Calculadora de Sequência Numérica

Esta calculadora de sequência numérica inclui aritmética, geométrica e Fibonacci ou calculadora de sequência recursiva. Em cada caso, a calculadora de sequências encontra o enésimo termo da sequência.

Instruções de uso

Calculadora de sequência aritmética

Use a calculadora de sequência aritmética para encontrar o enésimo termo da sequência aritmética. Digite o primeiro número da sequência e a diferença comum (geralmente designada como f). Em seguida, digite o valor de n para obter o enésimo número da sequência. Por exemplo, se você precisar do vigésimo termo, digite n = 20. A calculadora retornará o valor do vigésimo e a soma de todos os termos até (e inclusive) o vigésimo termo.

Calculadora de sequência geométrica

Use a calculadora de sequência geométrica para encontrar o enésimo termo da sequência geométrica. Digite o primeiro número da sequência, a razão comum (geralmente designada como r), e o valor de n. Em seguida, pressione "Calcular". A calculadora retornará o valor do enésimo termo da sequência e a soma de todos os números até (e inclusive) o enésimo termo.

Calculadora de Sequência de Fibonacci

Use a calculadora de sequência de Fibonacci para encontrar o enésimo termo da sequência de Fibonacci. Digite o valor de n, e pressione "Calcular". A calculadora retornará o enésimo termo da sequência e a soma de todos os números até (e inclusive) o enésimo valor.

Para esvaziar os campos de entrada em cada calculadora, pressione "Limpar".

Definições

Sequências matemáticas

Em matemática, uma sequência numérica é definida como uma lista de números em ordem. "Em ordem" significa que cada número tem uma posição fixa. Uma sequência numérica é designada como uma lista de números separados por vírgulas e entre parênteses retos. Por exemplo, {1, 3, 5, 7, 9} ou {0, 1, 0, 1, 0, 1, …}.

Cada termo sequencial é denotado como aₙ, onde n – é o número desse termo. Por exemplo, na sequência {1, 3, 5, 7, 9} a₁ = 1, a₂ = 3, e assim por diante. Uma sequência numérica geralmente tem uma regra que permite encontrar qualquer termo dessa sequência. As três sequências mais comumente usadas são aritmética, geométrica e Fibonacci.

Sequência aritmética

A diferença entre quaisquer dois termos vizinhos é uma constante em uma sequência aritmética. Se denotarmos essa constante como f, teremos aₙ₊₁ – aₙ = f, para qualquer n. Em geral, qualquer sequência aritmética pode ser escrita da seguinte forma:

{a₁, a₁ + f, a₁ + 2f, a₁ + 3f, …}

Os dois elementos importantes de qualquer sequência aritmética são o primeiro termo a₁, e a constante f chamada de diferença comum. Conhecendo estes dois valores, podemos escrever a regra da sequência aritmética:

aₙ = a₁ + f × (n-1)

Por exemplo, vamos encontrar o enésimo termo de uma sequência aritmética com a₁ = 2 e f = 1,2. Precisamos encontrar o enésimo termo. Portanto, n = 9. Usando a regra da sequência aritmética, obtemos imediatamente o seguinte:

a₉ = 2 + 1.2 × (9-1) = 2 + 1,2 × 8 = 2 + 9,6 = 11,6

Sequência geométrica

Em uma sequência geométrica, cada termo pode ser encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante não-zero. Essa constante é normalmente designada como r, chamada de razão comum. Em uma sequência geométrica, aₙ₊₁ = aₙ × r. Em geral, qualquer sequência geométrica pode ser escrita da seguinte forma:

{a₁, a₁ × r, a₁ × r², a₁ × r³, …}

Conhecendo o primeiro termo e a relação comum, a regra da sequência geométrica pode ser escrita da seguinte forma:

aₙ = a₁ × rⁿ⁻¹

Por exemplo, vamos encontrar o 5º termo da sequência geométrica com a1 = 6, e r = 2. Precisamos encontrar o 5° termo. Portanto, n = 5.

a₅ = a₁ × r⁵⁻¹ = 6 × 2⁴ = 6 × 16 = 96

Sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci é a seguinte:

{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …}

Nesta sequência, cada termo é definido como a soma de dois termos anteriores:

aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂

Os dois primeiros termos de uma sequência de Fibonacci são comumente definidos como 0 e 1.

Ao contrário de outras sequências, a sequência de Fibonacci começa com a₀, não a₁! Isso significa que a₀ = 0, a₁ = 1, a₂ = 1, a₃ = 2, e assim por diante.

Proporção áurea

A sequência de Fibonacci tem muitas propriedades interessantes, sendo a mais notável a proporção áurea. Esta propriedade significa que a proporção de quaisquer dois números consecutivos (começando com a₃ e a₄) da sequência de Fibonacci está próxima da proporção áurea, estimada aproximadamente em 1,618034, e denotada como ϕ. Quanto maiores forem os termos da sequência, mais próxima a proporção deles estará da proporção áurea. Por exemplo,

a₄ / a₃ = 1,5

a₅ / a₄ = 1,67

a₆ / a₅ = 1,6

e assim por diante

A proporção áurea também pode ser usada para encontrar os termos da sequência de Fibonacci usando a seguinte fórmula:

$$aₙ=\frac{φⁿ-(1-φ)ⁿ}{\sqrt{5}}$$

Quanto mais preciso o valor da proporção áurea que você vai usar, mais próximo o valor calculado de um será o inteiro correspondente da sequência de Fibonacci.

Exemplo na vida real

Vejamos um exemplo de utilização de uma sequência aritmética na vida real. Imagine que você quer organizar um jantar de férias em um restaurante. Normalmente, neste restaurante, as pessoas se sentam em pequenas mesas quadradas para que quatro pessoas caibam em cada mesa.

Se você mover duas mesas juntas, você pode sentar 6 pessoas. 3 mesas sentariam 8 pessoas, e assim por diante. O restaurante tem apenas 15 mesas, e você vem com um grande grupo de 40 pessoas. Haverá mesas suficientes para sentar todos em uma grande mesa conjunta?

Solução

A situação acima descreve uma sequência aritmética com a diferença comum f = 2: a₁ = 4, a₂ = 6, a₃ = 8, … O restaurante tem apenas 15 mesas. Portanto, o último termo da sequência será a₁₅. Para resolver o problema, precisamos calcular o valor de a₁₅ e compará-lo com o número de pessoas – 40. Usando a regra da sequência aritmética, teremos o seguinte:

a₁₅ = a₁ + f × (15-1) = 4 + 2 × 14 = 4 + 28 = 32

Resposta

Movendo todas as mesas juntas, você terá apenas 32 assentos, o que é insuficiente para colocar todos os convidados em uma só mesa.