Калькулятор квадратного уравнения

Калькулятор квадратного уравнения

Квадратные уравнения являются важной частью школьной и университетской программы по математике. Например, решение квадратного уравнения предоставляет разную информацию, такую как темпы изменения, подъемы и спады функции. Нахождение решения квадратного уравнения требует выполнения ряда алгебраических и арифметических операций. Несмотря на то, что решение имеет стандартную форму, на выполнение математических операций вручную уходит время.

Онлайн-калькулятор квадратичных формул - это простой в использовании инструмент, который мгновенно предоставляет пользователю решение квадратного уравнения. Этот бесплатный инструмент дает ответы и показывает шаги, которые применяются при решении уравнения. Таким образом, пользователь получает концептуальное представление о решении задачи, числовые результаты и пошаговое руководство по решению.

Квадратные уравнения

Квадратное уравнение, иногда называемое квадратичной функцией или полиномом второй степени, — это алгебраическое уравнение, имеющее общий вид ax²+bx+c=0, где x - неизвестная переменная, которую необходимо найти. Члены A и B являются коэффициентами x² и x, соответственно, а C - константа. Термин "квадратное" или "второй степени" происходит от того, что наибольшая экспонента переменной x равна 2, как в x². Некоторые примеры квадратичных уравнений приведены ниже.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

Уравнение 2x²=0 также является квадратным уравнением с b=0 и c=0. Однако 2x+3=0 не является квадратным уравнением, так как квадратичный член ax² не встречается в уравнении. Как было показано в предыдущих примерах, значения A, B и C могут быть целыми положительными/отрицательными числами или десятичными дробями, такими, что a≠0.

Решение квадратных уравнений

Количество возможных решений уравнения равно наибольшему значению экспоненты в уравнении. В данном контексте квадратное уравнение может иметь максимум два решения. Одним из способов решения квадратичной функции является использование квадратичной формулы, представленной в уравнении (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Вы можете записать компактную форму для квадратичной формулы в виде:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Это простое решение, где пользователь может подставить значения a, b и c, чтобы получить значения x₁ и x₂. В зависимости от значения дискриминанта, обозначаемого членом под квадратным корнем b²-4ac, количество и характер решения меняется. Мы можем рассмотреть три случая:

• Если дискриминант положителен; b²-4ac>0, то существуют два действительных решения (x₁≠x₂).
• Если дискриминант равен нулю; b²-4ac=0, то существует одно действительное решение (x₁=x₂)
• Если дискриминант отрицательный; b²-4ac<0, то существуют два комплексных решения (x₁≠x₂)

Пример каждого случая будет приведен в разделе "Примеры".

Графически, на координатной плоскости x-y, где y является функцией x, читатель может визуально представить решение(я) квадратичной функции как x-координату(ы) точек(ы), где функция y пересекает ось x.

Использование калькулятора квадратичных формул

Калькулятор решения квадратичных формул может решать все квадратные уравнения независимо от характера решения (вещественного или комплексного). Калькулятор принимает три входных значения, а именно A, B и C. В некоторых случаях перед использованием калькулятора пользователю необходимо выполнить некоторые манипуляции с уравнением.

В уравнении 2x² = x + 3 пользователю нужно просто переместить члены из правой части в левую. В результате чего получится 2x²-x-3=0, где a = 2, b = -1 и c = - 3.

Более того, если рассматривать 4(x²-0,2x)=1, пользователь должен раскрыть скобки, написав 4x²-0,8x=1, затем перенести члены в левой части в правую, чтобы привести уравнение к общему виду 4x²-0,8x-1=0, где a = 4, b=-0.8 и c=-1.

Примеры

В этом разделе три примера могут объяснить три возможных случая решения квадратного уравнения с помощью калькулятора квадратных уравнений.

Пример 1: Два решения

Требуется найти решение(я) квадратичной функции y₁, заданной в виде y₁=x²-8x+12 и показанной на рисунке 1. Интуитивно понятно, что цель состоит в том, чтобы найти x-координату точки, где функция y₁ пересекает ось x - если таковая существует.

