Calculadora de Média, Mediana e Moda

As medidas de tendência central

Interpretar tabelas e gráficos de dados estatísticos pode ser um desafio. Frequentemente, precisamos resumir grandes conjuntos de dados e identificar suas principais características para extrair informações valiosas e úteis das estatísticas.

Na estatística, utilizamos diferentes medidas para resumir os dados. Algumas indicam o centro da distribuição, sendo conhecidas como medidas de tendência central. Outras descrevem como os valores estão espalhados, chamadas de medidas de dispersão. Existem também as medidas de posição, que revelam a proporção de dados que se encontra abaixo de um determinado valor.

O objetivo principal desta calculadora estatística é calcular as medidas de tendência central — média e mediana — que representam o valor típico ou central de um conjunto de dados. Como funcionalidade secundária, a ferramenta determina o grau de variação (ou dispersão) dos dados, calculando a amplitude, os quartis e o intervalo interquartil.

Calculadora de média

A média é a soma de todos os valores dividida pelo número total de observações. É a medida mais fácil de entender e pode ser encontrada usando a seguinte fórmula para calcular a média de uma amostra:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

A fórmula para calcular a média da população é:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

Aqui, o numerador representa a soma de todos os valores no conjunto de dados, enquanto o denominador representa a quantidade total de valores nesse mesmo conjunto.

A principal característica do uso da média aritmética é que ela leva em consideração todos os pontos de dados presentes na distribuição.

No entanto, a principal limitação da média é a sua alta sensibilidade a valores extremos (sejam eles muito grandes ou muito pequenos). Tais valores são conhecidos como outliers (ou valores atípicos) e afetam significativamente o resultado da média.

Vale ressaltar também que o valor médio não é necessariamente o valor típico dos dados. A média pode, inclusive, resultar em um número que sequer está presente no conjunto de dados original.

Média da amostra e da população

A população consiste em todo o conjunto de valores sobre os quais se deseja obter informações, enquanto a amostra consiste em um grupo menor, extraído dessa população.

O método para calcular o valor médio é exatamente o mesmo, tanto para amostras quanto para populações. Apenas as notações estatísticas são diferentes.

Se x₁, x₂,..., x_n representa uma amostra, a média é referida como a média da amostra e é representada pelo símbolo x̄.

A média da população, por sua vez, é denotada pela letra grega 𝜇.

Lembre-se de que, na estatística, usamos a letra minúscula n para denotar o tamanho da amostra e a letra maiúscula N para denotar o tamanho da população.

Exemplo de cálculo da média

Vejamos o seguinte exemplo: Luigi é um chef de primeira linha e apaixonado por pizzas. Ele decidiu abrir sua própria pizzaria em Bali. Para atrair um investidor, ele está elaborando um plano de negócios. Para avaliar o desempenho financeiro futuro, ele quer determinar o custo médio da pizza em diferentes restaurantes da ilha.

Ele fez uma pequena pesquisa sobre o preço da pizza Margherita nos restaurantes de Bali e obteve um conjunto de dados. Para facilitar os cálculos, vamos omitir os três últimos zeros e focar no número de milhares do preço. Ou seja, 60 em nossos cálculos significará 60.000 rupias indonésias.

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Luigi não visitou todas as pizzarias da ilha; ele selecionou 20 delas de forma aleatória. Portanto, estamos lidando com uma amostra.

Vamos calcular o valor médio para este conjunto de dados usando a fórmula correspondente:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

O resultado que obtemos é x̄ = 71,9.

A pesquisa de Luigi mostra que 71.900 rupias indonésias é o preço médio de uma pizza Margherita em Bali. Ele agora pode basear seus cálculos financeiros neste valor.

Calculadora de Mediana

A mediana é uma medida de posição que representa o valor central de um conjunto de dados quando dispostos em ordem crescente ou decrescente.

Ao calcular a mediana, o objetivo é encontrar o número que divide o conjunto de dados exatamente ao meio. Metade dos valores será menor que a mediana, e a outra metade será maior. É por isso que, ao determinar a mediana manualmente sem uma calculadora, precisamos primeiro ordenar os valores de forma crescente ou decrescente.

