حاسبة المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال

مقاييس النزعة المركزية

قد يبدو تحليل الجداول والرسوم البيانية للبيانات الإحصائية أمراً معقداً للوهلة الأولى. وللحصول على رؤى قيمة من هذه الأرقام، نحتاج غالباً إلى تلخيص مجموعات البيانات وتحديد أبرز خصائصها لاستخراج معلومات أكثر دقة وفائدة من الإحصائيات.

في علم الإحصاء، تُستخدم مقاييس مختلفة لتلخيص وتحليل البيانات؛ بعضها يصف مركز البيانات وتُعرف باسم "مقاييس النزعة المركزية"، بينما يقيس البعض الآخر مدى تباين وتشتت القيم وتُسمى "مقاييس التشتت". وهناك أيضاً مقاييس تحدد نسب البيانات التي تقع أسفل قيمة معينة، وتُعرف بمقاييس المركز أو الموضع.

صُممت هذه الحاسبة الإحصائية أساساً لتسهيل حساب مقاييس النزعة المركزية – مثل المتوسط الحسابي والوسيط – والتي تمثل القيمة النموذجية أو المركزية في أي مجموعة بيانات. كما تهدف أيضاً إلى قياس درجة التباين عبر حساب المدى، والربيعات (الشرائح الربعية)، والمدى الربيعي.

حاسبة المتوسط الحسابي

المتوسط الحسابي هو ببساطة ناتج قسمة مجموع القيم على عددها الإجمالي. ويمكن فهمه وحسابه بسهولة باستخدام الصيغة الرياضية التالية والخاصة بمتوسط العينة:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

أما معادلة المتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي فهي:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

هنا، يمثل البسط مجموع كافة القيم في مجموعة البيانات، بينما يمثل المقام عدد هذه القيم.

الميزة الأهم للمتوسط الحسابي هي أنه يأخذ في الاعتبار جميع نقاط البيانات المتاحة ضمن المجموعة لتقديم متوسط دقيق.

أما العيب والقصور الرئيسي للمتوسط فيكمن في تأثره الشديد بالقيم المتطرفة (القيم الشاذة التي تكون كبيرة جداً أو صغيرة جداً مقارنة بباقي البيانات). تؤثر هذه القيم المتطرفة بشكل مباشر وملحوظ على دقة المتوسط.

تجدر الإشارة أيضاً إلى أن متوسط القيمة ليس بالضرورة قيمة فعلية ممثلة ضمن البيانات؛ فقد يكون المتوسط رقماً لا وجود له إطلاقاً في مجموعة البيانات الأساسية.

المتوسط الحسابي للعينة والمجتمع

يمثل المجتمع الإحصائي مجموعة البيانات الكاملة التي يتم جمع المعلومات حولها. أما العينة، فهي جزء أو مجموعة أصغر مأخوذة من هذا المجتمع لغرض الدراسة.

طريقة وحساب المتوسط الحسابي ثابتة سواء للعينة أو للمجتمع، والاختلاف يكمن فقط في التسميات والرموز المستخدمة.

إذا كانت \$x₁, x₂,..., x_n\$ تمثل عينة، فيُشار إلى المتوسط باسم "متوسط العينة" ويُرمز له بالرمز x̄. أما المتوسط الحسابي للمجتمع فيُرمز له بالحرف اليوناني 𝜇 (ميو).

في علم الإحصاء، نستخدم الحرف الصغير n للإشارة إلى حجم العينة، والحرف الكبير N للإشارة إلى حجم المجتمع الإحصائي الكامل.

مثال لحساب المتوسط الحسابي

دعونا نستعرض المثال العملي التالي: طلال طاهٍ محترف وعاشق للبيتزا، قرر افتتاح مطعم بيتزا خاص به في جزيرة بالي. ومن أجل جذب المستثمرين، بدأ طلال بكتابة خطة عمل متكاملة. ولتقييم الأداء المالي المستقبلي لمشروعه، أراد تحديد متوسط تكلفة البيتزا في مختلف مطاعم الجزيرة.

