حجم کیلکولیٹر

ہر ٹھوس، سہ جہتی (three-dimensional) شے جگہ گھیرتی ہے۔ چاہے وہ میز پر رکھا اسمارٹ فون ہو، آپ کے محلے میں پانی کی ٹینکی ہو، یا کورٹ میں موجود باسکٹ بال، یہ سب جگہ گھیرتے ہیں۔

ریاضی اور سائنس میں، اس گھیری گئی جگہ کو حجم (volume) کہا جاتا ہے۔ حجم سے مراد کسی شے کی گنجائش بھی ہو سکتی ہے۔ مثال کے طور پر، اس بات پر توجہ دینے کے بجائے کہ گراج میں پانی کا کنٹینر کتنی طبعی جگہ گھیرتا ہے، ہم اکثر اس کی گنجائش جاننا چاہتے ہیں—یعنی وہ پانی کی کتنی درست مقدار کو محفوظ کر سکتا ہے۔

حجم کا حساب لگانا متعدد سائنسی اور ریاضیاتی شعبوں میں ایک انتہائی اہم مہارت ہے۔

ہمارا جامع حجم کیلکولیٹر پیمائش کی متعدد اکائیوں اور وسیع پیمانے پر تھری ڈی اشکال کو سپورٹ کر کے اس عمل کو آسان بناتا ہے۔ اس سے بھی بہتر بات یہ ہے کہ یہ کیلکولیٹر صرف حتمی جواب نہیں دیتا؛ بلکہ یہ حجم کا درست فارمولا دکھاتا ہے اور حساب کتاب کے مرحلہ وار عمل سے آپ کی رہنمائی کرتا ہے۔ اس گائیڈ میں، ہم یہ جائزہ لیں گے کہ حجم کا حساب کیسے لگایا جائے، مختلف ہندسی اشکال (geometric shapes) کے فارمولوں کی وضاحت کریں گے، اور عملی، حقیقی زندگی کی مثالوں پر بات کریں گے۔

اکائیاں اور پیمائش

درستگی اور بھروسے کو یقینی بنانے کے لیے، حجم کا حساب معیاری پیمائشی اکائیوں پر منحصر ہوتا ہے۔ حجم کی معیاری ایس آئی (انٹرنیشنل سسٹم آف یونٹس) اکائی مکعب میٹر (m³) ہے۔ تاہم، چھوٹی اشیاء کے حجم کو اکثر چھوٹی اکائیوں میں ظاہر کیا جاتا ہے، جیسے مکعب سینٹی میٹر (cm³) یا مکعب ملی میٹر (mm³)۔

آپ کی مخصوص ضروریات کے لحاظ سے، آپ کسی ایک پیمائشی نظام کو دوسرے پر ترجیح دے سکتے ہیں۔ ہمارا حجم کیلکولیٹر میٹرک سسٹم اور امپیریل/یو ایس کسٹمری یونٹس دونوں کو مکمل سپورٹ کرتا ہے۔ آپ کو درج ذیل اکائیوں میں سے انتخاب کرنے کی مکمل آزادی ہے:

• کلومیٹر (kilometers)،
• میٹر (meters)،
• سینٹی میٹر (centimeters)،
• ملی میٹر (millimeters)،
• مائیکرومیٹر (micrometers)،
• نینومیٹر (nanometers)،
• اینگسٹروم (angstroms)،
• میل (miles)،
• گز (yards)،
• فٹ (feet)،
• انچ (inches)۔

جب حجم کا حساب لگانے کے لیے دستی فارمولے استعمال کیے جاتے ہیں، تو آپ کو یکساں (homogeneous) اکائیوں کے ساتھ کام کرنا ہوتا ہے۔ عام طور پر، اس کا مطلب ریاضی کو آسان بنانے کے لیے تمام پیمائشوں کو بالکل ایک جیسی اکائی میں تبدیل کرنا ہے۔ مثال کے طور پر، 75 سینٹی میٹر اونچائی اور 0.5 میٹر رداس (radius) والے سلنڈر کا حجم معلوم کرنے کے لیے، آپ یا تو اونچائی کو میٹرز میں تبدیل کریں گے (جس کا نتیجہ مکعب میٹر میں آئے گا) یا پھر رداس کو سینٹی میٹر میں تبدیل کریں گے (جس کا نتیجہ مکعب سینٹی میٹر میں آئے گا)۔

