حاسبة التباين

التباين كمقياس للتشتت الإحصائي

يُعد قياس مدى تشتت البيانات عن وسطها الحسابي أحد الجوانب الأساسية في التحليل والاستدلال الإحصائي لأي مجموعة بيانات. وفيما يلي أبرز المقاييس الإحصائية وأكثرها شيوعاً لقياس هذا التشتت:

• التباين: هو متوسط مربعات انحرافات القيم عن الوسط الحسابي.
• الانحراف المعياري: هو الجذر التربيعي للتباين، ويُعد من أكثر المقاييس استخداماً لمعرفة مدى تشتت البيانات وتقلبها.
• معامل الاختلاف (ويُعرف أيضاً بالانحراف المعياري النسبي): يُحسب كنسبة بين الانحراف المعياري σ والوسط الحسابي μ، وتُكتب صيغته كالتالي: \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

تتيح لك حاسبة التباين الخاصة بنا إيجاد التباين لأي مجموعة بيانات بسهولة، مع عرض خطوات الحل الرياضي بالتفصيل.

كيفية استخدام حاسبة التباين خطوة بخطوة

تقبل الآلة الحاسبة إدخال البيانات على شكل قائمة من الأرقام المفصولة بفواصل أو علامات تحديد أخرى. يوضح الجدول أدناه بعض الأمثلة على التنسيقات الصحيحة لإدخال البيانات:

يمكنك فصل الأرقام باستخدام فاصلة، أو مسافة، أو فاصل أسطر (Enter)، أو حتى مزيج من هذه المحددات. سواء استخدمت التنسيق الأفقي (الصفوف) أو الرأسي (الأعمدة)، فإن الآلة الحاسبة ستعالج جميع التنسيقات الموضحة في الجدول أعلاه بدقة، وتقرأ المدخلات كالتالي: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, و 89.

بمجرد إدخال أرقامك، قُم بتحديد ما إذا كانت هذه البيانات تمثل "عينة" (Sample) أم "مجتمعاً إحصائياً" (Population). عند الضغط على زر "احسب"، ستعرض لك الأداة خمس معلمات إحصائية رئيسية لمجموعة بياناتك: العدد الإجمالي (حجم العينة أو المجتمع)، الوسط الحسابي، مجموع مربعات الانحرافات، التباين، والانحراف المعياري.

لم تُصمم هذه الآلة الحاسبة لإعطائك الناتج النهائي فحسب، بل لتوفير فهم عميق للنظرية الإحصائية الكامنة وراء الحساب من خلال عرض جميع خطوات الحل خطوة بخطوة.

في علم الإحصاء، يُفضل دائماً الاعتماد على مجموعات بيانات ضخمة للوصول إلى استدلالات دقيقة وموثوقة. ولكن نظراً لصعوبة – أو استحالة – جمع البيانات من كامل المجتمع الإحصائي (جميع المشاهدات الممكنة)، يتم عادةً أخذ "عينة" تمثيلية من هذا المجتمع. ومن خلال بيانات هذه العينة، يقوم الباحثون باستخلاص الاستنتاجات وتعميمها على المجتمع ككل.

يقيس التباين متوسط تشتت مجموعة البيانات عن وسطها الحسابي. ويُرمز له رياضياً بـ σ² للمجتمع و s² للعينة. كلما زادت قيمة σ² أو s²، دلّ ذلك على تشتت أوسع وتباعد أكبر لنقاط البيانات عن الوسط الحسابي، والعكس صحيح.

دعونا نتأمل مجموعتي البيانات التاليتين كمثال توضيحي:

(المجموعة I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(المجموعة II) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

عند إدخال بيانات المجموعة I في حاسبة التباين، نحصل على النتائج التالية:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

في حالة العينة، و

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

في حالة المجتمع الإحصائي.

وبالمثل، عند إدخال بيانات المجموعة II في الآلة الحاسبة، ينتج ما يلي:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

في حالة العينة، و

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

في حالة المجتمع الإحصائي.

• في المجموعة I، نلاحظ أن الأرقام انحرفت وتشتتت بشكل كبير عن الوسط الحسابي:

s²=70.4

σ²=64

• في المجموعة II، نلاحظ أن التباين ضئيل (البيانات متقاربة):

s²=5.6

σ²=5.09

معادلة حساب التباين: المجتمع الإحصائي مقابل العينة

تباين المجتمع الإحصائي

يُقصد بـ "المجتمع" في علم الإحصاء جميع المفردات أو المشاهدات الممكنة التي تشملها التجربة أو الدراسة. بالنسبة لعدد N من المشاهدات، تُحسب معادلة تباين المجتمع كالتالي:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

حيث:

• σ² هو تباين المجتمع الإحصائي،
• Σ يشير إلى المجموع الإجمالي،
• xᵢ تمثل كل مشاهدة فردية،
• μ هو الوسط الحسابي للمجتمع،
• n هو إجمالي عدد المشاهدات في المجتمع.

تباين العينة

يُعرّف تباين العينة رياضياً بالصيغة التالية:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

حيث:

• s² هو تباين العينة،
• Σ يشير إلى المجموع الإجمالي،
• xᵢ تمثل كل مشاهدة فردية،
• x̄ هو الوسط الحسابي للعينة،
• n هو إجمالي عدد المشاهدات في العينة.

