Kalkulator Mean, Median, Modus

Ukuran tendensi sentral

Mungkin sulit bagi kita untuk menafsirkan tabel dan grafik data statistik. Sering kita perlu menyimpulkan himpunan data dan mengidentifikasi segi penting guna mendapatkan informasi yang lebih berguna dari statistik.

Dalam statistik, ukuran-ukuran yang berbeda digunakan untuk menyimpulkan data. Ada yang menggambarkan nilai sentral; dan ukuran ini disebut tendensi sentral. Ukuran lainnya memberi tahu seberapa tersebarnya nilai data; dan disebut ukuran penyebaran. Lainnya lagi, yang disebut ukuran letak data, mengungkapkan proporsi data yang kurang dari nilai pusatnya.

Tujuan utama kalkulator ini adalah menghitung ukuran tendensi sentral—mean dan median—yang dapat mewakili nilai tipikal atau tengah dalam himpunan data. Tujuan kedua dari kalkulator ini adalah untuk menentukan derajat variasi himpunan data dengan menghitung rentang, rentang kuartil, dan rentang antar kuartil.

Kalkulator Mean

Mean adalah jumlah seluruh nilai data dibagi dengan jumlah data yang ada. Paling mudah memahami dan menghitungnya dengan menggunakan rumus berikut untuk menghitung mean sampel:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

Rumus mean dari populasi adalah:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

Di sini, pembilang mewakili jumlah seluruh nilai dalam himpunan data. Dan penyebut mewakili banyaknya nilai dalam himpunan data.

Fitur utama menggunakan mean aritmatika adalah melibatkan semua titik data yang ada dalam himpunan data.

Keterbatasan utama mean adalah rentan terhadap nilai ekstrim yang terlalu besar atau terlalu kecil. Nilai-nilai tersebut dikenal sebagai outlier, dan secara signifikan mempengaruhi rata-rata.

Catat juga bahwa nilai rata-rata belum tentu merupakan nilai tipikal datanya. Nilai mean mungkin merupakan nilai yang tidak ada dalam himpunan data sama sekali.

Rata-rata untuk sampel dan populasi

Populasi terdiri dari seluruh rangkaian nilai di mana informasi diperoleh. Sampel terdiri dari kelompok yang lebih kecil yang diambil dari populasi.

Metode menghitung nilai mean baik untuk sampel maupun populasi sama saja. Hanya sebutannya yang berbeda.

Jika x₁, x₂,..., xₙ adalah sampel, mean-nya disebut mean sampel dan dilambangkan dengan simbol x̄. Mean populasi dilambangkan dengan huruf Yunani .

Dalam statistik, kita menggunakan huruf kecil n untuk menunjukkan ukuran sampel dan huruf besar N untuk menunjukkan ukuran populasi.

Contoh menghitung mean

Mari kita lihat contoh berikut: Luigi adalah koki kelas satu dan seorang pecinta pizza. Dia memutuskan untuk membuka restoran pizza di Bali. Untuk mencari investor, Luigi menulis sebuah rencana bisnis. Dia ingin menentukan harga rata-rata pizza di berbagai restoran di pulau itu untuk menilai kelangsungan keuangan di masa depan.

Dia melakukan riset kecil tentang harga pizza Margherita di restoran-restoran di Bali dan mendapatkan himpunan data harga pizza. Untuk memudahkan penghitungan, mari kita buang tiga angka nol terakhir dari angka ribuan dalam harga. Artinya, 60 dalam perhitungan kita akan berarti 60.000 rupiah Indonesia.

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Luigi belum mengunjungi seluruh tempat pizza di pulau itu. Dia secara acak mengunjungi 20 restoran saja. Ini adalah sampel.

Mari kita hitung nilai rata-rata untuk himpunan data ini menggunakan rumus:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

Hasil mean-nya adalah x̄ = 71,9.

Riset Luigi menunjukkan bahwa 71.900 rupiah adalah harga rata-rata pizza Margherita di Bali. Sekarang dia bisa mendasarkan perhitungannya pada harga ini.

Kalkulator Median

Median adalah nilai tengah yang mewakili nilai rata-rata dari himpunan data yang disusun dalam urutan membesar atau mengecil.

