حاسبة التباين

التباين كمقياس للتغير

أحد الجوانب الأساسية للاستدلال الإحصائي لمجموعة بيانات معينة هو قياس مقياس يميز تباين البيانات من متوسطها. المقاييس الأكثر شيوعًا لقياس التباين هي:

• التباين هو متوسط تربيع الانحرافات عن المتوسط.
• الانحراف المعياري - هو الجذر التربيعي للتباين. الانحراف المعياري هو مقياس شائع الاستخدام لقياس التشتت/التباين.
• معامل الاختلاف ، والذي يُعرف أيضًا باسم الانحراف المعياري النسبي. يُحسب معامل التباين كنسبة الانحراف المعياري σ إلى المتوسط μ أو \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

تقوم هذه الآلة الحاسبة بإيجاد التباين لمجموعة بيانات معينة وتعرض خطوات الحل.

قواعد استخدام هذه الآلة الحاسبة

تقبل حاسبة التباين الإدخال كقائمة من الأرقام مفصولة بمحدد. يتم عرض بعض الأمثلة على المدخلات المحتملة في الجدول أدناه.

صف الإدخال	عمود الإدخال	عمود الإدخال	عمود الإدخال
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

يمكن فصل الأرقام بفاصلة أو مسافة أو فاصل أسطر أو مزيج من أكثر من نوع واحد من المحددات. يمكنك استخدام تنسيق الصف أو العمود. بالنسبة لجميع التنسيقات الموضحة في الجدول أعلاه، تعالج الآلة الحاسبة المدخلات مثل 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 و 89.

بمجرد إدخال البيانات، يمكنك تحديد ما إذا كانت بيانات عينة أو بيانات مجتمع. عندما تضغط على زر احسب، تعرض الآلة الحاسبة خمس معلمات إحصائية لمجموعة البيانات: العدد (عدد الملاحظات)، والمتوسط، ومجموع الانحرافات التربيعية، والتباين، والانحراف المعياري.

تم تصميم الآلة الحاسبة لحساب التباين لمجموعة البيانات. كما يوفر نظرة ثاقبة للنظرية الكامنة وراء الحساب وتعرض جميع خطوات الحل.

عند عمل الاستدلالات، يفضل استخدام مجموعة كبيرة من البيانات للحصول على إحصائيات جيدة. ولكن غالبًا ما يكون من الصعب الحصول على بيانات مجتمعية تمثل جميع الملاحظات الممكنة. لذلك، كقاعدة عامة، يتم أخذ "عينة" من المجتمع. وعادة ما يتم استخلاص الاستنتاجات حول المجتمع من بيانات العينة.

يقيس التباين متوسط تشتت مجموعة البيانات فيما يتعلق بالمتوسط. غالبًا ما يُرمز إليه بـ σ² للمجتمع و s² للعينة. تشير القيمة الأكبر من σ² أو s² إلى تشتت أكبر لنقاط البيانات من متوسط العينة والعكس صحيح.

ضع في اعتبارك نماذج مجموعات البيانات التالية.

(المجموعة I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(المجموعة II) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

توصيل المجموعة I في حاسبة التباين إلى:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

لعينة، و

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

للمجتمع

وبالمثل، فإن توصيل المجموعة II في الآلة الحاسبة ينتج عنه:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

لعينة، و

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

لمجتمع.

• في المجموعة I، انحرفت الأرقام بشكل كبير عن متوسط العينة

s²=70.4

σ²=64

• في المجموعة II، التباين ضئيل

s²=5.6

σ²=5.09

معادلة التباين: تباين المجتمع مقابل تباين العينة

تباين المجتمع

يشير المجتمع في الإحصاء إلى جميع الملاحظات الممكنة في التجربة. بالنسبة لملاحظات N ، يكون تباين المجتمع هو:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

حيث

• σ² هو التباين للمجتمع،
• Σ هو المجموع،
• xᵢ هي كل ملاحظة ،
• μ هو متوسط عدد المجتمع،
• n هو عدد الملاحظات في المجتمع.

