Calculadora del máximo común divisor

La calculadora del máximo común divisor

La calculadora del máximo común divisor es una herramienta en línea que le permite encontrar de forma rápida y precisa el máximo común divisor (MCD) de una lista de números y todos los factores de los números incluidos en esa lista.

El MCD a veces se conoce como el máximo común denominador. Esta calculadora de MCD puede utilizarse para encontrar cualquiera de estos términos.

Instrucciones de uso

Para usar el buscador de MCD, ingrese todos los números separados por comas o espacios y presione "Calcular". La calculadora determinará el MCD de los números enumerados y mostrará la solución para encontrar su valor. La calculadora siempre mostrará la solución por factorización.

Para eliminar todas las entradas, presione "Borrar".

Limitaciones en los valores de entrada

1. Debe ingresar números enteros.
2. Solo uno de los números puede ser cero.
3. Solo puede ingresar números enteros positivos.

Definición del máximo común divisor

El Máximo Común Factor (MCC), también conocido como Máximo Común Divisor (MCD), es el mayor número entero positivo que divide dos o más números enteros dados sin dejar un resto. Es el mayor número entre el que se pueden dividir todos los números enteros dados. Por ejemplo, el FGD de 12 y 18 es 6, ya que 6 es el mayor número que divide 12 y 18 sin dejar ningún resto.

En el caso del cero, el FGD es el valor absoluto del número entero distinto de cero, ya que todos los números enteros dividen a cero. Sin embargo, si todos los números enteros del conjunto son cero, el FGD es indefinido.

Por ejemplo, los factores del número 12 serían 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Los factores comunes de varios números son aquellos factores que pueden dividir todos esos números sin dejar remanentes. Por ejemplo, si tuviéramos que encontrar todos los factores comunes de los números 12 y 16, primero tendríamos que enumerar todos los factores de cada número y luego verificar qué factores están en ambas listas:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

Los factores comunes de los números dados (12 y 16) son 1, 2 y 4. El máximo común divisor es simplemente el mayor de estos números. En el caso de 12 y 16, el MCD es 4.

Cómo encontrar el máximo común divisor

Hay varias formas de encontrar el MCD de varios números. La más sencilla es la solución por factorización..

Solución por factorización

Para encontrar el MCD usando este método, siga los pasos descritos anteriormente: Primero, identifique los factores de todos los números en la lista, luego encuentre los factores comunes y elija el más grande.

La solución por el método de factorización es más práctica para números pequeños o cuando los factores de los números son fácilmente identificables. Para números más grandes, métodos como la factorización de primos o el algoritmo de Euclides pueden ser más eficientes.

Ejemplo de cálculo

Encuentre el máximo común divisor de los siguientes números: 3, 9 y 48.

Solución:

• Los factores de 3 son 1 y 3.
• Los factores de 9 son 1, 3 y 9.
• Los factores de 48 son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 y 48..

Los factores comunes son 1 y 3. Entonces el máximo común divisor es 3.

Respuesta: MCD = 3

Factorización prima

Otra estrategia para encontrar el máximo común divisor de un conjunto de números consta de los siguientes pasos:

1. Encuentre todos los factores primos de los números en el conjunto dado.
2. Haga una lista de los factores primos que son comunes para todos los números del conjunto.
3. Para obtener el máximo común divisor, multiplica los factores primos comunes.

Ejemplo de cálculo

Encuentre el máximo común divisor de los siguientes números: 16, 24 y 76.

Solución

• La descomposición en factores primos de 16 es: 2 × 2 × 2 × 2, or 2⁴.
• La descomposición en factores primos de 24 es: 2 × 2 × 2 × 3, or 2³ × 3¹.
• La descomposición en factores primos de 76 es: 2 × 2 × 19, or 2² × 19¹.
• Los factores primos comunes son: 2 × 2, or 2².

Por lo tanto, el máximo común divisor es: 2 × 2 = 2² = 4

Respuesta: MCD = 4

Algoritmo de Euclides

Este algoritmo es muy útil para encontrar los máximos comunes divisores de números grandes, donde usar cualquier tipo de factorización sería muy engorroso y llevaría mucho tiempo. Este algoritmo, desarrollado por Euclides, utiliza el hecho de que el MCD de los dos números m y n, donde m > n, es el mismo que el MCD de los dos números n y m-n.

Para usar este algoritmo y encontrar el MCD de los dos números m y n, debe reemplazar consecutivamente el mayor de los dos números con la diferencia de los números:

Primero, reemplaza m con m-n. Ahora tienes un nuevo conjunto de números: m - n y n.

Verifique cuál de los números es mayor y reemplace ese número con la diferencia de los números actuales.

Repita hasta que los dos números sean iguales. Ese número será el máximo común divisor del conjunto original de números.

Ejemplo de cálculo

Encuentra el máximo común divisor de los siguientes números: 124, 98.

Solución

El número más grande en este conjunto es 124. Vamos a reemplazarlo con la diferencia de números, 124 - 98 = 26, para obtener el siguiente conjunto:

26, 98

El número más grande en este conjunto es 98. Vamos a reemplazarlo con la diferencia de números, (98 - 26) = 72, para obtener el siguiente conjunto:

26, 72

Podemos restar 26 del número mayor dos veces más: 72 - 26- 26 = 20. Ahora nuestro conjunto se ve así:

26, 20

En la siguiente iteración, reemplazamos 26 con 26 - 20 = 6, para obtener

6, 20

A continuación, restamos 6 de 20. Podemos repetir esta operación tres veces ya que la diferencia resultante seguirá siendo mayor que 6:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

Ahora nuestro conjunto es:

6, 2

Las siguientes iteraciones son:

(6 - 2 = 4), 2 o 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 o 2, 2

Ahora tenemos un conjunto de dos números iguales:

2, 2

Por lo tanto, el máximo común divisor de 124 y 98 es 2.

Respuesta: MCD = 2

¿Por qué el MCD solo se define para números positivos?

El máximo común divisor solo se define para números positivos. La calculadora MCD también solo toma números enteros positivos como entradas. Esto se debe a que el MCD siempre será positivo, incluso para números negativos. Por ejemplo, -4 es un factor de -8. Sin embargo, 4 también es factor de -8, ya que -8 = 4 × (-2). Dado que el máximo común divisor es siempre el mayor de todos los factores comunes, siempre será positivo.

El máximo común divisor de 0

El máximo común divisor de un número y el cero es siempre el valor absoluto del número distinto de cero. Esto se debe a que cualquier número es divisor de cero. Por ejemplo, el MCD de 8 y 0 es 8, y el MCD de -8 y 0 es 8 (el valor absoluto de -8).