محاسبه‌گر فاصله

ماشین حساب‌های زیر می‌توانند برای یافتن فاصله بین دو نقطه در یک فضای دو بعدی (صفحه 2D) یا سه بعدی (فضای 3D) استفاده شوند، همچنین برای محاسبه فاصله بین دو مکان که با عرض و طول جغرافیایی تعریف شده‌اند، یا به عنوان نقاط روی نقشه جهان نشان داده شده‌اند. 3 ماشین حساب در این صفحه وجود دارد:

• ماشین حساب فاصله 2D
• ماشین حساب فاصله 3D
• ماشین حساب فاصله بین مختصات

ماشین حساب فاصله 2D همچنین می‌تواند برای تعیین معادله خط و یافتن شیب و زاویه خطی که دو نقطه داده شده را به هم متصل می‌کند، استفاده شود.

دستورالعمل‌های استفاده

ماشین حساب فاصله 2D

این ماشین حساب فاصله بین دو نقطه روی یک صفحه 2D را پیدا می‌کند: نقطه 1 با مختصات (X₁, Y₁) و نقطه 2 با مختصات (X₂, Y₂). برای یافتن فاصله بین دو نقطه روی صفحه، مختصات هر دو نقطه (X₁, Y₁, X₂, Y₂) را در فیلدهای مربوطه وارد کنید و روی «محاسبه» فشار دهید.

ماشین حساب پاسخ نهایی، الگوریتم حل تفصیلی و نمایش گرافیکی نقاط روی صفحه مختصات را برمی‌گرداند. علاوه بر این، ماشین حساب شیب و زاویه خطی که دو نقطه داده شده را به هم متصل می‌کند را پیدا کرده و معادله خط متناظر را تعیین می‌کند.

ماشین حساب فاصله 3D.

این ماشین حساب فاصله بین دو نقطه در یک فضای 3D را پیدا می‌کند: نقطه 1 با مختصات (X₁, Y₁, Z₁) و نقطه 2 با مختصات (X₂, Y₂, Z₂). برای محاسبه فاصله بین دو نقطه در یک فضای 3D، مختصات هر دو نقطه (X₁, Y₁, Z₁, X₂, Y₂, Z₂) را در فیلدهای مربوطه وارد کنید و روی «محاسبه» فشار دهید. ماشین حساب پاسخ نهایی و الگوریتم حل تفصیلی را برمی‌گرداند.

ماشین حساب فاصله بین مختصات - فاصله بر اساس عرض و طول جغرافیایی

از این ماشین حساب برای یافتن فاصله بین دو نقطه روی سطح زمین استفاده کنید اگر مختصات آن‌ها (عرض و طول جغرافیایی) شناخته شده است. ماشین حساب فاصله بین نقطه 1 با عرض 1 و طول 1، و نقطه 2 با عرض 2 و طول 2 را بر اساس فرضیه اینکه شکل زمین می‌تواند به عنوان یک بیضی تقریب زده شود، پیدا می‌کند. برای محاسبات از فرمول‌های لامبرت استفاده می‌شود.

برای استفاده از این ماشین حساب، مقادیر داده شده عرض 1، طول 1، عرض 2، و طول 2 را در فیلدهای مربوطه وارد کنید و روی «محاسبه» فشار دهید. ماشین حساب فاصله بین نقاط را به کیلومتر و مایل برمی‌گرداند.

مقادیر ورودی

مختصات می‌توانند به شکل‌های زیر وارد شوند:

• فرمت درجه-دقیقه-ثانیه، دنبال شده توسط یک جهت قطب‌نما از منوهای کشویی - N (شمال) یا S (جنوب) برای عرض، و E (شرق) یا W (غرب) برای طول جغرافیایی. در اینجا، عرض‌های جغرافیایی باید با مقادیر بین -90 و 90 نمایش داده شوند، و مقادیر بین -180 و 180 باید طول‌های جغرافیایی را نمایندگی کنند.
• اعشار بدون جهت قطب‌نما. نشانه مقادیر سپس جهت را نشان می‌دهد: عرض جغرافیایی در شمال (از استوا) مثبت، در جنوب منفی است، و طول جغرافیایی در شرق (از نیم‌کره اول) مثبت و در غرب منفی است. همچنین، در اینجا، عرض‌های جغرافیایی باید با مقادیر بین -90 و 90 نمایش داده شوند، و مقادیر بین -180 و 180 باید طول‌های جغرافیایی را نمایندگی کنند. برای خالی کردن تمام فیلدها، روی «پاک کردن» فشار دهید.

ماشین حساب فاصله بین دو نقطه روی نقشه

این ماشین حساب همچنین فاصله بین دو نقطه روی سطح زمین را بر اساس فرضیه‌ای که شکل زمین را می‌توان به عنوان یک بیضی تقریب زده و از فرمول‌های لامبرت برای محاسبات استفاده کرد، پیدا می‌کند.

برای استفاده از این ماشین حساب، دو نقطه روی نقشه ارائه شده را انتخاب کنید. ماشین حساب به طور خودکار مختصات (اعشاری) نقاط انتخاب شده را تعیین کرده و فاصله را به کیلومتر و مایل محاسبه می‌کند.

تمام ماشین‌های حساب اعداد صحیح، اعشار و اعداد در نماد e را به عنوان ورودی‌ها قبول می‌کنند.

فرمول‌ها

در تمام فرمول‌های ارائه شده در زیر، فاصله به عنوان d نشان داده می‌شود.