لیکن کیا ہو اگر آپ اونچائی انچ میں اور رداس نینومیٹر میں درج کرنا چاہیں؟ ہمارا کیلکولیٹر اس صورتحال کو بخوبی سنبھالتا ہے، پردے کے پیچھے ضروری اکائیوں کی تبدیلی انجام دیتا ہے اور تمام مراحل واضح طور پر دکھاتا ہے۔

آپ ہر انفرادی پیمائشی ان پٹ کے لیے ایک مختلف اکائی منتخب کر سکتے ہیں، اور حجم فارمولا کیلکولیٹر پھر بھی انتہائی درست نتیجہ فراہم کرے گا۔ فرض کریں کہ آپ کے پاس ایک سلنڈر ہے جس کی اونچائی 5 انچ اور رداس 10,506,070 نینومیٹر ہے۔ بس سلنڈر حجم کیلکولیٹر سیکشن پر جائیں، قدریں درج کریں، اور ڈراپ ڈاؤن مینیوز سے متعلقہ اکائیاں منتخب کریں۔

کیلکولیٹر فوراً حجم دو فارمیٹس میں پیش کرے گا: 2.6874044006564 inches³ (مکعب انچ) اور 4.4038667907438E+22 nanometers³ (مکعب نینومیٹر)۔ یہ دونوں آپشنز اس لیے فراہم کرتا ہے کیونکہ یہ فرض کرتا ہے کہ آپ اپنا حتمی جواب ان بنیادی اکائیوں میں سے کسی ایک میں چاہتے ہیں جو آپ نے فراہم کی ہیں۔ یہ ٹول اکائی کی تبدیلی کے ساتھ ساتھ حساب کتاب کا مکمل عمل بھی دکھاتا ہے!

حجم کیلکولیٹر: دائرہ کار، خصوصیات اور مثالیں

حجم کا حساب لگانے کے طریقے شکل کے لحاظ سے بہت مختلف ہوتے ہیں۔ بہت سی معیاری ہندسی اشکال کا انحصار سیدھے سادے حسابی فارمولوں پر ہوتا ہے جو ان کی خصوصیات جیسے کنارے کی لمبائی یا رداس پر مبنی ہوتے ہیں۔

دیگر اشکال نمایاں طور پر زیادہ پیچیدہ ہوتی ہیں، جس کی وجہ سے براہ راست حجم کا حساب لگانا ناممکن ہو جاتا ہے۔ ان صورتوں میں، جدید حسابی طریقوں—جیسے جیومیٹریکل انٹیگریشن (geometrical integration) اور فائنائٹ ایلیمنٹ اینالیسس (finite element analysis)—کی ضرورت ہوتی ہے۔ خوش قسمتی سے، ہمارا حجم کیلکولیٹر اشیاء کی ایک وسیع رینج کو سپورٹ کرتا ہے، جس سے تقریباً کسی بھی چیز کا حجم معلوم کرنا ناقابل یقین حد تک آسان ہو جاتا ہے۔

کرہ (Sphere)

کرہ ایک دائرے کا مکمل سہ جہتی متبادل ہے۔ اس کی ایک کلاسک مثال کوئی بھی مکمل گول گیند (جیسے بیس بال یا گلوب) ہے۔ کرے کے حجم کا فارمولا یہ ہے:

$$V_{sphere}=\frac{4}{3}π r^3$$

جیسا کہ آپ دیکھ سکتے ہیں، کرے کا حجم مکمل طور پر اس کے رداس (r) پر منحصر ہے۔ رداس کی تعریف کرے کے مرکز سے اس کی بیرونی سطح پر موجود کسی بھی مقام تک کا درست فاصلہ ہے۔ یہ فرض کرتے ہوئے کہ ایک معیاری بیس بال کا رداس r = 3.65 cm ہے، ہم اس کا حجم معلوم کرنے کے لیے اپنے کرہ حجم کیلکولیٹر کا استعمال کر سکتے ہیں:

$$Volume = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3.65^3 = 203.68882488692 \ centimeters^3$$

