Calcolatore della Distanza

Questo calcolatore online permette di trovare la distanza tra due punti su un piano cartesiano conoscendo le loro coordinate. Lo strumento opera in uno spazio bidimensionale (2D).

Poiché una linea retta rappresenta sempre la distanza più breve tra due punti, puoi utilizzare questo strumento anche come un pratico calcolatore per determinare la lunghezza di un segmento.

Istruzioni per l'uso

Il calcolatore determina la distanza tra un Punto 1 di coordinate (X₁, Y₁) e un Punto 2 di coordinate (X₂, Y₂).

Per calcolare la distanza tra due punti, inserisci le rispettive coordinate negli appositi campi. I dati di input devono seguire queste semplici regole:

• Utilizza una virgola per separare le due coordinate di ciascun punto. Ad esempio, inserendo “4, 5” nel campo (X₁, Y₁), imposterai il Punto 1 con coordinata x uguale a 4 e coordinata y uguale a 5. Se una coordinata include dei decimali, utilizza il punto per separare la parte intera da quella decimale; ad esempio, inserisci “4.5, 7” per ottenere un punto con coordinata x pari a 4,5 e coordinata y pari a 7.
• Puoi utilizzare solo numeri interi o decimali per definire le coordinate. Le frazioni non sono supportate.
• Gli spazi tra le coordinate non sono obbligatori, ma puoi inserirli per una maggiore comodità e leggibilità.

Dopo aver inserito le coordinate, clicca su “Calcola”. Il nostro calcolatore ti fornirà il risultato finale mostrando anche i passaggi dettagliati della soluzione.

Formula della distanza

In un piano cartesiano bidimensionale, la distanza d tra il Punto 1 (X₁, Y₁) e il Punto 2 (X₂, Y₂) si calcola utilizzando la seguente formula:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

In altre parole: la distanza tra 2 punti in uno spazio bidimensionale si ottiene calcolando la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze tra le rispettive coordinate. Questa espressione matematica è nota come formula della distanza euclidea. Di conseguenza, questo strumento è a tutti gli effetti un calcolatore di distanza euclidea.

Derivazione della formula della distanza euclidea

Per comprendere come si ricava questa formula, prendiamo in esame due punti dati su un piano cartesiano (X, Y):

Per trovare la distanza tra il Punto 1 e il Punto 2, tracciamo una linea verticale verso il basso partendo dal Punto 2 e una linea orizzontale verso destra partendo dal Punto 1. Queste due linee, intersecandosi con il segmento che unisce i due punti (la distanza da calcolare), formeranno un triangolo rettangolo.

Il cateto verticale di questo triangolo corrisponde alla distanza verticale tra i due punti, ovvero: Y₂ – Y₁. Il cateto orizzontale corrisponde invece alla distanza orizzontale: X₂ – X₁. L'ipotenusa del triangolo rappresenta l'esatta distanza tra i punti. Conoscendo la lunghezza dei cateti, la lunghezza dell'ipotenusa può essere facilmente calcolata applicando il celebre Teorema di Pitagora:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Esempi di calcolo

Esempio 1

Calcoliamo la distanza tra il Punto 1 di coordinate (X₁, Y₁) = (3, 1) e il Punto 2 di coordinate (X₂, Y₂) = (5, 7). Sostituendo questi valori nella formula della distanza euclidea, otterremo:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Nota bene: invertire l'ordine dei punti non altera il risultato finale, poiché le differenze tra le coordinate vengono elevate al quadrato (rendendo ininfluente il segno). Verifichiamolo ripetendo il calcolo e assumendo che (X₁, Y₁) = (5, 7) e (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{(-2)^2+(-6)^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Esempio 2

Vediamo ora un caso pratico con coordinate negative e troviamo la distanza tra il Punto 1 (X₁, Y₁) = (-4, 2) e il Punto 2 (X₂, Y₂) = (6, -6). Sostituendo i dati nella formula della distanza, avremo:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Esempi nella vita reale

Come abbiamo dimostrato, la formula della distanza euclidea è una diretta applicazione del Teorema di Pitagora. La sua grande utilità sta nell'adattare il teorema a situazioni in cui si conoscono solo le coordinate spaziali dei punti, anziché le lunghezze fisiche dei lati di un triangolo. Questa formula è fondamentale per calcolare le distanze su mappe, modelli topografici o grafici, ed è ampiamente utilizzata in fisica e matematica per determinare la magnitudo di vettori e numeri complessi.

Esempio 3

Immagina una scala appoggiata a una parete. In questo scenario, il pavimento rappresenta l'asse x del piano 2D e il muro rappresenta l'asse y, come illustrato nell'immagine sottostante. Se la scala tocca il muro nel punto di coordinate (0, 2) e poggia sul pavimento nel punto (3, 0), calcoliamo la lunghezza totale della scala.

Soluzione

Per determinare la lunghezza della scala nel piano bidimensionale formato da muro e pavimento, identifichiamo innanzitutto le coordinate dei suoi estremi: X₁, Y₁, X₂, Y₂. Definiamo il punto di contatto con il muro come Punto 1 (X₁, Y₁) e il punto di appoggio sul pavimento come Punto 2 (X₂, Y₂).

Sapendo che la scala tocca il muro alle coordinate (0, 2), avremo:

X₁ = 0, Y₁ = 2

Nota che X₁ = 0, come si evince chiaramente dall'immagine sopra: l'origine (0, 0) corrisponde al punto fisico in cui il muro incontra il pavimento, rendendo impossibili valori negativi per X e Y in questo contesto.

Inoltre, sappiamo che la scala poggia sul pavimento alle coordinate (3, 0). Quindi, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Anche in questo caso, Y₂ = 0 poiché il punto si trova esattamente a livello del suolo. Ora applichiamo la formula della distanza per calcolare la lunghezza della scala:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Risposta

La lunghezza della scala è pari a 3,6.

Distanza nello spazio tridimensionale

La distanza euclidea rappresenta ciò che comunemente intendiamo in modo intuitivo con il termine "distanza". Quando diciamo che un oggetto si trova a 5 metri da noi, ci stiamo riferendo esattamente alla distanza euclidea. Il grande vantaggio della formula appena descritta è che può essere estesa con estrema facilità a 3 (o più) dimensioni.

In uno spazio tridimensionale (3D), la distanza tra il Punto 1 di coordinate (X₁, Y₁, Z₁) e il Punto 2 di coordinate (X₂, Y₂, Z₂) si calcola aggiungendo l'asse zeta, ovvero estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze tra tutte le coordinate corrispondenti:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$