرقام مفصولة بفواصل ومحاطة بأقواس متعرجة. على سبيل المثال، {1, 3, 5, 7, 9} أو {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}

يُشار إلى كل مصطلح تسلسلي على أنه aₙ، حيث n - هو رقم هذا المصطلح. على سبيل المثال، في التسلسل {1, 3, 5, 7, 9} يكون a₁ = 1, a₂ = 3، وهكذا. يحتوي التسلسل الرقمي عادةً على قاعدة تسمح للشخص بالعثور على أي حد من هذا التسلسل. أكثر التسلسلات الثلاثة شيوعًا هي الحساب، والهندسة، وفيبوناتشي.

التسلسل الحسابي

الفرق بين أي حدين متجاورين هو ثابت في متتالية حسابية. إذا أشرنا إلى هذا الثابت كـ f، فسنحصل على aₙ₊₁ – aₙ = f لأي n بشكل عام، يمكن كتابة أي متتالية حسابية على النحو التالي:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

العنصران المهمان في أي متتالية حسابية هما المصطلح الأول a₁، والثابت f يسمى الفرق المشترك. بمعرفة هاتين القيمتين، يمكننا تدوين قاعدة المتتالية الحسابية:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

على سبيل المثال، لنجد الحد 9 من متتالية حسابية مع العلم a₁ = 2 و f = 1.2 علينا إيجاد الحد 9 لذلك n = 9 باستخدام قاعدة المتتالية الحسابية، نحصل على ما يلي على الفور:

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1.2 × 8 = 2 + 9.6 = 11.6

التسلسل الهندسي

في المتتابعة الهندسية، يمكن إيجاد كل حد بضرب الحد السابق في ثابت غير صفري. عادةً ما يُشار إلى هذا الثابت بالرمز r، وتسمى النسبة المشتركة. في تسلسل هندسي، aₙ₊₁ = aₙ × r بشكل عام، يمكن كتابة أي تسلسل هندسي على النحو التالي:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

بمعرفة الحد الأول والنسبة المشتركة، يمكن كتابة قاعدة التسلسل الهندسي على النحو التالي:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

على سبيل المثال، لنجد الحد الخامس من المتتابعة الهندسية مع a1 = 6، و r = 2. علينا إيجاد الحد الخامس. لذلك، n = 5

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

متتالية فيبوناتشي

تسلسل فيبوناتشي هو التسلسل التالي:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

في هذا التسلسل، يتم تعريف كل مصطلح على أنه مجموع المصطلحين السابقين:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

يتم تعريف المصطلحين الأولين من تسلسل فيبوناتشي بشكل عام على أنهما 0 و 1.

على عكس التسلسلات الأخرى، يبدأ تسلسل فيبوناتشي بـ a₀ وليس a₁! هذا يعني أن a₀ = 0، a₁ = 1، a₂ = 1، a₃ = 2، وهكذا.

النسبة الذهبية

يحتوي تسلسل فيبوناتشي على العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام، وأبرزها خاصية النسبة الذهبية. تعني هذه الخاصية أن نسبة أي رقمين متتاليين (بدءًا من a₃ و a₄) من متوالية فيبوناتشي قريبة من النسبة الذهبية، المقدرة تقريبًا بـ 1.618034، ويُشار إليها بالرمزϕ كلما زادت شروط التسلسل، كلما اقتربت نسبتها من النسبة الذهبية. على سبيل المثال،

a₄ / a₃ = 1.5

a₅ / a₄ = 1.67

a₆ / a₅ = 1.6

وما إلى ذلك وهكذا

يمكن أيضًا استخدام النسبة الذهبية للعثور على شروط تسلسل فيبوناتشي باستخدام الصيغة التالية:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

كلما زادت دقة القيمة الذهبية التي ستستخدمها، كلما اقتربت القيمة المحسوبة لـ من العدد الصحيح المقابل لتسلسل فيبوناتشي.

مثال من الحياة الواقعية

لنلقِ نظرة على مثال لاستخدام متتالية حسابية في الحياة الواقعية. تخيل أنك تريد تنظيم عشاء عطلة في مطعم. عادة، في هذا المطعم، يجلس الناس على طاولات مربعة صغيرة بحيث يتسع أربعة أشخاص في كل طاولة.

إذا قمت بنقل طاولتين معًا، يمكنك أن تستوعب 6 أشخاص. 3 طاولات تتسع لـ 8 أشخاص، وهكذا. يحتوي المطعم على 15 طاولة فقط، وأنت قادم مع مجموعة كبيرة من 40 شخصًا. هل سيكون هناك ما يكفي من الطاولات لاستيعاب الجميع على طاولة مشتركة كبيرة واحدة؟

الحل

يصف الموقف أعلاه تسلسلًا حسابيًا مع الاختلاف المشترك f = 2: a₁ = 4، a₂ = 6، a₃ = 8، ... يحتوي المطعم على 15 طاولة فقط. لذلك، فإن الحد الأخير من المتسلسلة سيكون a₁₅. لحل المشكلة، نحتاج إلى حساب قيمة a₁₅ ومقارنتها بعدد الأشخاص - 40. وباستخدام قاعدة المتتالية الحسابية، سنحصل على ما يلي:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32 الإجابة

لن يمنحك نقل جميع الطاولات معًا سوى 32 مقعدًا، وهو ما لا يكفي لوضع جميع الضيوف على طاولة واحدة.