مخروط (Cone)

مخروط ایک ایسی تھری ڈی شکل ہے جو ایک گول بنیاد پر مشتمل ہوتی ہے جو ہمواری سے ایک واحد مقام پر سکڑ کر ختم ہوتی ہے، جسے راس (apex) کہا جاتا ہے۔ بنیاد کے محیط (circumference) پر موجود تمام مقامات سیدھی لکیروں کے ذریعے اس راس سے جڑے ہوتے ہیں۔ ہم ایک مخروط کی خصوصیات کی وضاحت دو بنیادی پیمائشوں کے ذریعے کرتے ہیں: گول بنیاد کا رداس (r) اور بنیاد کے مرکز سے راس تک کی اونچائی (h)۔

مخروط کے حجم کو اس طرح بیان کیا جا سکتا ہے:

$$V_{cone}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

جہاں r رداس ہے، اور h مخروط کی اونچائی ہے

تصور کریں کہ آپ ایک سالگرہ کی پارٹی کی میزبانی کر رہے ہیں اور مخروطی شکل کی ایسی پارٹی ہیٹس بنانا چاہتے ہیں جنہیں رات میں پاپ کارن ہولڈرز کے طور پر بھی استعمال کیا جا سکے۔

اگر آپ 7.5 سینٹی میٹر رداس اور 0.45 میٹر اونچائی والی کون ہیٹس ڈیزائن کرتے ہیں، تو آپ یہ معلوم کرنے کے لیے کہ ہر ہیٹ کے اندر بالکل کتنی جگہ ہے، کون حجم کیلکولیٹر استعمال کر سکتے ہیں۔

0.45 میٹر = 45 سینٹی میٹر

$$Volume = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7.52^2 × 45 = 2650.7188014664 \ centimeters^3$$

یہ آپ کو پاپ کارن کی وہ درست مقدار فراہم کرتا ہے جو آپ پارٹی کے اختتام پر ہر کون میں بھر سکتے ہیں!

مکعب (Cube)

روبک کیوب کو حل کرنے کی کوشش کس نے نہیں کی؟

مکعب ایک ہندسی شے ہے جس کے 8 کونے (vertices) اور 6 بالکل برابر چوکور پہلو ہوتے ہیں۔ مکعب کے حجم کا انحصار صرف ایک پیمائش پر ہوتا ہے: مکعب کے کنارے کی لمبائی (a)۔

$$V_{cube}=a^3$$

فرض کریں ہم بچوں کی ذہنی صلاحیتوں کو بہتر بنانے میں مدد کے لیے ایک یوتھ ڈیولپمنٹ سینٹر کے لیے 30 روبک کیوبز خریدنا چاہتے ہیں۔ ہم اسٹور پر جاتے ہیں اور ہمیں بہترین کیوبز مل جاتے ہیں۔ کیوب کی ایک سائیڈ کی لمبائی 5.7 سینٹی میٹر ہے۔ تاہم، اسٹور کلرک کے پاس تمام کیوبز لے جانے کے لیے صرف ایک ڈبہ دستیاب ہے۔ یہ ڈبہ مکمل طور پر مکعب نما ہے، جس کی ایک سائیڈ کی لمبائی 20 سینٹی میٹر ہے۔ کیا ہمارے تمام 30 کیوبز اس کے اندر آ سکیں گے؟

کیوبز کا حجم:

$$Volume = 5.7³ = 185.19\ centimeters³$$

30 کیوبز کا کل حجم یہ ہوگا:

$$185.19 × 30 = 5,555.7\ centimeters³$$

ڈبے کا حجم:

$$Volume = 20³ = 8,000\ centimeters³$$

30 کیوبز کے کل حجم کا ڈبے کے مجموعی حجم سے موازنہ کرنے پر، ہم دیکھ سکتے ہیں:

$$5,555.7 < 8,000$$

اس سے ظاہر ہوتا ہے کہ کیوبز بالکل صحیح طریقے سے ڈبے میں آ جائیں گے!