O cálculo da mediana varia dependendo se o número total de observações no conjunto de dados é par ou ímpar.

Se o número total de elementos for ímpar, ou seja, se n é um número ímpar, aplica-se a seguinte fórmula:

$$Mediana=(\frac{n+1}{2})\ elemento$$

Entretanto, se o número de elementos for par, o que significa que n é divisível por 2, utilizamos a seguinte fórmula:

$$Mediana=\frac{\left[(\frac{n}{2})\ elemento+(\frac{n}{2}+1)\ elemento\right]}{2}$$

A principal vantagem de utilizar a mediana como medida de tendência central é que ela é muito menos afetada por valores extremamente altos ou baixos (outliers).

Exemplo de cálculo da mediana

Para um determinado conjunto de vinte valores:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Podemos calcular a mediana seguindo estes passos:

1. Ordenar o conjunto de dados de forma crescente (ou decrescente). Neste caso, a ordem fica assim:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Determinar a quantidade de valores no conjunto de dados. Aqui, temos n = 20.

Se n for ímpar, escolhemos o valor exatamente no meio dos dados como a mediana. Se n for par, encontramos a média aritmética dos dois valores centrais. Basta somá-los e dividir o resultado por 2.

Como 20 é um número par, pegamos os dois valores centrais.

Os valores centrais em nossa amostra (posições 10 e 11) são 69 e 70. Encontramos a mediana desta forma:

$$Mediana = \frac{69 + 70}{2} = 69,5$$

Se Luigi tivesse um conjunto de 21 valores, adicionando um preço, por exemplo:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

Ele primeiro ordenaria os valores:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

E selecionaria o valor exato no centro, na 11ª posição, que é a mediana: 70.

A diferença entre a média e a mediana

Tanto a média quanto a mediana são excelentes ferramentas usadas como medidas de tendência central. Mas é fundamental entender como elas diferem.

A principal diferença é que a fórmula da média utiliza todos os valores do conjunto de dados para o cálculo. Em contrapartida, a fórmula da mediana depende apenas do número central (ou dos dois números centrais).

Isso é especialmente crítico para conjuntos de dados nos quais um ou mais números são atipicamente grandes ou pequenos (outliers). Na maioria dos casos, esses valores extremos distorcem a média de forma significativa, mas têm pouco ou nenhum efeito sobre a mediana.

Na estatística, dizemos que uma medida é robusta (ou resistente) se o seu valor não sofre grande impacto por valores extremos no conjunto de dados. Portanto, afirmamos que a mediana é uma medida robusta, enquanto a média não é.

A média e a mediana medem o centro dos dados de maneiras distintas. A média atua como o ponto de equilíbrio de todo o conjunto. A mediana é o ponto de corte que separa exatamente 50% dos dados de um lado e 50% do outro. Quando a distribuição dos dados é perfeitamente simétrica, a média e a mediana são iguais. Mas em muitos casos reais, elas não são.

Em algumas distribuições, a média pode ser menor ou maior que a mediana. Quando isso ocorre, dizemos que o conjunto de dados é assimétrico (ou enviesado).

Se o valor da média estiver à esquerda (menor que a mediana), dizemos que o conjunto de dados possui assimetria à esquerda. Se a média estiver à direita (maior que a mediana), o conjunto de dados possui assimetria à direita.

Entre essas duas medidas de tendência central, não existe uma que seja obrigatoriamente a "melhor". Ambas cumprem seu papel de formas diferentes. Muitos estatísticos e especialistas preferem utilizar a mediana quando os dados são altamente assimétricos ou contêm outliers, pois, nesses cenários, a mediana representa melhor o que seria um "valor típico".

Calculadora de moda

A moda estatística é o valor que ocorre com a maior frequência em um conjunto de dados. Em termos simples, é o número que mais se repete.

Um conjunto de dados que possui apenas um valor como o mais frequente é chamado de unimodal.

