Calculadora de factorización prima

Esta calculadora de factorización en línea encuentra todos los factores primos del número de entrada. La calculadora muestra los factores primos en forma general, así como en forma exponencial y en formato CSV. Además, esta calculadora de factorización puede crear un árbol de factores primos y encontrar todos los factores (no solo primos) del número dado.

Instrucciones de uso

Para usar esta calculadora para encontrar los factores primos de un número, ingrese el número dado y presione "Calcular". La calculadora devolverá los factores primos del número en forma general, en forma exponencial y como una lista en formato CSV.

También tiene la opción de crear un árbol de factorización y la posibilidad de encontrar todos los factores del número dado. Ambas opciones se pueden elegir marcando la casilla correspondiente.

Para vaciar el campo de entrada, presione "Borrar".

Limitaciones en los valores de entrada

• Los valores de entrada deben ser números enteros; No se aceptan decimales ni fracciones.
• Solo se pueden utilizar como entradas números enteros positivos mayores que 1.
• La longitud del número no puede superar los 13 dígitos (sin comas para separar los miles), es decir, el valor del número introducido debe ser inferior a 10.000.000.000.000 o 10000000000000. El valor máximo de entrada es, por tanto, 9.999.999.999.999 o 9999999999999.

Números primos y números compuestos

Un número primo es un número entero mayor que 1, que no se puede dividir en otros números enteros. En otras palabras, un número primo es un número entero mayor que 1 que no se puede formar multiplicando otros números enteros. Los números primos más pequeños son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … (Observe que solo un número primo es par: 2, todos los demás números primos son impares).

El n-ésimo número primo en la lista anterior se puede denotar como Primo[n]. En ese caso, Primo[1] = 2, Primo[2] = 3, Primo[3] = 5, y así sucesivamente. Esta calculadora en línea mostrará el índice n de cada número primo identificado hasta n = 5000.

Un número compuesto es un número entero mayor que 1 que se puede formar multiplicando otros números enteros. Por ejemplo, 6 es un número compuesto ya que 6 = 3 × 2. 12 es un número compuesto ya que 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Factorización de números

Los números que multiplica para obtener otro número entero se llaman factores. Como se demostró anteriormente, 3 y 2 son los factores de 6. Dado que 6 también se puede encontrar multiplicando 1 y 6: 6 = 1 × 6, 1 y 6 también son los factores de 6. Finalmente, todos los factores de 6 son 1, 2, 3 y 6.

Los únicos factores de cualquier número primo son el 1 y el número mismo. Por ejemplo, los factores de 17 son 1 y 17.

La factorización prima es el proceso de encontrar todos los números primos que se pueden multiplicar para formar el número dado. Tenga en cuenta que la descomposición en factores primos de un número es diferente de encontrar todos los factores de ese número.

Por ejemplo, todos los factores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6, 12. Estos factores se escriben como una lista.

Mientras que la descomposición en factores primos de 12 se verá así: 12 = 2 × 2 × 3. En la descomposición en factores primos, solo obtenemos resultados en forma de números primos.

Algoritmo de factorización prima

División de prueba

Veamos el método de descomposición en factores primos más intuitivo, a veces llamado método de división de prueba, en un ejemplo e identifiquemos los factores primos de 36. Como conocemos todos los números primos, podemos verificar si el número dado es divisible por alguno de ellos. La forma más fácil es comenzar desde el número primo más pequeño, que es 2:

36 ÷ 2 = 18

El resultado de esta división es un número entero. Por lo tanto, 2 es uno de los factores primos de 36. Pero 18 aún no es primo, así que continuamos y verificamos si 18 es divisible por 2:

18 ÷ 2 = 9

9 también es un número entero. Por lo tanto, 18 es divisible por 2.

Intentémoslo de nuevo: 9 ÷ 2 = 4,5. Este no es un número entero. Por lo tanto, 9 no es divisible por 2.

Probemos con el siguiente número primo, 3. 9 ÷ 3 = 3. Este es un número entero, ¡así que funcionó! Además, 3 ya es primo, lo que significa que hemos llegado al paso final del proceso. Ahora solo necesitamos escribir la respuesta final:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Esta es la forma general de escribir la descomposición en factores primos de un número. También se puede escribir usando exponentes como este:

36 = 2² × 3²

Árbol de factores primos

El proceso de descomposición en factores primos también se puede mostrar como un "árbol". El árbol de factores primos para 36 se verá así:

División de prueba (cualquier factor)

A veces, el proceso de descomposición en factores primos se vuelve más fácil si primero expresamos el número como una multiplicación de otros dos números (no primos) y luego identificamos sus factores primos. Por ejemplo, encontremos los factores primos de 48. Es más fácil comenzar con 48 = 6 × 8 ya que probablemente lo sepas de memoria. Luego debemos encontrar los factores primos de 6: 6 = 2 × 3 y 8: 8 = 2 × 2 × 2. Finalmente, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Teorema fundamental de la aritmética

Cualquier número entero positivo mayor que 1 se puede formar a partir de un conjunto único de factores primos. Este teorema a veces se denomina teorema de factorización prima.

Aplicaciones de la vida real

Los números primos se utilizan en criptografía y ciberseguridad para cifrar y descifrar mensajes. Ya sabemos que cualquier número puede representarse como producto de un conjunto de números primos y que este conjunto es único. Esta cualidad de los números primos es lo que los hace tan convenientes para el cifrado.

Aún más conveniente es que encontrar factores primos de números muy grandes sigue siendo una tarea que requiere mucho tiempo, incluso para las computadoras modernas. Por eso también la calculadora de esta página no puede trabajar con números infinitamente grandes.

El principio fundamental detrás del uso de números primos para el cifrado es que es relativamente fácil tomar dos números primos grandes y multiplicarlos para crear un número compuesto mucho más grande. Sin embargo, es increíblemente difícil descomponer ese número final en los números primos originales.

Imagina tomar dos números primos de 10 dígitos y multiplicarlos para obtener un número con aún más dígitos. Ahora imagina el proceso de descomposición en factores primos de ese número por división de prueba...

Este es un proceso tan largo que actualmente ninguna computadora puede encontrar dos números primos iniciales en un problema dado en un tiempo razonable. Pero esta situación puede cambiar en el futuro con el desarrollo de las computadoras cuánticas.