خطوات حساب التباين

تتضمن عملية حساب التباين الخطوات المتسلسلة التالية:

الخطوة 1: احسب الوسط الحسابي للعينة أو المجتمع. ويتم ذلك بجمع جميع قيم البيانات وقسمتها على عددها الإجمالي (n للعينة و N للمجتمع)، لتصبح المعادلة:

الوسط الحسابي للعينة:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

الوسط الحسابي للمجتمع:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

الخطوة 2: احسب الانحرافات عن طريق طرح الوسط الحسابي (للعينة أو المجتمع) من كل قيمة من قيم البيانات، كما يلي:

انحرافات العينة:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

انحرافات المجتمع:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

الخطوة 3: احسب مربعات هذه الانحرافات (تربيع كل قيمة ناتجة من الخطوة السابقة).

مربعات انحرافات العينة:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

مربعات انحرافات المجتمع:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

الخطوة 4: احسب المجموع الإجمالي لمربعات الانحرافات.

مجموع مربعات انحرافات العينة:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

مجموع مربعات انحرافات المجتمع:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

الخطوة 5: اقسم مجموع مربعات الانحرافات على \$ n-1 \$ (في حالة العينة) أو على \$ N \$ (في حالة المجتمع) للحصول على قيمة التباين النهائية.

تباين العينة:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

تباين المجتمع:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

مثال عملي على حساب تباين العينة

لنفترض أن لدينا مجموعة البيانات التالية: 1, 2, 4, 5, 6, و 12. لحساب تباين هذه العينة، سنقوم بتطبيق الخطوات المذكورة أعلاه:

الخطوة 1: حساب الوسط الحسابي (المتوسط) للعينة.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

الخطوة 2: حساب انحراف كل قيمة عن الوسط الحسابي.

الخطوة 3: حساب مربعات الانحرافات (تربيع القيم السابقة).

الخطوة 4: إيجاد مجموع مربعات الانحرافات.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i- \bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

الخطوة 5: حساب تباين العينة من خلال قسمة مجموع مربعات الانحرافات على درجات الحرية (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

ملاحظة: لو كانت هذه البيانات تمثل مجتمعاً إحصائياً كاملاً، لكنا قسمنا على n (العدد الإجمالي لنقاط البيانات) بدلاً من n-1 لحساب تباين المجتمع.

أهمية التباين وتطبيقاته

يلعب مقياس التشتت أو التباين دوراً محورياً في مجال الاستثمار المالي؛ فهو يساعد مديري الأصول المالية على تحسين أداء استثماراتهم، ويتيح للمحللين الماليين تقييم الأداء الفردي لكل أصل من الأصول المكونة للمحفظة الاستثمارية.

يعتمد المستثمرون على حساب التباين عند التفكير في اتخاذ قرارات شراء جديدة، وذلك لتحديد ما إذا كان الاستثمار المعين يستحق المخاطرة. من خلال قياس التشتت، يتمكن المحللون من تحديد مستويات "عدم اليقين" (Uncertainty) والمخاطرة، وهي مؤشرات يصعب جداً قياسها بدقة دون الاستعانة بمقاييس التباين والانحراف المعياري.

وبما أن حالة "عدم اليقين" لا يمكن قياسها بشكل مباشر، فإن التباين والانحراف المعياري (وهو الجذر التربيعي للتباين) يقدمان حلاً فعالاً لتحديد مدى تأثير تقلبات سهم معين على استقرار المحفظة الاستثمارية ككل.

لا يقتصر استخدام التباين على المجال المالي، بل يمتد ليشمل العلماء، والإحصائيين، وعلماء الرياضيات، ومحللي البيانات. فهو يوفر معلومات جوهرية ومفيدة للغاية حول نتائج التجارب أو العينات المأخوذة من المجتمعات الإحصائية.

في مجال البحث العلمي، يستخدم العلماء التباين للبحث عن الفروق بين مجموعات الاختبار المختلفة لتحديد ما إذا كانت متشابهة بدرجة كافية تضمن نجاح اختبار الفرضيات. كقاعدة عامة: كلما زاد التباين، زاد تبعثر القيم وتشتتها داخل مجموعة البيانات. ويستفيد باحثو البيانات من هذه المعلومات لتقييم مدى دقة "الوسط الحسابي" في التعبير عن البيانات أو تمثيلها.

ومع ذلك، هناك عيب ملحوظ عند استخدام التباين؛ وهو أن "القيم المتطرفة" (Outliers) الكبيرة أو الصغيرة جداً يمكن أن تؤدي إلى تشويه ملحوظ في النتائج. ويرجع ذلك إلى أن عملية الحساب تتطلب تربيع الانحرافات، مما يُضاعف من وزن وتأثير هذه القيم المتطرفة بشكل كبير.

لهذا السبب، يُفضل العديد من الباحثين الاعتماد بشكل أكبر على "الانحراف المعياري" (والذي يُحسب كالجذر التربيعي للتباين). فالانحراف المعياري يكون أقل تأثراً بالقيم المتطرفة، ويأتي في شكل رقم أصغر وبنفس وحدة القياس الأصلية للبيانات، مما يجعله أسهل وأكثر وضوحاً في التفسير.