Se um conjunto de dados apresenta dois valores com a mesma frequência máxima, ambos são considerados a moda estatística, e o conjunto é classificado como bimodal.

Se houver mais de dois valores empatados com a frequência mais alta, cada um deles é uma moda, e o conjunto é chamado de multimodal.

Por outro lado, se nenhum valor se repetir mais de uma vez, conclui-se que o conjunto de dados não possui moda (ou é amodal). É importante notar que, nessa situação, seria incorreto dizer que a moda é "zero". Isso seria um erro grave, pois o zero pode ser um valor real dentro de um conjunto de dados (como em medições de temperatura, por exemplo).

A grande vantagem de calcular a moda é que ela é extremamente simples de encontrar e não sofre impacto de valores extremos. A principal desvantagem é que, em certas situações e conjuntos numéricos contínuos, a moda pode simplesmente não existir.

Exemplo de cálculo da moda

Para um determinado conjunto de vinte valores:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Podemos determinar a moda da seguinte forma:

Primeiro, organizamos o conjunto de dados em ordem crescente ou decrescente. A ordem fica assim:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Em seguida, procuramos o valor que se repete o maior número de vezes. Neste caso, o valor mais frequente é o 70 (aparece 4 vezes). Portanto, para este conjunto de dados, a moda é 70.

A moda também é categorizada como uma medida de tendência central, mas essa definição nem sempre é perfeita. A moda pode acabar sendo o maior valor do conjunto de dados, o menor valor, ou qualquer outro número que não esteja necessariamente no "centro". Por exemplo, se tivéssemos os seguintes números:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

Neste caso, a moda seria 120. Claramente, esse valor não reflete a "tendência central" da distribuição.

Um detalhe interessante é que só podemos calcular a média e a mediana para dados quantitativos (números). No entanto, a moda pode ser calculada tanto para dados numéricos quantitativos quanto para dados qualitativos (categorias).

Por exemplo, suponha que a Anna coma pizza em média 12 vezes por mês. Suas escolhas foram:

• 3 vezes uma pizza Napoletana,
• 3 vezes uma pizza Margherita,
• 2 vezes uma pizza Calzone,
• 1 Pepperoni,
• 1 Marinara,
• 1 Quatro Queijos,
• 1 Caprese.

Neste cenário de dados categóricos, teremos um conjunto bimodal com duas modas: pizza Napoletana e pizza Margherita.

Medidas de dispersão

Usamos as medidas de dispersão (ou variação) para analisar a variabilidade presente em um conjunto de dados. De maneira geral, elas refletem o quanto os dados estão espalhados ou distantes em relação ao valor central. As formas mais comuns de examinar essa variação são o cálculo da amplitude, dos quartis e do intervalo interquartil.

Calculadora de amplitude

A amplitude de um conjunto de dados é a diferença absoluta entre o valor mais alto e o valor mais baixo da amostra. Podemos calculá-la facilmente identificando os valores máximo e mínimo. A fórmula estatística para calcular a amplitude é:

$$Amplitude = maior\ valor - menor\ valor$$

Exemplo de cálculo de amplitude

Para o nosso já conhecido conjunto de vinte valores:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70,

Podemos calcular a amplitude com os seguintes passos:

Organizamos os dados em ordem crescente:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Identificamos que o valor mais alto (máximo) é 160, e o valor mais baixo (mínimo) é 42. Aplicando a fórmula:

Amplitude = maior valor - menor valor = 160 - 42 = 118

Portanto, para este conjunto de dados, a amplitude estatística é 118.

Calculadora de quartis

Os quartis são medidas de posição que dividem um conjunto de dados ordenado em quatro partes iguais (quartos) através de três pontos de corte: o primeiro, o segundo e o terceiro quartis.

O primeiro quartil, representado por Q₁, é o ponto que demarca os primeiros 25% dos valores do conjunto de dados, indicando que um quarto da amostra é inferior a esse valor (e os 75% restantes são maiores).

O segundo quartil, representado por Q₂, é exatamente a mediana. Isso significa que 50% dos dados são menores que este valor e os outros 50% são maiores que Q₂.