تباين العينة

يتم تعريف تباين العينة على أنه

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

حيث

• s² هي تباين العينة,
• Σ هو المجموع،
• xᵢ هي كل ملاحظة،
• x̄ هو متوسط العينة،
• n هو عدد الملاحظات في العينة.

خطوات حساب التباين

تتضمن الخطوات التالية في حساب التباين.

الخطوة 1: احسب متوسط العينة/المجتمع. هذا هو مجموع جميع نقاط البيانات مقسوماً على عدد نقاط البيانات (n للعينة و N للمجتمع)، أي،

متوسط العينة:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

متوسط المجتمع:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

الخطوة 2: احسب الانحرافات بطرح متوسط العينة/المجتمع من كل نقطة بيانات، أي،

انحرافات العينة:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

انحرافات المجتمع:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

الخطوة 3: احسب الانحرافات المربعة لكل نقطة بيانات.

الانحرافات المربعة للعينة:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

الانحرافات المربعة للمجتمع:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

الخطوة 4: احسب مجموع الانحرافات المربعة.

مجموع الانحرافات المربعة للعينة:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

مجموع الانحرافات المربعة للمجتمع:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

الخطوة 5: قسم مجموع الانحرافات المربعة على \$ n-1 \$ للعينة و \$ N \$ للمجتمع لحساب التباين.

تباين العينة:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

تباين المجتمع:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

مثال على حساب التباين لعينة

لنأخذ في الاعتبار مجموعة البيانات التالية: 1, 2, 4, 5, 6, و 12. لحساب تباين العينة، نتبع الخطوات التالية:

الخطوة 1: حساب متوسط العينة (المتوسط).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

الخطوة 2: حساب الانحرافات عن المتوسط لكل نقطة بيانات.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

الخطوة 3: حساب مربعات الانحرافات.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

الخطوة 4: جمع مربعات الانحرافات.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i- \bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

الخطوة 5: حساب تباين العينة بقسمة مجموع مربعات الانحرافات على درجات الحرية (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

للسكان، كنا سنقسم على n (العدد الإجمالي لنقاط البيانات)، بدلاً من n-1، لحساب تباين السكان.

أهمية التباين

يستخدم التشتت أو التباين في الاستثمار. يساعد مديري الأصول على تحسين أداء استثماراتهم. يمكن للمحللين الماليين استخدام التباين لتقييم الأداء الفردي لمكونات محفظة الاستثمار.

يحسب المستثمرون التباين عند التفكير في شراء جديد لتقرير ما إذا كان الاستثمار يستحق المخاطرة. يساعد التشتت المحللين على تحديد مقياس عدم اليقين، والذي يصعب قياسه بدون تباين وانحراف معياري.

عدم اليقين لا يمكن قياسه بشكل مباشر. لكن التباين والانحراف المعياري (الجذر التربيعي للتباين) يساعدان في تحديد التأثير الملحوظ لسهم معين على المحفظة.

يمكن للعلماء والإحصائيين والرياضيين ومحللي البيانات أيضًا استخدام التباين. يساعد في توفير معلومات مفيدة حول تجربة أو عينة من المجتمع.

يمكن للعلماء البحث عن الاختلافات بين مجموعات الاختبار لتحديد ما إذا كانت متشابهة بدرجة كافية لاختبار الفرضية بنجاح. كلما زاد تباين مجموعة البيانات، زادت تبعثر القيم في مجموعة البيانات. يمكن للباحثين في مجال البيانات استخدام هذه المعلومات لمعرفة مدى جودة تمثيل المتوسط لمجموعة البيانات.

عيب استخدام التباين هو أن القيم المتطرفة الكبيرة في مجموعة يمكن أن تؤدي إلى بعض التشويه في البيانات. هذا لأن القيم المتطرفة يمكن أن تزيد من وزنها مرة واحدة في المربع.

يفضل العديد من الباحثين العمل مع الانحراف المعياري، المحسوب على أنه الجذر التربيعي للتباين. الانحراف المعياري أقل تأثراً بالقيم المتطرفة، وهو رقم أصغر، ويسهل تفسيره.