أجرى طلال بحثاً مبدئياً حول أسعار "بيتزا مارغريتا" في الجزيرة وجمع مجموعة من البيانات. لتسهيل الحسابات، سنتجاهل الأصفار الثلاثة الأخيرة ونستخدم الآلاف فقط. أي أن الرقم 60 في حساباتنا يعني 60,000 روبية إندونيسية.

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

بما أن طلال لم يزر جميع مطاعم البيتزا في الجزيرة واكتفى باختيار 20 مطعماً بشكل عشوائي، فنحن هنا نتعامل مع عينة إحصائية.

لنقم بحساب متوسط السعر لمجموعة البيانات هذه باستخدام الصيغة:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

بجمع القيم وقسمتها، نحصل على متوسط السعر x̄=71.9.

تُظهر أبحاث طلال أن 71,900 روبية إندونيسية هو متوسط سعر بيتزا مارغريتا في بالي، وبإمكانه الآن بناء حساباته المالية وتوقعاته على هذا السعر.

حاسبة الوسيط

الوسيط هو مقياس من مقاييس الموضع، يمثل القيمة الوسطى في مجموعة بيانات تم ترتيبها مسبقاً تصاعدياً أو تنازلياً.

عند حساب الوسيط، فإننا نبحث عن الرقم الذي يقسم مجموعة البيانات إلى نصفين متساويين؛ بحيث يكون نصف القيم أصغر من الوسيط، والنصف الآخر أكبر منه. ولذلك، عند حساب الوسيط يدوياً (بدون استخدام آلة حاسبة للوسيط)، من الضروري أولاً فرز القيم وترتيبها.

تختلف طريقة حساب الوسيط بناءً على ما إذا كان عدد القيم في مجموعة البيانات زوجياً أم فردياً.

إذا كان العدد الإجمالي للقيم فردياً، أي أن n أو N رقم فردي، تُطبق المعادلة التالية لتحديد موضع الوسيط:

$$الوسيط =(\frac{n+1}{2}) \ عنصر$$

أما إذا كان عدد القيم زوجياً، مما يعني أن n هو رقم زوجي، فتُطبق المعادلة التالية لإيجاد المتوسط الحسابي للقيمتين الوسطيين:

$$الوسيط =\frac{\left[(\frac{n}{2}) \ عنصر + (\frac{n}{2}+1) \ عنصر \right]}{2}$$

الميزة الكبرى لاستخدام الوسيط هي أنه مقياس مقاوم، أي أنه أقل تأثراً بالقيم المتطرفة (المرتفعة للغاية أو المنخفضة للغاية).

مثال على حساب الوسيط

بفرض لدينا مجموعة البيانات المكونة من عشرين قيمة:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا حساب الوسيط باتباع الخطوات التالية:

1. قم بفرز مجموعة البيانات إما تصاعدياً أو تنازلياً. الترتيب التصاعدي سيكون كالتالي:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. نحدد عدد القيم في مجموعة البيانات. هنا لدينا n = 20.

3. إذا كانت قيمة n رقماً فردياً، نختار القيمة التي تقع في المركز لتكون الوسيط. أما إذا كان n رقماً زوجياً، فنحسب المتوسط الحسابي للقيمتين الوسطيين؛ نجمعهما ونقسم المجموع على 2.

بما أن 20 عدد زوجي، فإن القيمتين المركزيتين في العينة تقعان في الموضعين العاشر والحادي عشر، وهما 69 و70. نجد الوسيط بهذه الطريقة:

$$الوسيط = \frac{69 + 70}{2} = 69.5$$

أما إذا كانت عينة طلال تتكون من 21 قيمة، على سبيل المثال بإضافة القيمة 90:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

سيقوم بترتيب القيم أولاً:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

وسيختار القيمة التي تقع في المركز تماماً (الموضع الحادي عشر)، أي 70.

الفرق بين المتوسط والوسيط

يُستخدم كل من المتوسط والوسيط كمقاييس للنزعة المركزية، لكن من الضروري جداً فهم الفرق بينهما لمعرفة متى نستخدم كلاً منهما.

الاختلاف الجوهري هو أن معادلة حساب المتوسط تعتمد على جميع القيم الموجودة في مجموعة البيانات. في المقابل، يعتمد الوسيط فقط على الرقم الأوسط (أو الرقمين الأوسطين) بغض النظر عن باقي الأرقام.