Dengan menghitung median, kita mencari angka yang membagi himpunan data menjadi dua. Setengah dari nilai data lebih kecil dari median, dan setengahnya lebih besar dari median. Inilah sebabnya ketika kita menentukan median secara manual tanpa kalkulator median, kita perlu mengurutkan nilai dalam urutan membesar atau mengecil.

Cara menghitung median bergantung pada apakah banyaknya data dalam himpunan data itu genap atau ganjil.

Jika banyaknya data ganjil, yaitu n atau N ganjil, maka berlaku rumus berikut:

$$Median=elemen\ ke-(\frac{n+1}{2})$$

Namun, jika banyaknya data genap, yang berarti n adalah bilangan genap, maka digunakan rumus berikut:

$$Median=\frac{\left[\ elemen\ ke-(\frac{n}{2})+\ elemen\ ke-(\frac{n}{2}+1)\right]}{2}$$

Keuntungan utama menggunakan median adalah bahwa median paling tidak terpengaruh oleh nilai yang sangat tinggi atau sangat rendah.

Contoh menghitung median

Untuk kumpulan dua puluh data tertentu,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Kita dapat menghitung median sebagai berikut:

1. Urutkan himpunan data baik naik atau turun. Urutannya sebagai berikut:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Mari kita tentukan jumlah data dalam himpunan data. Kita punya n = 20.

3. Jika n ganjil, kita memilih nilai tengah data sebagai median. Jika n genap, kita mencari mean aritmatika dari dua nilai median. Tambahkan keduanya dan bagi jumlahnya dengan 2.

20 adalah bilangan genap.

Nilai tengah dalam sampel kita adalah 69 dan 70. Kita menemukan median dengan cara ini:

$$Median = \frac{69 + 70}{2} = 69,5$$

Jika Luigi punya kumpulan 21 data, misalnya,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

Dia bisa mengurutkan data:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

dan memilih nilai di tengah di posisi ke-11, yaitu 70.

Perbedaan Antara Mean dan Median

Baik mean maupun median digunakan sebagai ukuran tendensi sentral. Tetapi kita perlu mengetahui perbedaan antara keduanya.

Satu perbedaan penting antara mean dan median adalah bahwa rumus mean menggunakan semua nilai dalam himpunan data. Sebaliknya, rumus median hanya bergantung pada satu atau dua angka tengah.

Ini sangat penting untuk kumpulan data di mana satu atau lebih angkanya sangat besar atau sangat kecil. Angka-angka seperti itu disebut outlier. Dalam kebanyakan kasus, outlier ini akan secara signifikan memengaruhi mean, tetapi outlier hanya sedikit berpengaruh atau tidak berpengaruh pada median.

Dalam statistik, kita mengatakan bahwa suatu ukuran resisten jika nilainya tidak terlalu dipengaruhi oleh nilai ekstrim dalam himpunan data. Jadi dapat dikatakan median resisten sementara mean tidak resisten.

Mean dan median mengukur sentral himpunan data secara berbeda. Mean adalah titik di mana himpunan data seimbang. Median adalah rata-rata yang memisahkan 50% data di satu sisi dari 50% data di sisi lain. Ketika himpunan data simetris, mean dan median adalah sama.

Tapi mean dan median mungkin tidak sama.

Dalam beberapa himpunan data, mean mungkin lebih kecil dari median, atau median mungkin lebih kecil dari mean. Dalam hal ini, kita mengatakan bahwa himpunan datanya menceng.

Jika nilai mean diposisikan ke kiri atau lebih kecil dari median, kita katakan himpunan datanya menceng ke kiri. Jika mean diposisikan ke kanan atau lebih besar dari median, kita katakan himpunan datanya menceng ke kanan.

Baik mean maupun median, tidak ada yang lebih unggul sebagai ukuran tendensi sentral. Keduanya sama-sama mengukur tengah dengan cara yang berbeda. Beberapa ahli lebih suka menggunakan median ketika datanya sangat menceng atau punya nilai ekstrim karena median lebih mewakili nilai tengah.