سلنڈر (Cylinder)

سلنڈر ایک تھری ڈی جیومیٹرک پرزم ہے جس کی بنیاد یکساں گول ہوتی ہے۔ آپ اسے ایسے سمجھ سکتے ہیں جیسے کئی ایک جیسے دائرے ایک دوسرے کے اوپر رکھے گئے ہوں۔ مخروط کی طرح، سلنڈر کی خصوصیات اس کے گول رداس (r) اور اس کی اونچائی (h) سے بیان ہوتی ہیں، جو نچلی سطح سے اوپری سطح تک کا فاصلہ ہوتا ہے۔ سلنڈر کے حجم کا فارمولا یہ ہے:

$$V_{cylinder}=π r^2h$$

آئیے ایک آرائشی سلنڈر نما موم بتی کے حجم کا حساب لگائیں تاکہ یہ معلوم ہو سکے کہ ایک کاریگر کو اسے ڈھالنے کے لیے بالکل کتنی پیرافین ویکس کی ضرورت ہے۔ موم بتی کی مجوزہ اونچائی 15 سینٹی میٹر اور اس کا قطر (diameter) 8 سینٹی میٹر ہے۔ قطر سے، ہم آسانی سے نتیجہ اخذ کر سکتے ہیں کہ رداس 4 سینٹی میٹر ہے۔ فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے، ہم حساب لگاتے ہیں:

$$Volume = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753.98223686155\ centimeters^3$$

مستطیل ٹینک (Rectangular Tank)

مستطیل ٹینک (یا مستطیل منشور) مکعب کی ایک شکل ہے جہاں ملحقہ تمام کنارے عمودی (perpendicular) ہوتے ہیں، اگرچہ ضروری نہیں کہ ان کی لمبائی برابر ہو۔ اس شکل کے لیے تین پیمائشوں کی ضرورت ہوتی ہے: لمبائی (l) اور چوڑائی (w)—جو اس کی دو جہتی مستطیل بنیاد کی وضاحت کرتی ہیں—اور اونچائی (h)، جو اسے سہ جہتی گہرائی دیتی ہے۔ ایک مستطیل ٹینک کے حجم کا حساب اس طرح لگایا جاتا ہے:

$$V_{rectangular\ tank}=l × w × h$$

مستطیل ٹینک کی ایک کلاسک اور عالمی مثال ایک معیاری شپنگ کنٹینر ہے۔ آئی ایس او (ISO) کے معیارات کے مطابق، عام شپنگ کنٹینر کی پیمائشیں یہ ہوتی ہیں:

• چوڑائی = 2.43 میٹر
• اونچائی = 2.59 میٹر
• لمبائی = 6.06 میٹر یا 12.2 میٹر

چونکہ یہ پیمائشیں عالمی سطح پر معیاری ہیں، اس لیے ان کے حجم بھی معیاری ہیں۔ آگے بڑھیں اور ان جہتوں کو ہمارے مستطیل ٹینک حجم کیلکولیٹر میں درج کریں۔ آئیے دونوں معیاری لمبائیوں یعنی 6.06 میٹر اور 12.2 میٹر کے لیے حساب لگائیں۔

$$Volume = 6.06 × 2.43 × 2.59 = 38.139822\ meters³$$

اور

$$Volume = 12.2 × 2.43 × 2.59 = 76.78314\ meters³$$

مزید پیچیدہ سہ جہتی ہندسی اشکال

اکثر، روزمرہ کی اشیاء بنیادی ہندسی اشکال کا مجموعہ ہوتی ہیں۔ مثال کے طور پر، ذیل میں دی گئی شکل کا کل حجم کیا ہے؟

غور سے دیکھنے پر، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ یہ شے ایک مرکب (composite) ہے: یہ ایک بنیادی سلنڈر پر مشتمل ہے جس کے بالکل اوپر ایک مخروط رکھا گیا ہے۔ اس لیے، اس شے کا کل حجم محض سلنڈر کے حجم اور مخروط کے حجم کا مجموعہ ہے:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}$$