تبرز أهمية هذا الاختلاف بوضوح في مجموعات البيانات التي تحتوي على قيم كبيرة جداً أو صغيرة جداً، والتي تسمى بالقيم المتطرفة. ففي معظم الحالات، تؤثر هذه القيم المتطرفة بشدة على المتوسط الحسابي، بينما يكون تأثيرها ضئيلاً أو معدوماً على الوسيط.

في علم الإحصاء، نطلق على المقياس اسم "مقياس مقاوم" إذا لم تتأثر قيمته بشكل كبير بالقيم القصوى أو المتطرفة في البيانات. بناءً على ذلك، نعتبر أن الوسيط مقياس مقاوم، بينما المتوسط ليس كذلك.

يقيس كلاهما مركز البيانات، ولكن بأساليب مختلفة؛ المتوسط هو "نقطة التوازن" لمجموعة البيانات، بينما الوسيط هو النقطة الفاصلة التي تعزل 50% من البيانات على جانب و50% على الجانب الآخر. وعندما تكون مجموعة البيانات متماثلة (موزعة طبيعياً)، يكون المتوسط والوسيط متساويين.

لكن في الواقع العملي، غالباً ما يكون المتوسط والوسيط غير متساويين.

في بعض مجموعات البيانات، قد يكون المتوسط أقل من الوسيط، أو قد يكون المتوسط أكبر من الوسيط. وفي هذه الحالات، نقول إن مجموعة البيانات "ملتوية" أو "منحرفة".

إذا كان المتوسط الحسابي يقع على يسار الوسيط (أصغر منه)، نقول إن البيانات "ملتوية نحو اليسار". وإذا كان المتوسط يقع على يمين الوسيط (أكبر منه)، نقول إن البيانات "ملتوية نحو اليمين".

لا يمكن القول إن أحدهما أفضل من الآخر كمقياس للنزعة المركزية، فكلاهما مفيد ويقيس المركز بطرق مختلفة. ومع ذلك، يُفضل خبراء تحليل البيانات استخدام الوسيط عندما تكون البيانات شديدة الالتواء أو تحتوي على قيم متطرفة، لأنه يمثل "القيمة النموذجية" بشكل أدق.

حاسبة المنوال

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً أو شيوعاً في مجموعة البيانات؛ أي القيمة التي تظهر بأعلى معدل مقارنة بباقي القيم.

إذا كانت مجموعة البيانات تحتوي على قيمة واحدة فقط هي الأكثر تكراراً، تُسمى مجموعة بيانات "أحادية المنوال".

إذا وُجدت قيمتان تشتركان في نفس أعلى تكرار، فتُعتبر كلتا القيمتين منوالاً، وتُسمى مجموعة البيانات "ثنائية المنوال".

أما إذا احتوت البيانات على أكثر من قيمتين لهما نفس أعلى تردد، تُستخدم كل هذه القيم كمنوال، وتُعرف المجموعة بأنها "متعددة المنوال".

إذا لم تتكرر أي قيمة في مجموعة البيانات أكثر من مرة واحدة، نقول إنه "لا يوجد منوال" لهذه المجموعة. وفي هذه الحالة، من الخطأ الفادح القول إن المنوال هو صفر، لأن الصفر قد يكون قيمة فعلية مسجلة ضمن البيانات، كما هو الحال في قياسات درجات الحرارة.

من أبرز مميزات المنوال سهولة استخراجه وعدم تأثره نهائياً بالقيم المتطرفة القصوى. أما عيبه الرئيسي فهو احتمالية عدم وجود منوال من الأساس في بعض مجموعات البيانات.

مثال على حساب المنوال

لمجموعة البيانات السابقة المكونة من عشرين قيمة:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا إيجاد المنوال باتباع الآتي:

رتب مجموعة البيانات بترتيب تصاعدي أو تنازلي لتسهيل الملاحظة. الترتيب كما يلي:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

بعد ذلك، نبحث عن القيمة التي تكررت لأقصى عدد من المرات. نلاحظ هنا أن الرقم 70 تكرر أكثر من غيره (4 مرات). وبالتالي، المنوال لهذه المجموعة هو 70.