Kalkulator Modus

Modus adalah nilai dari himpunan data yang paling banyak muncul dalam suatu himpunan data. Modus adalah nilai yang paling sering muncul.

Himpunan data dengan hanya satu nilai yang paling sering muncul disebut sebagai unimodal.

Jika suatu himpunan data punya dua nilai dengan frekuensi kemunculan tertinggi yang sama, maka kedua nilai tersebut dianggap modal, dan himpunan datanya dianggap bimodal.

Jika himpunan data punya lebih dari dua nilai dengan frekuensi kemunculan tertinggi yang sama, maka setiap nilai digunakan sebagai modus, dan himpunan data dianggap multimodal.

Jika tidak ada nilai data tunggal yang muncul lebih dari satu kali, maka himpunan data dikatakan tidak memiliki modus. Dalam hal ini, akan salah untuk menganggap modus adalah nol. Sebenarnya nol mungkin merupakan nilai sesungguhnya dalam beberapa himpunan data, seperti dalam hal pengukuran suhu.

Keuntungan utama menghitung modus adalah cara ini paling mudah dihitung dan tidak terpengaruh oleh nilai ekstrim. Kerugian dari menghitung modus adalah, dalam situasi tertentu, nilai modus mungkin tidak ada pada beberapa himpunan data.

Contoh penghitungan modus

Untuk kumpulan dua puluh data tertentu,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Kita bisa menemukan modus dengan cara berikut:

Atur himpunan data dalam urutan membesar atau mengecil. Urutannya sebagai berikut:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Kemudian kita mencari nilai yang diulang beberapa kali. Di sini, nilai yang paling sering adalah 70. Oleh karena itu, untuk himpunan data ini, nilai modalnya adalah 70.

Modus juga dikenal sebagai suatu ukuran tendensi sentral. Tapi modus tidak sepenuhnya akurat. Modus bisa berupa nilai terbesar dalam himpunan data, nilai terkecil, atau nilai lainnya. Misalnya, jika kita punya himpunan data dengan angka berikut:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

Modusnya adalah 120. Meskipun dalam kasus ini, hal ini tidak akan mencerminkan tendensi sentral.

Menariknya, kita hanya bisa menghitung mean dan median untuk data kuantitatif. Dan kita bisa menghitung modus untuk data kuantitatif dan kualitatif.

Misalnya, Anna makan pizza rata-rata 12 kali per bulan.

• 3 kali pizza Napoletana,
• 3 kali pizza Margherita,
• 2 kali pizza Calzone,
• 1 Peperoni,
• 1 Marinara,
• 1 Four Cheeze,
• 1 Caprese.

Dalam hal ini, kita akan punya dua modus: pizza Napoletana dan pizza Margherita.

Ukuran penyebaran

Kita menggunakan ukuran varians untuk menentukan variabilitas dalam himpunan data. Varians biasanya mencerminkan tingkat variasi dalam data dari nilai tengah. Kita bisa melihat varians dalam himpunan data menggunakan rentang, rentang kuartil, dan rentang antar kuartil.

Kalkulator Rentang

Rentang untuk himpunan data adalah perbedaan antara nilai tertinggi dan terendah dalam himpunan data. Kita bisa menghitungnya dengan menentukan nilai maksimum dan minimum dari himpunan data. Rumus menghitung rentang adalah:

$$Rentang = Nilai\ terbesar - Nilai\ terkecil$$

Contoh Menghitung Rentang

Untuk kumpulan dua puluh data tertentu,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

kita bisa menghitung rentang sebagai berikut:

Atur himpunan data dalam urutan membesar atau mengecil. Di sini, urutannya terlihat seperti ini:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Selanjutnya, nilai tertinggi adalah 160, dan nilai terendah adalah 42. Oleh karena itu, rentangnya:

$$Rentang = Nilai\ terbesar - Nilai\ terkecil = 160 - 42 = 118$$

Oleh karena itu, untuk kumpulan data ini, rentangnya adalah 118.

Kalkulator Kuartil

Kuartil adalah nilai yang membagi himpunan data menjadi empat bagian dengan tiga titik, yaitu kuartil pertama, kedua, dan ketiga.