فرمول فاصله 2D

فاصله بین دو نقطه با مختصات (X₁, Y₁) و (X₂, Y₂) روی یک صفحه دو بعدی با کمک قضیه فیثاغورث و با فرمول زیر محاسبه می‌شود:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²}$$

فرمول فاصله 3D

فرمول فوق را می‌توان به 3 بعد گسترش داد تا فاصله بین نقطه 1 با مختصات (X₁, Y₁, Z₁) و نقطه 2 با مختصات (X₂, Y₂, Z₂) به شکل زیر یافت شود:

$$d=\sqrt{(X₂ - X₁)²+(Y₂ - Y₁)²+(Z₂ - Z₁)²}$$

محاسبه فاصله بر اساس عرض و طول جغرافیایی

این بخش از نمادهای زیر استفاده می‌کند: ϕ برای عرض جغرافیایی و λ برای طول جغرافیایی. یک نقطه با عرض جغرافیایی 1 و طول جغرافیایی 1 به صورت (ϕ1, λ1) توصیف می‌شود.

برای محاسبه فاصله بین دو نقطه روی سطح زمین، نیاز داریم تا فاصله را روی سطح زمین محاسبه کنیم. بنابراین، باید یک تقریب برای شکل سطح زمین انتخاب کنیم. سه تقریب رایج وجود دارد:

1. سطح صاف. این تقریب برای فواصل کوتاه بسیار خوب کار می‌کند. در این حالت می‌توان از فرمول فاصله 2D استفاده کرد. چندین تقریب بیشتر برای حساب کردن تغییرات فاصله بین مریدیان‌ها هنگام پروژه کردن سطح زمین روی یک صفحه وجود دارد.
2. سطح کروی. فرمول برای این تقریب بر اساس فرض است که سطح زمین را می‌توان به عنوان یک کره تقریب زد. سپس از مثلثات کروی برای استخراج یک فرمول دقیق‌تر که می‌توان برای فواصل قابل توجه با دقتی حدود 5% استفاده کرد، استفاده می‌شود. این فرمول، فرمول فاصله دایره بزرگ یا فرمول هاورسین نامیده می‌شود، زیرا با کمک هاورسین – یک تابع مثلثاتی خاص – استخراج شده است. هاورسین زاویه θ به شکل زیر تعریف می‌شود: \$hav\ θ=\frac{(1-cos⁡θ)}{2}\$. و فرمول هاورسین برای فاصله بین دو نقطه با مختصات (ϕ₁, λ₁) و (ϕ₂, λ₂) به این شکل است:

$$d=2r\ arcsin\sqrt{hav(φ₂-φ₁ )+(1-hav(φ₁-φ₂ )-hav(φ₁+φ₂ ))× hav(λ₂-λ₁)}$$

$$d=2r\ arcsin\left( \sqrt{(sin²\left( \frac{φ₂-φ₁}{2} \right)⁡+cos⁡\ φ₁×cos⁡\ φ₂ × sin²\left( \frac{λ₂-λ₁}{2} \right)⁡}\right)$$

که در آن r – شعاع کره مورد بررسی (در این مورد، شعاع متوسط زمین) است.

3. سطح بیضوی. این تقریب دقیق‌ترین است زیرا شکل واقعی زمین نزدیک‌تر به یک بیضی است تا یک کره. کوتاه‌ترین خط (مسیر) که دو نقطه را روی سطح یک بیضوی به هم متصل می‌کند، جئودزیک نامیده می‌شود و طول آن مسیر با فرمول‌های لامبرت محاسبه می‌شود. این فرمول‌ها از عرض‌های کاهش‌یافته β₁ و β₂ به جای ϕ₁ و ϕ₂ استفاده می‌کنند: tan β = (1 - f) × tan ϕ، که در آن f – فلت شدگی است. فاصله به شکل زیر یافت می‌شود:

d = a (σ – f/2(X + Y))

که در آن a – شعاع استوایی بیضوی (در این مورد، زمین)، σ – زاویه مرکزی بین نقطه 1 (β₁, λ₁) و نقطه 2 (β₂, λ₂) به رادیان است. این زاویه با استفاده از فرمول هاورسین که بالاتر توضیح داده شد، محاسبه می‌شود، با فرض اینکه طول‌های جغرافیایی روی یک کره و بیضوی متناظر یکسان هستند. X و Y با استفاده از فرمول‌های زیر محاسبه می‌شوند:

$$X=(σ-sin⁡σ)\frac{sin²⁡P\ cos²⁡Q}{cos²\frac{σ}{2}⁡}$$

$$Y=(σ-sin⁡σ)\frac{cos²⁡P\ sin²⁡Q}{sin²\frac{σ}{2}⁡}$$

که در آن، P = (β₁ + β₂)/2 و Q = (β₂ – β₁)/2

کاربردهای عملی

معمولاً، زمانی که در مورد فاصله صحبت می‌کنیم، منظور ما فاصله 2D یا 3D است. این شامل مثال‌های مختلفی می‌شود:

• فاصله بین انتهای صف و جلوی خط (برای یک صف خط مستقیم).
• طول شیب تپه‌ای که در آن اسکی می‌کنید.
• حتی فاصله بین خورشید و سیارات منظومه شمسی.

فاصله عرض و طول جغرافیایی، یا فاصله بین نقاط روی نقشه، بسیار اغلب برای محاسبه مسیر پرواز یک هواپیما که از نقطه A به نقطه B در حال سفر است، استفاده می‌شود، زیرا یک هواپیما که از یک مکان به مکان دیگر در حال پرواز است، در حال حرکت روی سطح بیضوی زمین است – دقیقاً همان شرایطی که توسط فرمول‌های لامبرت توصیف شده است!