Calculadora de Fatoração Prima

Esta calculadora de fatoração on-line encontra todos os fatores primos do número inserido. A calculadora demonstra os fatores primos na forma geral, assim como na forma exponencial e no formato CSV. Além disso, esta calculadora de fatoração pode criar uma árvore de fatores primos e encontrar todos (não apenas os primos) os fatores do número inserido.

Instruções de uso

Para usar esta calculadora para encontrar os fatores primos de um número, digite o número dado e pressione "Calcular". A calculadora retornará os fatores primos do número na forma geral, na forma exponencial e como uma lista no formato CSV.

Você também tem a opção de criar uma árvore de fatoração e a possibilidade de encontrar todos os fatores do número dado. Ambas as opções podem ser escolhidas marcando a caixa correspondente.

Para esvaziar o campo de entrada, pressione "Limpar".

Limitações dos valores de entrada

• Os valores de entrada devem ser números inteiros; decimais e frações não são aceitos.
• Somente inteiros positivos maiores que 1 podem ser usados como entrada.
• O comprimento do número não pode exceder 13 dígitos (sem vírgulas para separar os milhares), ou seja, o valor do número de entrada deve ser inferior a 10.000.000.000.000.000 ou 10000000000000. O valor máximo de entrada é, portanto, 9.999.999.999.999.999 ou 999999999999999.

Números primos e números compostos

Um número primo é um número inteiro maior que 1, que não pode ser mais dividido em outros números inteiros. Em outras palavras, um número primo é um número inteiro maior do que 1, que não pode ser feito multiplicando outros números inteiros. Os números primos menores são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... (Note como apenas um número primo é par - 2, todos os outros números primos são ímpares).

O enésimo número primo da lista acima pode ser designado como Primo[n]. Nesse caso, Primo[1] = 2, Primo[2] = 3, Primo[3] = 5, e assim por diante. Esta calculadora on-line demonstrará o índice n de cada número primo identificado até n = 5000.

Um número composto é um número inteiro maior que 1 que pode ser feito multiplicando outros números inteiros. Por exemplo, 6 é um número composto já que 6 = 3 × 2. 12 é um número composto, já que 12 = 6 × 2 = 3 × 2 × 2.

Fatoração numérica

Os números que você multiplica para obter outro número inteiro são chamados de fatores. Como demonstrado acima, 3 e 2 são os fatores de 6. Como 6 também pode ser encontrado multiplicando 1 e 6: 6 = 1 × 6, 1 e 6 também são os fatores de 6. Finalmente, todos os fatores de 6 são 1, 2, 3 e 6.

Os únicos fatores de qualquer número primo são 1 e o próprio número. Por exemplo, os fatores de 17 são 1 e 17.

A fatoração prima é o processo de encontrar todos os números primos que podem ser multiplicados para fazer o número dado. Note que a fatoração primária de um número é diferente de encontrar todos os fatores desse número.

Por exemplo, todos os fatores de 12 são 1, 2, 3, 4, 4, 6, 12. Estes fatores são escritos como uma lista.

Enquanto a fatoração prima de 12 será parecida com esta: 12 = 2 × 2 × 3. Na fatoração prima, só obtemos resultados na forma de números primos.

Algoritmo de Fatoração Prima

Divisão por tentativa

Vejamos o método mais intuitivo de fatoração prima, às vezes chamado de método de divisão por tentativa, a título de exemplo e identifiquemos os fatores primos de 36. Como conhecemos todos os números primos, podemos verificar se o número dado é divisível por algum deles. A maneira mais fácil é começar pelo menor número primo, que é 2:

36 ÷ 2 = 18

O resultado desta divisão é um número inteiro. Portanto, 2 é um dos principais fatores de 36. Mas 18 ainda não é o número primo, então continuamos e verificamos se 18 é divisível por 2:

18 ÷ 2 = 9

9 também é um número inteiro. Portanto, 18 é divisível por 2.

Vamos tentar novamente: 9 ÷ 2 = 4,5. Este não é um número inteiro. Portanto, 9 não é divisível por 2.

Vamos tentar o próximo número primo, 3. 9 ÷ 3 = 3. Este é um número inteiro, então funcionou! Além disso, 3 já é primo, o que significa que chegamos à etapa final do processo! Agora só precisamos escrever a resposta final:

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Esta é a forma geral de escrever a fatoração prima de um número. Ela também pode ser escrita usando expoentes dessa forma:

36 = 2² × 3²

Árvore de Fatores Primos

O processo de fatoração de primos também pode ser ilustrado como uma "árvore". A árvore de fatores primos para 36 será parecida com esta:

Divisão por tentativas (quaisquer fatores)

Às vezes, o processo de fatoração prima se torna mais fácil se primeiro expressarmos o número como uma multiplicação de dois outros números (não primos) e depois identificarmos seus fatores primos. Por exemplo, vamos encontrar os fatores primos de 48. É mais fácil começar com 48 = 6 × 8, pois provavelmente você sabe isso de cor. Então devemos encontrar os fatores primos de 6: 6 = 2 × 3 e 8: 8 = 2 × 2 × 2. Por fim, 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 = 2⁴ × 3¹.

Teorema Fundamental da Aritmética

Qualquer número inteiro positivo maior que 1 pode ser feito a partir de um conjunto único de fatores primos. Este teorema é às vezes chamado de Teorema da Fatoração Prima.

Aplicações na vida real

Os números primos são usados em criptografia e cibersegurança para criptografar e decodificar mensagens. Já sabemos que qualquer número pode ser representado como um produto de um conjunto de números primos e que este conjunto é único. Esta qualidade de números primos é o que os torna tão convenientes para a criptografia.

Ainda mais conveniente é que encontrar números primos de números muito grandes continua sendo uma tarefa muito demorada, mesmo para computadores modernos. É também por isso que a calculadora desta página não consegue trabalhar com números infinitamente grandes.

O princípio central por trás do uso de números primos para criptografia é que é relativamente fácil pegar dois números primos grandes e multiplicá-los para criar um número composto muito maior. Entretanto, é incrivelmente difícil decompor esse número final de volta aos primos originais.

Imagine pegar dois números primos de 10 dígitos e multiplicá-los para obter um número com ainda mais dígitos. Agora imagine o processo de fatoração desse número primário por divisão por tentativas.

Este é um processo tão longo que nenhum computador pode atualmente encontrar dois números primos iniciais em um determinado problema em qualquer tempo razoável. Mas esta situação pode mudar no futuro com o desenvolvimento de computadores quânticos.