سلنڈر اور مخروط دونوں کا مشترکہ قطر 4 سینٹی میٹر ہے۔ یہ جان کر، ہم یہ نتیجہ اخذ کرتے ہیں کہ:

$$r_{cylinder}=r_{cone}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

مزید برآں، کل اونچائی دونوں انفرادی اونچائیوں کا مجموعہ ہے:

$$h_{object}=h_{cylinder}+h_{cone}$$

جیسا کہ دیا گیا ہے:

$$h_{object}=10\ cm$$

اور:

$$h_{cone}=3\ cm$$

ہم آسانی سے معلوم کر سکتے ہیں کہ سلنڈر کی اونچائی ہے:

$$h_{cylinder}=7\ cm$$

اب ہم ان قدروں کو سیدھا حجم کیلکولیٹر میں درج کر سکتے ہیں:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}=87.96\ cm^3+12.56\ cm^3$$

$$V_{object}=100.52\ cm^3$$

یہ مرکب طریقہ (composite approach) آپ کو ان متنوع، جدید اشکال کو بہتر طور پر سمجھنے میں مدد کرتا ہے جنہیں ہمارا حجم کیلکولیٹر ذیل میں سپورٹ کرتا ہے۔

کیپسول (Capsule)

طبی گولیوں کے لیے کیپسول ایک سب سے عام شکل ہے۔ ہماری پچھلی مثال کی منطق کو استعمال کرتے ہوئے، ہم دیکھ سکتے ہیں کہ کیپسول بنیادی طور پر ایک سلنڈر ہے جس کے مخالف سروں پر دو یکساں نصف کرے (hemispheres) جڑے ہوتے ہیں۔

چونکہ دو ہم شکل نصف کرے مل کر ایک مکمل کرہ بناتے ہیں، لہذا ہم کہہ سکتے ہیں کہ کیپسول کا کل حجم محض اس کے درمیانی سلنڈر کا حجم اور ایک کرے کے حجم کا مجموعہ ہوتا ہے۔

$$V_{capsule} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

جہاں r رداس ہے اور h سلنڈر والے حصے کی اونچائی ہے۔

ہمارے مخصوص کیپسول حجم کیلکولیٹر کی بدولت، آپ کو سلنڈر اور کرے کے حجم کا دستی طور پر حساب لگانے اور جمع کرنے کی ضرورت نہیں ہے۔ آپ براہ راست اونچائی اور رداس درج کر سکتے ہیں، اور یہ ٹول فوری طور پر کیپسول کا درست حجم فراہم کر دے گا۔

فارماسیوٹیکل سائنسدان مناسب جسامت کی ادویات ڈیزائن کرنے کے لیے ان حسابات پر بہت زیادہ انحصار کرتے ہیں۔ چونکہ ایک کیپسول میں خوراک کی انتہائی درست مقدار ہونی چاہیے، اس لیے سائنسدان اکثر مطلوبہ ہدف کے حجم کو حاصل کرنے کے لیے اونچائی اور رداس کو ایڈجسٹ کرتے ہیں۔

کروی ٹوپی (Spherical Cap)

پچھلی مثال میں، ہم نے دیکھا کہ نصف کرہ ایک کرے کا بالکل آدھا حصہ ہوتا ہے۔ تاہم، ایک کروی ٹوپی (spherical cap) کرے کا وہ حصہ ہوتا ہے جو ایک ہموار سطح کے کاٹنے سے بنتا ہے۔ نصف کرہ دراصل کروی ٹوپی کی ہی ایک خاص قسم ہے جہاں وہ سطح بالکل مرکز سے کٹتی ہے۔

ذیل میں دی گئی شکل ایک عام کروی ٹوپی کو ظاہر کرتی ہے۔ اس ماڈل میں، (r) ٹوپی کی بنیاد کا رداس ہے، (R) پورے کرے کا رداس ہے، اور (h) ٹوپی کی اونچائی ہے۔ چونکہ یہ متغیرات ریاضیاتی طور پر ایک دوسرے سے جڑے ہوئے ہیں، اس لیے ان میں سے صرف دو کو جاننے سے آپ تیسرے کا حساب لگا سکتے ہیں!

