质因数分解计算器

这个在线因数分解计算器可以找到输入数字的所有质因数。计算器以通用形式、指数形式和CSV格式展示质因数。此外，这个因数分解计算器还可以创建质因数树，并找到给定数字的所有（不仅仅是质数）因数。

使用说明

要使用这个计算器找到一个数字的质因数，请输入给定的数字并按“计算”。计算器将以通用形式、指数形式和CSV格式的列表返回该数字的质因数。

您还可以选择创建一个因数分解树，并有可能找到给定数字的所有因数。通过勾选相应的框来选择这些选项。

输入值的限制

• 输入值应为整数；不接受小数和分数。
• 只能使用大于1的正整数作为输入值。
• 数字的长度不能超过13位数（不含千位的逗号分隔），即输入数字的值应该小于10,000,000,000,000或10000000000000。因此，最大输入值为9,999,999,999,999或9999999999999。

质数和合数

质数是大于1的整数，不能被其他整数整除。换句话说，质数是大于1的整数，不能通过乘以其他整数得到。最小的质数是2、3、5、7、11、13、17、…（注意只有一个质数是偶数——2，所有其他质数都是奇数）。

上述列表中的第n个质数可以表示为Prime[n]。这样，Prime[1]=2，Prime[2]=3，Prime[3]=5，依此类推。这个在线计算器将展示每个识别出的质数的索引n，直到n=5000。

合数是大于1的整数，可以通过乘以其他整数得到。例如，6是一个合数，因为6=3×2。12是一个合数，因为12=6×2=3×2×2。

数字因数分解

你相乘得到另一个整数的数字被称为因数。如上所述，3和2是6的因数。由于6也可以通过1和6相乘得到：6 = 1 × 6，1和6也是6的因数。最后，6的所有因数是1、2、3和6。

任何质数的唯一因数是1和它本身。例如，17的因数是1和17。

质因数分解是找出所有可以相乘得到给定数字的质数的过程。注意，一个数字的质因数分解与找出那个数字的所有因数是不同的。

例如，12的所有因数是1、2、3、4、6、12。这些因数被写成一个列表。

而12的质因数分解看起来是这样的：12 = 2 × 2 × 3。在质因数分解中，我们只得到质数形式的结果。

质因数分解算法

试除法

让我们看看最直观的质因数分解方法，有时称为试除法，以一个例子来识别36的质因数。由于我们知道所有的质数，我们可以检查给定的数字是否可以被它们中的任何一个整除。最简单的方法是从最小的质数开始，即2：

36 ÷ 2 = 18

这次除法的结果是一个整数。因此，2是36的一个质因数。但18还不是质数，所以我们继续检查18是否可以被2整除：

18 ÷ 2 = 9

9也是一个整数。因此，18可以被2整除。

我们再试一次：9 ÷ 2 = 4.5。这不是一个整数。因此，9不能被2整除。

让我们尝试下一个质数，3。9 ÷ 3 = 3。这是一个整数，所以成功了！而且，3已经是质数，这意味着我们已经达到了过程的最后一步！现在我们只需要写下最终答案：

36 = 2 × 2 × 3 × 3

这是写下一个数字的质因数分解的通用方式。它也可以使用指数这样写：

36 = 2² × 3²

质因数树

质因数分解过程也可以用“树”来说明。36的质因数树看起来会是这样：

试除法（任何因数）

有时，如果我们首先将数字表示为两个其他（非质数）数字的乘积，然后识别它们的质因数，质因数分解过程会变得更容易。例如，让我们找出48的质因数。从48 = 6 × 8开始更容易，因为你可能心里已经知道了。然后我们必须找到6的质因数：6 = 2 × 3，和8的质因数：8 = 2 × 2 × 2。最后，48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹。

算术基本定理

任何大于1的正整数都可以由一组唯一的质因数构成。这个定理有时被称为质因数分解定理。

现实生活中的应用

质数在密码学和网络安全中被用来加密和解密信息。我们已经知道，任何数字都可以表示为一组质数的乘积，并且这组是唯一的。正是质数的这种特性，使得它们非常适合用于加密。

更方便的是，即使对于现代计算机来说，找到非常大的数字的质因数仍然是一个非常耗时的任务。这也是为什么这个页面上的计算器不能处理无限大的数字。

使用质数进行加密的核心原理是，取两个大质数并将它们相乘以创建一个更大的合数相对容易。然而，将那个最终的数字分解回原来的质数却是极其困难的。

想象一下取两个10位的质数并将它们相乘得到一个位数更多的数字。现在想象通过试除法对那个数字进行质因数分解的过程...

这是一个如此漫长的过程，以至于当前没有计算机可以在任何合理的时间内找到给定问题中的两个初始质数。但是，随着量子计算机的发展，这种情况将来可能会改变。