يُعرف المنوال عادةً كمقياس للنزعة المركزية، لكن هذا الوصف ليس دقيقاً تماماً في كل الحالات؛ فقد يكون المنوال هو أكبر قيمة في المجموعة، أو أصغر قيمة، أو أي قيمة أخرى بعيدة عن المركز. على سبيل المثال، تأمل هذه الأرقام:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

المنوال هنا هو 120، ورغم ذلك فإنه في هذه الحالة لا يعكس النزعة المركزية للبيانات إطلاقاً.

ومن الخصائص المثيرة للاهتمام، أن المتوسط والوسيط يقتصر حسابهما على البيانات الكمية (الرقمية) فقط، بينما يمكننا حساب المنوال لكل من البيانات الكمية والبيانات النوعية (الوصفية).

على سبيل المثال، تتناول فيروز البيتزا بمعدل 12 مرة في الشهر وفقاً للخيارات التالية:

• 3 مرات بيتزا نابوليتانا ،
• 3 مرات بيتزا مارغريتا ،
• مرتين بيتزا كالزوني ،
• 1 مرة بيبروني ،
• 1 مرة مارينارا ،
• 1 فورتشيز ،
• 1 كابريزي.

في هذه الحالة، لدينا منوالان (ثنائية المنوال): بيتزا نابوليتانا وبيتزا مارغريتا.

مقاييس التشتت

نستخدم مقاييس التشتت لتحديد مدى التباين والاختلاف في مجموعة البيانات. فهي تعكس درجة تباعد وتشتت القيم عن القيمة المركزية. يمكننا فحص وقياس هذا التباين باستخدام المدى، والربيعات (الشرائح الربعية)، والمدى الربيعي (المدى بين الربيعين).

حاسبة المدى

مدى مجموعة البيانات هو ببساطة الفرق بين أعلى قيمة وأدنى قيمة في مجموعة البيانات. يمكننا حسابه بسهولة عن طريق تحديد الحد الأقصى والحد الأدنى للقيم وتطبيق المعادلة التالية:

$$نطاق = أكبر \ قيمة - أصغر \ قيمة$$

مثال على حساب المدى

لمجموعة البيانات المكونة من عشرين قيمة:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا حساب المدى على النحو التالي:

رتب مجموعة البيانات بترتيب تصاعدي أو تنازلي. الترتيب التصاعدي يبدو كالتالي:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

نجد أن أعلى قيمة هي 160، وأقل قيمة هي 42. ومن ثم فإن المدى هو:

$$نطاق = أكبر \ قيمة - أصغر \ قيمة = 160 - 42 = 118$$

لذلك، بالنسبة لمجموعة البيانات هذه، يبلغ المدى 118.

حاسبة الشرائح الربعية (الربيعات)

الشرائح الربعية (أو الربيعات) هي القيم التي تقسم مجموعة البيانات، بعد ترتيبها، إلى أربعة أجزاء متساوية عبر ثلاث نقاط فاصلة، وهي: الربع الأول، والربع الثاني، والربع الثالث.

• يمثل الربع الأول، المُسمى Q₁، النقطة التي تقع أسفلها أول 25% من القيم، بينما تكون 75% من القيم الأخرى أكبر منها.
• يمثل الربع الثاني، المُسمى Q₂، الوسيط ذاته. وهذا يعني أن 50% من مجموعة البيانات أصغر من هذه القيمة، و50% أكبر من Q₂.
• يمثل الربع الثالث، المُشار إليه بـ Q₃، النقطة التي تقع أسفلها 75% من القيم، لتبقى الـ 25% المتبقية أكبر منها.