• اگر r اور R معلوم ہوں؛ تو $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• اگر r اور h معلوم ہوں؛ تو $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• اگر R اور h معلوم ہوں؛ تو $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

جہاں:

• r بنیاد کا رداس ہے،
• R کرے کا رداس ہے،
• h کروی ٹوپی کی اونچائی ہے۔

کروی ٹوپی کے حجم کا حساب اس طرح لگایا جاتا ہے:

$$V_{spherical\ cap}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

ہمارے ٹول کو کام کرنے کے لیے ان میں سے صرف دو متغیرات کی ضرورت ہوتی ہے۔ مثال کے طور پر، اگر آپ R = 1m اور r = 0.25m درج کرتے ہیں، تو کیلکولیٹر حیران کن طور پر دو ممکنہ حجم پیش کرے گا: 0.00313 m³ اور 4.1856 m³۔ آخر کیوں؟

ریاضیاتی تعلق کو یاد کرتے ہوئے:

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

ہم دیکھتے ہیں کہ R اور r کی دی گئی قدروں کے ساتھ، اونچائی (h) کی دراصل دو ممکنہ قدریں ہوتی ہیں:

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

اور

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

یہ ریاضیاتی تقسیم اس بات کی وضاحت کرتی ہے کہ آیا آپ $h_1$ استعمال کرتے ہیں یا $h_2$، اس کی بنیاد پر آپ کو دو مختلف درست حجم کیوں ملتے ہیں۔

نوٹ: R ≥ r کا اصول ہمیشہ لاگو ہونا چاہیے۔ اگر آپ غلطی سے بنیاد کا رداس گیند کے رداس سے بڑا درج کر دیتے ہیں، تو کیلکولیٹر آپ کی مدد کے لیے ایک ایرر میسج دے گا تاکہ آپ کو معلوم ہو جائے کہ پیمائشیں آپس میں مل گئی ہیں۔

مخروطی ناقص (Conical Frustum)

آپ ایک مخروط کو اس کی بنیاد کے متوازی بالکل افقی کاٹ کر اس کا اوپری حصہ الگ کر کے مخروطی ناقص (conical frustum) بنا سکتے ہیں۔ اس طرح آپ کے پاس ایک تھری ڈی شکل بچتی ہے جس کی دو متوازی اور مختلف سائز کی گول سطحیں ہوتی ہیں۔

مخروطی ناقص کا حجم اس طرح بیان کیا گیا ہے:

$$V_{conical\ frustum}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

جہاں h نچلی اور اوپری سطحوں کے مرکز کے درمیان کی اونچائی ہے، r اوپری سطح کا رداس ہے، اور R نچلی سطح کا رداس ہے (جہاں R ≥ r)۔

تصور کریں کہ آپ کسی اعلیٰ درجے کی بیکری میں جاتے ہیں اور ایک چاکلیٹ لاوا کیک کا آرڈر دیتے ہیں جس کے بارے میں دعویٰ ہے کہ اس کا اندرونی حصہ بالکل "35% پگھلی ہوئی چاکلیٹ" سے بنا ہے۔

اگر آپ ریاضی کے شوقین ہیں، تو آپ اس دعوے کو جانچنا چاہیں گے! سب سے پہلے، کیک کا مجموعی حجم معلوم کرنے کے لیے اوپر کا رداس، نیچے کا رداس، اور کل اونچائی ناپیں۔

فرض کریں کہ آپ کی پیمائشیں r = 16 cm، R = 20 cm، اور h = 10 cm ہیں۔

ان قدروں کو ہمارے مخروطی ناقص کے حجم کیلکولیٹر میں درج کرنے سے، آپ حاصل کرتے ہیں:

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ centimeters^3$$

یہ معلوم کرنے کے لیے کہ اندر کتنی مزیدار چاکلیٹ بھری ہے، 10,220.65 cm³ کا 35% حساب لگائیں۔ آپ کو معلوم ہوگا کہ آپ کے کیک میں تقریباً 3,577.23 cm³ چاکلیٹ موجود ہے!

