Calculadora de Módulo

A operação Módulo é um método para encontrar o restante da operação de divisão. As especificidades do modulo são que ele devolve o restante como um número inteiro.

Considere que você tenha três filhos. Você compra uma caixa de balas contendo 20 delas. Você gostaria de dividir todos os doces de maneira uniforme e justa entre seus filhos. E comer os doces deixados você mesmo sem a necessidade de cortá-los ou parti-los. Seus filhos ainda estão na escola. Portanto, você pode determinar primeiro o restante após a divisão e comer seu número de balas.

Este é o caso quando você pode usar o operador de modulo. Ele também pode ser representado como o sinal % ou mod. Para operações com números pequenos, você pode realizar cálculos em sua mente. Se você estiver trabalhando com números grandes, você estará mais confortável usando uma calculadora de módulo.

A equação pode ser representada da seguinte forma:

Dividendo = (Quociente × Divisor) + Resto

Em nosso caso

• O dividendo é 20 (a quantidade total de balas).
• O divisor é 3 (o número de crianças).
• O quociente é 6 (o número de balas para cada criança).
• e o restante é 2 (o número de balas que você pode pegar para si mesmo).

Se você usar a operação de módulo, você pode escrevê-la na seguinte forma:

x % y = r

ou

x mod y = r

onde x é o dividendo, y é o divisor, e r é o restante).

Se você usar a operação de módulo, você pode escrevê-la na seguinte forma:

Em nosso caso,

20 % 3 = 2

Cálculos sem calculadora de módulo

Tomemos como exemplo um caso específico.

Wayan vive em Bali e está construindo uma pequena pousada com seis unidades residenciais. Ele vai pavimentar os banheiros. Seu vizinho, Gede, que já terminou de construir seu hotel, oferece à Wayan um desconto considerável para comprar os azulejos restantes.

O vizinho contou 15 caixas em seu armazém, cada uma contendo 4 (60x60 cm) azulejos e dois azulejos separadamente. Portanto, são 62 azulejos no total. E Gede quer vender todos os azulejos de uma só vez.

Agora Wayan precisa descobrir quantos banheiros ele será capaz de pavimentar com estes azulejos. E quantos azulejos possivelmente ficarão sem uso.

Como encontrar o módulo manualmente sem nenhuma calculadora de operador de módulo?

Wayan mediu o tamanho de um banheiro padrão em sua casa de hóspedes e percebeu que ele precisava de cerca de 14 azulejos por quarto.

Vamos fazer os cálculos manuais!

1. Decidir sobre um número inicial ou dividendo. Em nosso caso, são 62, ou o número de azulejos que o vizinho oferece.
2. 2. Determinar o divisor. Este é 14 — o número médio de azulejos para um banheiro padrão.
3. Dividir o dividendo pelo divisor e arredondar o resultado para um número inteiro. 62 / 14 = 4,428571428571429 ou 4. Portanto, Wayan pode usar os azulejos para quatro banheiros.
4. Multiplicar o resultado arredondado da divisão pelo divisor. E isso é 4 × 14 = 56. Este será o número de azulejos para quatro quartos.
5. Subtraia este resultado da multiplicação do dividendo original. Ou seja, 62 - 56 = 6. Isto deixa Wayan com seis azulejos extras.

De uma forma simplificada e abreviada, podemos escrever esta operação como: 62 % 14 = 6 ou 62 mod 14 = 6.

Wayan decidiu que esta é uma boa opção porque ele deveria fazer uma reserva de azulejos de cerca de 10% para o trabalho de azulejos em caso de corte ou mal-entendidos. E ele comprará os azulejos para os outros dois banheiros em uma loja de construção local.

Uma calculadora de módulo poderia fornecer este resultado em apenas alguns segundos.

Demonstração de Relógio do Princípio de Módulo

Um tipo de matemática chamada "aritmética modular" lida com estruturas cíclicas. A maneira mais fácil de representar isto é um disco com um ciclo de 12. Para um matemático, o disco é o mod 12.

Se você quiser ver se pode dividir 251 horas por dias sem um resto, você pode aplicar a operação 251 mod 24.

O resultado é 11, então a resposta é não! Só podemos responder "sim" se o resultado for 0.

Outro exemplo: Daniel quer pegar um ônibus de Atlanta para Miami. Ele sai às 13h e a estrada leva 15 horas. Que horas serão quando ele chegar? Isso seria 1 + 15 mod 12, que é 4. No caso dele, serão 4 da manhã.

Usando o Módulo

Determinando Números Pares e Ímpares

Um dos usos mais básicos do operador do módulo é determinar se um número é par ou ímpar. Isto é possível porque x % 2 sempre retorna ou 0 ou 1. Os números pares sempre retornam 0 porque são divididos uniformemente por 2, enquanto os números ímpares sempre retornam um número restante de 1.

O caso mais comum de utilização do modulo na programação é quando se imprime uma tabela em sua aplicação e se deseja alternar as cores nas linhas. Você pode desejar colori-las de azul claro e cinza claro, então você verifica o modulo para ver se você está em uma linha par ou ímpar.

Conversão de unidades

A conversão de unidades é um exemplo típico do uso prático da operação de módulo É normalmente usada quando queremos converter uma unidade menor, como minutos ou polegadas ou centímetros, para uma unidade maior, como horas ou milhas ou quilômetros. Números decimais ou fracionários nem sempre são úteis em tais situações.

