Calculateur du plus grand commun diviseur

Le calculateur de plus grand commun diviseur

Le calculateur de plus grand commun diviseur est un outil en ligne qui vous permet de trouver rapidement et avec précision le plus grand commun diviseur (PGCD) d'une liste de nombres. Il fournira également tous les facteurs des nombres de cette liste.

Le PGCD est parfois appelé le plus grand dénominateur commun, le plus grand diviseur commun ou le diviseur commun le plus élevé. Le calculateur PGCD peut donc être utilisé pour trouver la solution de tous de ces termes.

Mode d'emploi

Pour utiliser le calculateur de PGCD, saisissez tous les nombres séparés par des virgules ou des espaces et appuyez sur "Calculer". Le calculateur renverra le PGCD des nombres fournis et démontrera la solution pour trouver sa valeur. Le calculateur illustrera toujours la solution par factorisation.

Pour supprimer toutes les entrées, appuyez sur "Effacer".

Limitations concernant les valeurs en entrée

1. Vous devez saisir des nombres entiers.
2. Un seul des nombres peut être zéro.
3. Vous ne pouvez saisir que des nombres entiers positifs.

La définition du plus grand commun diviseur

Le plus grand facteur commun (GCF), également connu sous le nom de plus grand diviseur commun (GCD), est l'entier positif le plus élevé qui divise deux ou plusieurs entiers donnés sans laisser de reste. Il s'agit du plus grand nombre par lequel tous les entiers donnés peuvent être divisés. Par exemple, le CCG de 12 et 18 est 6, car 6 est le plus grand nombre qui divise à la fois 12 et 18 sans laisser de reste.

Dans le cas de zéro, le FCM est la valeur absolue de l'entier non nul, puisque tous les entiers divisent zéro. Toutefois, si tous les entiers de l'ensemble sont nuls, la FCM est indéfinie.

Par exemple, les diviseurs du nombre 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12. Les diviseurs communs de plusieurs nombres sont les diviseurs qui peuvent diviser chacun de ces nombres sans restes. Par exemple, si nous devions trouver tous les diviseurs communs des nombres 12 et 16, nous aurions d'abord besoin de lister les diviseurs de chacun des nombres, puis de vérifier quels diviseurs se trouvent dans les deux listes :

12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12

16 : 1, 2, 4, 8, 16

Les diviseurs communs des nombres donnés (12 et 16) sont 1, 2 et 4. Le plus grand commun diviseur est simplement le plus grand de ces nombres. Dans le cas de 12 et 16, le PGCD est de 4.

Comment trouver le plus grand commun diviseur

Il existe plusieurs façons de trouver le PGCD de plusieurs nombres. La méthode la plus simple est la solution par factorisation.

Solution par factorisation

Pour trouver le PGCD en utilisant cette méthode, suivez les étapes décrites ci-dessus : commencez par identifier les diviseurs de tous les nombres de la liste, puis trouvez les diviseurs communs et choisissez le plus grand.

La solution par factorisation est plus pratique pour les petits nombres ou lorsque les facteurs des nombres sont facilement identifiables. Pour les nombres plus importants, des méthodes telles que la factorisation des nombres premiers ou l'algorithme d'Euclide peuvent s'avérer plus efficaces.

Exemple de calcul

Trouvez le plus grand commun diviseur des nombres 3, 9 et 48.

La solution :

• Les diviseurs de 3 sont 1 et 3.
• Les diviseurs de 9 sont 1, 3 et 9.
• Les diviseurs de 48 sont 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48.

Les diviseurs communs sont 1 et 3. Donc, le plus grand commun diviseur est 3.

Réponse : PGCD = 3

Factorisation première

Une autre méthode pour trouver le plus grand commun diviseur d'un ensemble de nombres consiste en les étapes suivantes :

1. Trouvez tous les facteurs premiers des nombres donnés.
2. Énumérez les facteurs premiers communs à tous ces nombres.
3. Pour obtenir le plus grand commun diviseur, multipliez les diviseurs premiers communs entre eux.