Kuartil pertama, berlabel Q₁, adalah titik yang mewakili 25% pertama dari nilai dalam himpunan data yang lebih kecil dari nilai ini. Dan 75% lainnya punya nilai yang lebih besar.

Kuartil kedua, berlabel Q₂, adalah median. Ini berarti bahwa 50% dari himpunan data kurang dari nilai ini dan 50% lainnya lebih besar dari Q₂.

Kuartil ketiga, yang dilambangkan Q₃, adalah titik yang mewakili 75% nilai yang lebih kecil dari nilai ini dan 25% sisanya lebih besar.

Penghitungan kuartil

Prosedur menghitung kuartil dari himpunan data:

1. Susun data dalam urutan membesar.

2. Untuk menghitung kuartil kedua, hitung median.

3. Untuk kuartil pertama dan ketiga, lakukan sebagai berikut. Tentukan n - jumlah data dalam himpunan data.

4. Untuk kuartil pertama, hitung L = 0,25n. Untuk kuartil ketiga, hitung L = 0,75n.

5. Jika L bilangan bulat, maka kuartil adalah rata-rata angka yang ada di posisi L dan angka di posisi L + 1.

6. Jika L bukan bilangan bulat, maka bulatkan ke atas ke bilangan bulat berikutnya yang lebih tinggi. Kuartil adalah angka di posisi yang sesuai dengan nilai yang dibulatkan.

Contoh penghitungan kuartil

Untuk kumpulan dua puluh data tertentu,

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Kita bisa menghitung kuartil sebagai berikut:

1. Urutkan himpunan data baik naik atau turun. Di sini, urutannya terlihat seperti ini:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Dari penghitungan sebelumnya, kita sudah mengetahui bahwa

Median = 70

3. L untuk kuartil pertama: 0,25 × 20 = 5. L untuk kuartil ketiga: 0,75 × 20 = 15.

4. 5 adalah bilangan bulat, sehingga Q₁ dalam kasus ini adalah:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. 15 juga merupakan bilangan bulat, jadi Q₃, dalam kasus ini adalah

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73,5$$

Oleh karena itu, untuk himpunan data ini, kuartil pertamanya adalah 57, kuartil keduanya adalah 70, dan kuartil ketiganya adalah 73,5.

Kalkulator rentang antar-kuartil

Rentang antar kuartil (IQR) adalah perbedaan antara kuartil ketiga $(Q₃)$ dan kuartil pertama Q₁ dari suatu himpunan data. Ini adalah ukuran rata-rata penyebaran, yang dapat dihitung sebagai berikut:

IQR = Q₃ - Q₁

Contoh Penghitungan IQR

Pada bagian sebelumnya, kita telah menghitung kuartil pertama dan ketiga. Hasilnya adalah 57 dan 73,5. Yang perlu dilakukan hanyalah menggunakan rumusnya.

IQR = Q₃ - Q₁ = 73,5 - 57 = 16,5

Jadi, untuk himpunan data ini, rentang antar kuartilnya adalah 16,5.

Hasil

Dalam kasus kita, dengan survei mini yang dilakukan Luigi sehubungan harga pizza Margherita, dia dapat menarik kesimpulan berikut: Mean dan median tidak sama; ada sedikit kemencengan dalam data. Tapi itu tidak terlalu tampak. Jadi baik mean maupun median dapat dipakai untuk mengukur tendensi sentral.

Jika Luigi ingin menggunakan harga rata-rata pizza Margherita, dia seharusnya menggunakan rata-rata atau median. Tapi Rp 71.900 atau Rp 69.500 tidak pas untuk harga pizza yang berkesan. Untungnya, harga modus pizza Margherita hanya berada di kisaran itu, yakni 70.000 rupiah. Oleh karena itu, Luigi bisa saja menggunakan harga perhitungan tepatnya.

Jika dia ingin membuka restoran pizza bagi kelompok sasaran yang suka berhemat, dia bisa fokus pada angka yang lebih dekat ke kuartil pertama. Harganya adalah sekitar 57.000 rupiah. Sangat tidak pas untuk fokus ke kuartil ketiga untuk menentukan harga bagi pelanggan yang lebih berhemat karena kuartil ketiga tidak terlalu mewakilinya.