O terceiro quartil, denominado Q₃, é o ponto de corte que representa 75% dos valores da amostra. Ou seja, três quartos dos dados são menores que ele, e os 25% restantes são maiores.

Cálculo de quartis

O procedimento padrão para calcular os quartis de um conjunto de dados é o seguinte:

1. Organize os dados em ordem crescente.

2. Para calcular o segundo quartil, basta calcular a mediana. Para o primeiro e o terceiro quartis, siga os próximos passos. Defina n como o número total de valores no conjunto de dados.

3. Para encontrar a posição do primeiro quartil, calcule L = 0,25n. Para a posição do terceiro quartil, calcule L = 0,75n.

4. Se L for um número inteiro, o quartil será a média entre o número na posição L e o número na posição L + 1.

5. Se L não for um número inteiro, arredonde-o para o próximo número inteiro imediatamente superior. O quartil será o número localizado nessa posição correspondente.

Um exemplo de cálculo de quartil

Usando o mesmo conjunto de vinte valores:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Vamos calcular os quartis passo a passo:

1. Primeiro, ordenamos o conjunto de dados de forma crescente:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Pelos cálculos anteriores, já descobrimos que a mediana (Q₂) é:

Mediana = 70

3. Encontrando L para o primeiro quartil (Q₁): 0,25 × 20 = 5. Calculando L para o terceiro quartil (Q₃): 0,75 × 20 = 15.

4. Como 5 é um número inteiro, a posição do Q₁ exigirá a média entre o 5º e o 6º elemento. No nosso caso:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. Como 15 também é um número inteiro, o Q₃ será a média entre o 15º e o 16º elemento:

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73,5$$

Resumindo: para este conjunto de dados, o primeiro quartil é 57, o segundo quartil é 70 e o terceiro quartil é 73,5.

Calculadora de intervalo interquartil

O intervalo interquartil (frequentemente abreviado como IQR, do inglês Interquartile Range) é a diferença absoluta entre o terceiro quartil (Q₃) e o primeiro quartil (Q₁) de um conjunto de dados. Ele é uma excelente medida de dispersão porque foca nos 50% centrais dos dados, ignorando extremos. Ele pode ser calculado pela seguinte fórmula estatística:

IQR = Q₃ - Q₁

Exemplo de cálculo IQR

Na seção anterior, já calculamos os valores precisos do primeiro e do terceiro quartis. Eles são 57 e 73,5, respectivamente. Tudo o que precisamos fazer agora é aplicar a fórmula:

IQR = Q₃ - Q₁ = 73,5 - 57 = 16,5

Dessa forma, o intervalo interquartil para este conjunto de dados é de 16,5.

Resultados e Conclusão Prática

Aplicando tudo isso à pesquisa de preços de pizza Margherita feita pelo Luigi, ele poderia extrair as seguintes conclusões estratégicas: A média e a mediana não coincidiram perfeitamente, o que indica uma leve assimetria nos dados. No entanto, essa diferença não é acentuada. Portanto, tanto a média quanto a mediana poderiam ser usadas como referências confiáveis de tendência central.

Se Luigi quisesse definir o preço médio padrão para sua pizza Margherita, ele poderia se basear em qualquer uma dessas medidas. O problema é que cobrar 71.900 IDR (média) ou 69.500 IDR (mediana) não soa como um preço prático ou memorável para o cardápio. Felizmente, a moda — o preço mais comum do mercado — também está nessa faixa: exatas 70.000 rupias indonésias. Luigi poderia adotar esse valor preciso e mercadológico em seu plano de negócios.

Por outro lado, se a estratégia fosse criar uma pizzaria mais econômica, ele poderia focar nos preços próximos ao primeiro quartil, que representam os 25% mais baratos do mercado (cerca de 57.000 rupias indonésias). Da mesma forma, caso quisesse abrir um estabelecimento de luxo para um público mais exigente, balizar os preços perto do terceiro quartil e além garantiria o posicionamento premium desejado.