Exemple de calcul

Trouvez le plus grand commun diviseur des nombres 16, 24 et 76.

La solution

• La factorisation première de 16 est : 2 × 2 × 2 × 2, soit 2⁴.
• La factorisation première de 24 est : 2 × 2 × 2 × 3, soit 2³ × 3¹.
• La factorisation première de 76 est : 2 × 2 × 19, soit 2² × 19¹.
• Les diviseurs premiers communs sont : 2 × 2, aussi écrit 2².

Par conséquent, le plus grand commun diviseur est : 2 × 2 = 2² = 4

Réponse : PGCD = 4

Algorithme d'Euclide

Cet algorithme est pratique pour trouver les plus grands communs diviseurs de grands nombres, pour lesquels l'utilisation de n'importe quel type de factorisation serait très lourde et chronophage. Cet algorithme, développé par Euclide, utilise le fait que le PGCD des deux nombres m et n, où m > n, est le même que le PGCD des deux nombres n et m - n.

Pour trouver le PGCD des deux nombres m et n en utilisant cet algorithme, vous devez remplacer consécutivement le plus grand des deux nombres par la différence des deux nombres :

Tout d'abord, remplacez m par m - n. Vous avez maintenant un nouvel ensemble de nombres : m - n et n.

Vérifiez lequel de ces nombres est le plus grand et remplacez ce nombre par la différence entre les nouveaux nombres.

Répétez jusqu'à ce que les deux nombres deviennent égaux. Ce nombre sera le plus grand commun diviseur de l'ensemble de nombres d'origine.

Exemple de calcul

Trouvez le plus grand commun diviseur des nombres suivants : 124, 98.

La solution

Le plus grand nombre dans cet ensemble est 124. Remplaçons-le par la différence entre les nombres 124 - 98 = 26 pour obtenir l'ensemble suivant :

26, 98

Le plus grand nombre dans cet ensemble est 98. Remplaçons-le par la différence de nombres, (98 - 26) = 72 pour obtenir l'ensemble suivant :

26, 72

Nous pouvons soustraire 26 du plus grand nombre deux fois de plus : 72 - 26 - 26 = 20. Maintenant, notre ensemble ressemble à ceci :

26, 20

Dans l'itération suivante, nous remplaçons 26 par 26 - 20 = 6 pour obtenir

6, 20

Ensuite, on soustrait 6 de 20. On peut répéter cette opération trois fois puisque la différence résultante sera toujours supérieure à 6 :

20 - 6 - 6 - 6 = 2

Maintenant, notre ensemble est :

6, 2

Les itérations suivantes sont :

(6 - 2 = 4), 2 ou 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 ou 2, 2

Nous avons maintenant un ensemble de deux nombres égaux :

2, 2

Par conséquent, le plus grand commun diviseur de 124 et 98 est 2.

Réponse : PGCD = 2

Pourquoi le PGCD n'est-il défini que pour les nombres positifs ?

Le plus grand commun diviseur n'est défini que pour les nombres positifs. Le calculateur PGCD ne prend également que des entiers positifs comme entrées. Le PGCD sera toujours positif, même pour les nombres négatifs. Par exemple, -4 est un diviseur de -8. Cependant, 4 est aussi un diviseur de -8, puisque -8 = 4 × (-2). Puisque le plus grand commun diviseur est toujours le plus grand de tous les communs diviseurs, il sera toujours positif.

Le plus grand commun diviseur de 0

Le plus grand facteur commun d'un nombre et de zéro est toujours la valeur absolue du nombre non nul. En effet, tout nombre est un diviseur de zéro. Par exemple, le plus grand facteur commun de 8 et 0 est 8, et le plus grand facteur commun de -8 et 0 est 8 (la valeur absolue de -8).