Рисунок 1: График y₁=x²-8x+12

Сначала функцию приравнивают к нулю (y₁ заменяют на 0), получая x²-8x+12=0. Видно, что последнее уравнение имеет стандартную форму квадратного уравнения, где a=1, b=-8 и c=12. Здесь можно напрямую использовать калькулятор формул квадратных уравнений.

Если проверить значение дискриминанта b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, то квадратичная функция должна иметь два действительных решения. Нажав на кнопку "Вычислить", калькулятор выдает численное решение вместе с шагами решения, используя формулу квадратичной функции, приведенную в упр. (1).

Важно отметить, что после ввода значений A, B и C калькулятор выводит уравнение. Пользователь может проверить, что отображаемое уравнение совпадает с имеющимся уравнением, чтобы избежать ошибок при вводе.

• Уравнение: x²-8x+12=0

• Решение: x₁=2 и x₂=6

• Шаги:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ или \ 2$$

Таким образом, решение равно x₁=2 и x₂=6. Результаты можно подтвердить графически, проверив пересечение функции с осью x. На рисунке 2 показано, что функция пересекает ось x в указанных выше точках.

Рисунок 2: График y₁=x²-8x+12

Пример 2: Одно вещественное решение

Рассмотрим другую функцию y₂-3x²+25=-4x²+10x. Перед использованием калькулятора, начальным шагом будет выделение y₂ на одной стороне и сбор всех остальных членов на другой стороне в виде y₂=-4x²+10x+3x²-25. Приравнивая y₂ к нулю и выполняя арифметические действия, получим общий вид -x²+10x-25=0 при a=-1, b=10 и c=-25.

Дискриминант равен нулю b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, поэтому пользователь ожидает единственное решение. Тогда калькулятор квадратичных формул можно использовать для нахождения x₁=x₂=5.

• Уравнение: -x²+10x–25=0

• Решение: x = 5

• Шаги:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

На рисунке 3 показан график y₂, где видно, что функция пересекает ось x в одной точке.

Рисунок 3: y₂=-x²+10x-25

Пример 3: Два комплексных решения

Наконец, можно рассмотреть y₃=x²-4x+8, чтобы показать, как квадратичная функция может иметь два комплексных решения. На рисунке 4 показано, что y₃ не пересекает ось x.

Рисунок 4: y₃=x²-4x+8

Если посмотреть на b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0, что указывает на существование двух комплексных решений, но что это такое?

Комплексное число - это число, которое выражается в виде комбинации действительных и мнимых чисел и имеет вид a+ib.

В данном случае "i" в комплексных числах обозначает мнимую единицу, представляющую собой квадратный корень из -1.

Термин A обозначает действительную часть комплексного числа (Re). С другой стороны, ib - это мнимое число (Im), где i=√-1.

Когда член b²-4ac меньше нуля, квадратный корень будет содержать отрицательное число. Таким образом, извлечение квадратного корня из отрицательного числа требует использования комплексных чисел.

Вернемся к поиску решения x²-4x+8=0; калькулятор решает уравнение и находит x₁=2+2i и x₂=2-2i.

• Уравнение: x²–4x+8=0

• Есть два варианта: x=2±2i

• Шаги:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Область применения и советы

Калькулятор квадратичных формул предназначен для учащихся школ и университетов или всех, кто ищет быстрое решение квадратичной функции. Квадратичные функции можно найти в инженерном деле, экономике, сельском хозяйстве и т.д.

Несмотря на простоту использования инструмента, пользователь должен уметь выполнять основные арифметические действия, чтобы привести уравнение к стандартной квадратичной форме ax²+bx+c=0. Более того, желательно (но не обязательно) быть знакомым с комплексными числами, поскольку решением квадратного уравнения может быть пара комплексных чисел.

Пользователь также может быть заинтересован в использовании некоторых инструментов построения графиков для визуализации функции и ее решений.