بیضوی مجسم (Ellipsoid)

جب ایک مکمل کرے کو ایک یا زیادہ سمتوں میں کھینچا یا بگاڑا جاتا ہے، تو اس سے بیضوی مجسم (ellipsoid) بنتا ہے۔ بیضوی مجسم کو ایک کھنچا ہوا، بیضوی شکل کا کرہ سمجھیں جہاں مرکز سے سطح تک کے فاصلے سمت کے لحاظ سے مختلف ہوتے ہیں۔

ایک بیضوی مجسم کے تین مختلف محور (axes) ہوتے ہیں، اور اس کے حجم کا تعین تین ایسے رداس سے ہوتا ہے جو مرکز سے ہر محور کے کنارے تک پھیلے ہوتے ہیں۔ ان تینوں رداس کو متغیرات a، b، اور c سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

ہم اکثر گیندوں کو مکمل کرہ سمجھتے ہیں، لیکن بیضوی گیندیں کھیلوں میں بہت عام ہیں—بس ایک رگبی بال کو دیکھ لیں! فرض کریں ایک معیاری رگبی بال کے رداس a = 9.3 cm، b = 9.3 cm، اور c = 14.3 cm ہیں۔

بیضوی مجسم کے حجم کا فارمولا یہ ہے:

$$V_{ellipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

(نوٹ: a، b، اور c کی ترتیب سے کوئی فرق نہیں پڑتا؛ انہیں کسی بھی ترتیب میں ضرب دینے سے نتیجہ ایک ہی آئے گا۔)

ہمارے بیضوی مجسم کے حجم کیلکولیٹر کو استعمال کر کے، رگبی بال کا درست حجم معلوم کرنا انتہائی آسان ہے:

$$Volume=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ centimeters^3$$

مربع نما ہرم (Square Pyramid)

اہرام (pyramids) کا ذکر کرتے ہی فوراً مصر کی قدیم، عظیم الشان عمارتیں ذہن میں آ جاتی ہیں۔ ایک مربع نما ہرم (square pyramid) کی بنیاد بالکل چوکور ہوتی ہے جو اوپر کی طرف ایک راس (apex) پر ختم ہوتی ہے، جس سے بنیاد کے چاروں کونے براہ راست چوٹی سے جڑ جاتے ہیں۔ اس کے حجم کا فارمولا یہ ہے:

$$V_{squared\ pyramid}=\frac{1}{3}a^2h$$

یہاں، a چوکور بنیاد کے کنارے کی لمبائی کی نمائندگی کرتا ہے، جبکہ h بنیاد کے مرکز سے سیدھا راس تک کی اونچائی ہے۔

آئیے خوفو کے عظیم الشان اہرام (Great Pyramid of Khufu) کو اس کی اصل جہتوں کی بنیاد پر دیکھیں: h = 146.6 m اور a = 230.33 m۔ اپنے مربع نما ہرم کے حجم کیلکولیٹر کا استعمال کرتے ہوئے، ہم اس کی دیوہیکل جسامت کا تعین کر سکتے ہیں:

$$Volume=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ meters^3$$

ٹیوب (Tube)

ایک ٹھوس سلنڈر کے برعکس، ایک ٹیوب مکمل طور پر کھوکھلی ہوتی ہے، جس کا مطلب ہے کہ اس کا ایک بیرونی قطر (outer diameter) اور ایک اندرونی قطر (inner diameter) ہوتا ہے۔ ٹیوب بنانے والے مواد کا درست حجم معلوم کرنے کے لیے، آپ کو ان دونوں قطروں کے درمیان فرق کو مدنظر رکھنا ہوتا ہے۔

$$V_{tube}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

جیسا کہ آپ نے اندازہ لگایا ہوگا، d₁ اور d₂ بالترتیب ٹیوب کے بیرونی اور اندرونی قطروں کی نمائندگی کرتے ہیں، جبکہ l ٹیوب کی کل لمبائی کو ظاہر کرتا ہے۔

آئیے اس فارمولے کا استعمال کر کے ایک کاٹیج پراپرٹی پر نئے کنویں کے لیے درکار کنکریٹ کی انگوٹھی کا حجم معلوم کریں۔ ہماری انگوٹھی کی اونچائی (یا لمبائی) 0.89 میٹر، بیرونی قطر 1.16 میٹر اور اندرونی قطر بالکل 1 میٹر ہے۔

اسے اپنے ٹیوب حجم کیلکولیٹر میں درج کرنے سے ہمیں حاصل ہوتا ہے:

$$Volume=π\frac{1.16^2-1^2}{4} × 0.89 = 0.076896 π = 0.24\ meters^3$$