Por exemplo, se quisermos saber o número de horas em 373 minutos, um resultado expresso como 6 horas e 13 minutos pode ser mais valioso que 6,2166666666666666667 horas.

A divisão padrão (com arredondamento para o número inteiro mais próximo) determina o número de horas, e a operação do módulo é usada para contabilizar os minutos restantes. Seja lidando com tempo, distância, pressão, energia ou armazenamento de dados, você pode usar esta abordagem geral para converter unidades.

Determinando um Ano Bissexto

Outro exemplo de utilização do operador do módulo é ver se um ano é um ano bissexto.

Um ano bissexto é um ano civil que contém um dia extra no calendário solar. O dia extra em um ano bissexto é 29 de fevereiro.

Em 1º de janeiro de 45 a.C., o ditador romano Caio Júlio César apresentou o calendário desenvolvido em Roma por astrônomos alexandrinos. O calendário foi baseado no cálculo de que um ano astronômico é de aproximadamente 365,25 dias (365 dias e 6 horas). Este calendário foi chamado de calendário juliano.

Para equalizar o turno de seis horas, César introduziu um ano bissexto. Três anos seguidos tinham 365 dias, e em cada ano, um dia extra era acrescentado em fevereiro.

Entretanto, com o passar do tempo, descobriu-se que esta regra por si só não era suficiente.

O ano tropical médio (o tempo entre os dois equinócios vernais) é mais precisamente cerca de 365 dias e 5 horas e 49 minutos. A diferença entre o ano tropical médio e o ano civil juliano (365 dias e 6 horas) era de cerca de 11 minutos. Assim, em cerca de 128 anos, esses 11 minutos poderiam somar um dia inteiro a mais.

Para compensar os erros acumulados e evitar uma mudança semelhante no futuro, o Papa Gregório XIII reformou o calendário em 1582. Ele acrescentou regras adicionais para os anos bissextos. Os anos bissextos ainda eram um múltiplo de quatro, mas foram feitas exceções para aqueles que eram um múltiplo de 100. Tais anos bissextos eram anos bissextos somente se também fossem divisíveis por 400.

As regras para determinar o ano bissexto se tornaram as seguintes:

• Um ano cujo número é múltiplo de 400 é um ano bissexto.
• O resto dos anos cujo total é um múltiplo de 100 não são anos bissextos (por exemplo, os anos 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300);
• O resto dos anos, cujo número é múltiplo de 4, são anos bissextos.
• Todos os outros anos não são anos bissextos.

Desta forma, os anos 1700, 1800 e 1900 não são anos bissextos, pois são um múltiplo de 100 e não um múltiplo de 400. Os anos 1600 e 2000 são anos bissextos, já que são um múltiplo de 400.

Vamos voltar ao nosso problema.

Nós sabemos que:

• Se um ano número mod 4 = 0, e um ano número mod 100 ≠ 0, então é um ano bissexto.
• Se um número de ano mod 400 = 0, então é um ano bissexto.
• Em qualquer outro caso, não é um ano bissexto.

Com um simples script de Python, você pode dizer se um ano é um ano bissexto ou não. Será parecido com isto:

ano = int(input(Insira o ano: '))

if (ano%4 == 0 and ano%100 != 0) or (ano%400 == 0) :

	print(ano, " é um ano bissexto.")

else :

	print(ano, "não é um ano bissexto.")

As aplicações populares do operador de módulo na programação incluem:

• determinar se algo é par ou ímpar,
• realizar uma operação específica em cada item em uma lista,
• restringindo o número à faixa.
• girando através de opções limitadas (Vetor Circular),
• reversão de um número,
• conversão de dados lineares em uma matriz,
• determinando se as matrizes são versões rotativas umas das outras,
• paginação.

Geradores de números aleatórios

A correspondência de módulo é muitas vezes usada em equipamentos de informática e telecomunicações para criar números de controle e obter números aleatórios em uma faixa limitada, como um gerador de números aleatórios congruente. Derrick Henry Lemer propôs o método de correspondência linear congruente em 1949.

O método do congruente linear funciona de acordo com a fórmula:

$$X_{n+1} = (a × X_n + c)\mod m$$

Onde

• m é o modulo,
• a é o multiplicador,
• c é o incremento,
• X₀ é o valor inicial.

Por exemplo, para m = 11, X₀ = 9, a = 9, c = 9, obtemos as seguintes séries de números aleatórios:

9, 2, 5, 10, 0, 9, 2, 5, 10, 0, 9

Criptografia

Os criptógrafos adoram o mod porque quando usado com números realmente grandes, você pode criar algo conhecido como "funções unidirecionais". Estas funções especiais facilitam o cálculo de algo em uma direção, mas não na direção oposta.

Se 9 é o resultado da quadratura, você pode facilmente determinar que a entrada foi 3. Você pode imaginar todo o processo na sua frente do início ao fim. Se eu lhe disser que o 9 é o resultado do mod 29, é mais difícil de descobrir o que está na entrada.

Os criptógrafos gostam desta ideia porque podem usar a divisão com o restante para gerar números primos gigantes para criar chaves criptográficas.

Conclusão

Quer você esteja tentando distribuir objetos uniformemente em uma caixa de armazenamento, sabendo se um número é divisível por outro número, ou simplesmente tentando calcular o tempo, a aritmética modular está sempre presente. Em todos estes casos, o restante é tão crucial quanto o quociente na operação de divisão.

Às vezes, o problema em questão é simples e intuitivo. Entretanto, é sempre melhor usar a calculadora de módulo online para encontrar a solução quando as coisas são complicadas.