طريقة حساب الشرائح الربعية

إجراءات حساب الشرائح الربعية لأي مجموعة بيانات تكون كالتالي:

1. رتب البيانات بترتيب تصاعدي.
2. لحساب الربع الثاني، قم بإيجاد الوسيط.
3. بالنسبة للربيعين الأول والثالث، حدد أولاً قيمة n (وهي العدد الإجمالي للقيم في مجموعة البيانات).
4. للربع الأول، احسب: L = 0.25n. وللربع الثالث، احسب: L = 0.75n.
5. إذا كانت L عدداً صحيحاً، فإن الربع هو المتوسط الحسابي للرقم الموجود في الموضع L والرقم الموجود في الموضع L + 1.
6. إذا لم تكن L عدداً صحيحاً، فقم بتقريبها إلى العدد الصحيح الأكبر الذي يليها. في هذه الحالة، الربع هو الرقم الموجود في الموضع المقابل للقيمة بعد التقريب.

مثال على حساب الشرائح الربعية

بالاعتماد على مجموعتنا المكونة من عشرين قيمة:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

يمكننا حساب الشرائح الربعية باتباع الآتي:

1. قم بفرز مجموعة البيانات تصاعدياً:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. من الحسابات السابقة، نعلم بالفعل أن:

الوسيط = 70

3. نحسب قيمة L للربع الأول: 0.25 × 20 = 5. وقيمة L للربع الثالث: 0.75 × 20 = 15.

4. بما أن الرقم 5 عدد صحيح، فإن Q₁ في حالتنا هو المتوسط للقيمتين في الموضعين الخامس والسادس:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. وبما أن الرقم 15 هو أيضاً عدد صحيح، فإن Q₃ في حالتنا يُحسب بالمتوسط للقيمتين في الموضعين الخامس عشر والسادس عشر:

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73.5$$

إذن، بالنسبة لمجموعة البيانات هذه، الربع الأول هو 57، والربع الثاني 70، والربع الثالث 73.5.

حاسبة المدى الربيعي (IQR)

المدى الربيعي أو المدى بين الربيعين (IQR) هو الفرق بين الربع الثالث Q₃ والربع الأول Q₁ لمجموعة البيانات. وهو مقياس دقيق لمتوسط التشتت للقيم الوسطى في البيانات، ويُحسب ببساطة كالتالي:

IQR = Q₃ - Q₁

مثال لحساب IQR

في القسم السابق، قمنا بالفعل بحساب الربعين الأول والثالث، وكانا 57 و 73.5 على التوالي. لحساب المدى الربيعي، كل ما علينا فعله هو تطبيق المعادلة ببساطة:

IQR = Q₃ - Q₁ = 73.5 - 57 = 16.5

وبالتالي، فإن المدى الربيعي لهذه البيانات يبلغ 16.5.

النتائج والخلاصة

في مثالنا العملي، ومن خلال المسح المصغر الذي أجراه طلال لأسعار بيتزا مارغريتا، يمكنه استخلاص الاستنتاجات التالية: المتوسط الحسابي والوسيط غير متطابقين تماماً؛ مما يشير إلى وجود التواء طفيف في البيانات، لكنه ليس ملحوظاً أو مؤثراً بدرجة كبيرة. لذلك، يمكن استخدام أي من المتوسط والوسيط لقياس النزعة المركزية بثقة.

إذا أراد طلال تسعير البيتزا الخاصة به ليتماشى مع متوسط السوق، فعليه أن يختار إما المتوسط أو الوسيط. ولكن أسعاراً مثل 71,900 روبية أو 69,500 روبية قد لا تكون جذابة أو سهلة التذكر للعملاء. لحسن الحظ، فإن سعر "المنوال" (السعر الأكثر شيوعاً وتكراراً) لبيتزا مارغريتا يقع تماماً ضمن هذا النطاق، وهو 70,000 روبية إندونيسية. لذا، كان هذا الرقم هو الخيار الأمثل والعملي ليبني عليه طلال حساباته.

أما إذا أراد طلال افتتاح مطعم بيتزا يستهدف شريحة العملاء الاقتصاديين الباحثين عن التوفير، فيمكنه التركيز على الأرقام الأقرب إلى الربع الأول، أي تسعير البيتزا بحوالي 57,000 روبية إندونيسية. وفي المقابل، ليس من العملي أو الملائم التركيز على الربع الثالث لتحديد سعر يستهدف العملاء الأكثر تطلباً، لأن قيم الربع الثالث لا تمثل حالة السوق العامة بشكل دقيق في هذه العينة.