算術および幾何学的シーケンス計算機

この数列計算機には、算術、幾何学、フィボナッチまたは再帰数列計算機が含まれています。いずれの場合も、シーケンス計算機はシーケンスのn番目の項を見つけます。

使用方法

算術シーケンス計算機

算術数列計算機を使用して、算術数列の nᵗʰ 項を見つけます。 数列の最初の数と公差 (通常は f で表されます) を入力します。 次に、n の値を入力して、シーケンスの nᵗʰ 数を取得します。 たとえば、20 番目の項が必要な場合は、n = 20 と入力します。電卓は、20ᵗʰ の値と、20ᵗʰ 項まで (および 20ᵗʰ 項を含む) のすべての項の合計を返します。

幾何学的シーケンス計算機

幾何学的数列計算機を使用して、幾何学的数列の nᵗʰ 項を見つけます。 数列の最初の数、公比 (通常は r で表される) 、および n の値を入力します。 次に”計算する”を押します。 電卓は、数列の nᵗʰ 項の値と、nᵗʰ 項まで (および nᵗʰ 項を含む) のすべての数値の合計を返します。

フィボナッチ数列計算機

フィボナッチ数列計算機を使用して、フィボナッチ数列の nᵗʰ 項を見つけます。 n の値を入力し、”計算”を押します。 電卓は、数列の nᵗʰ 項と、nᵗʰ 値まで (および nᵗʰ 値を含む) のすべての数値の合計を返します。

定義

数学的数列

数学では、数列は順番に数字のリストとして定義されます。「順番に」とは、各番号が固定位置にあることを意味します。番号シーケンスは、コンマで区切られ、中括弧で囲まれた数値のリストとして示されます。例えば {1, 3, 5, 7, 9} or {0, 1, 0, 1, 0, 1,}.

各シーケンス項は aₙ で表されます。ここで、n – はその項の番号です。 たとえば、シーケンス {1, 3, 5, 7, 9} では、a₁ = 1、a₂ = 3 などです。 数列には通常、その数列の任意の項を見つけることができる規則があります。 最も一般的に使用される 3 つの数列は、算術、幾何学、およびフィボナッチです。

算術シーケンス

隣接する2つの項の差は、算術シーケンスの定数です。その定数をfとして表すと、aₙ₊₁ – aₙ = f, 任意のnに対して。一般に、任意の算術シーケンスは次のように書くことができます:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f,}

算術シーケンスの2つの重要な要素は、最初の項a₁と、共通差と呼ばれる定数fです。これらの2つの値を知っていれば、算術シーケンスのルールを書き留めることができます:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

たとえば、a₁ = 2 および f = 1.2 の算術数列の 9ᵗʰ 項を見つけてみましょう。 9ᵗʰ 項を見つける必要があります。 したがって、n = 9 です。算術数列規則を使用すると、すぐに次の結果が得られます:

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1.2 × 8 = 2 + 9.6 = 11.6

等比数列

幾何学的シーケンスでは、各項は、前の項にゼロ以外の定数を掛けることによって見つけることができます。その定数は通常、共通比と呼ばれるrとして表されます。幾何学的シーケンスで, aₙ₊₁ = aₙ × r. 一般に、任意の幾何学的シーケンスは次のように書くことができます:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

最初の項と共通の比率を知っていると、幾何学的シーケンスのルールは次のように書くことができます:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

たとえば、a1 = 6、r = 2 の等比数列の第 5 項を見つけてみましょう。第 5 項を見つける必要があります。 したがって、n = 5 です。

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

フィボナッチ数列

フィボナッチ数列は以下の数列:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

このシーケンスでは、各項は前の 2 つの項の合計として定義されます:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

フィボナッチ数列の最初の2つの項は、一般的に0と1として定義されます。 他のシーケンスとは異なり、フィボナッチシーケンスはa₁ではなくa₀で始まります。これは、a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2などを意味します。

黄金比

フィボナッチ数列には多くの興味深い特性があり、最も注目すべきは黄金比の特性です。 この特性は、フィボナッチ数列の任意の 2 つの連続した数値 (a3 と a4 で始まる) の比率が黄金比に近く、およそ 1.618034 と推定され、ϕ として示されることを意味します。 数列の項が大きいほど、それらの比率は黄金比に近づきます。 例えば、

a₄ / a₃ = 1.5

a₅ / a₄ = 1.67

a₆ / a₅ = 1.6

などなど 黄金比は、次の式を使用してフィボナッチ数列の項を見つけるためにも使用できます:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

使用する黄金比の値の精度が高いほど、計算された値はフィボナッチ数列の対応する整数に近くなります。

実生活の例

実生活で算術シーケンスを使用する例を見てみましょう。レストランでホリデーディナーを開催したいとします。通常、このレストランでは、人々は小さな正方形のテーブルに座って、各テーブルに4人が収まるようにします。

2つのテーブルを一緒に移動させると、6人掛けが可能です。3つのテーブルは8人乗りになります。店内はテーブル席が15席しかなく、40人という大きなグループで来ています。1つの大きな共同テーブルに全員を着席させるのに十分なテーブルがありますか?

解決

上記の状況は、公差 f = 2 の算術数列を表しています: a₁ = 4、a₂ = 6、a₃ = 8、… レストランには15テーブルしかありません。 したがって、シーケンスの最後の項は a₁₅ になります。 この問題を解決するには、a₁₅ の値を計算し、それを人数 - 40 と比較する必要があります。算術数列規則を使用すると、次の結果が得られます。:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

答え

すべてのテーブルを一緒に移動すると、32席しか得られず、すべてのゲストを1つのテーブルに置くには不十分です。