Calculadora de Raiz Cúbica

Esta calculadora pode ser usada para encontrar todas as raízes cúbicas do número dado. Ela encontra tanto as raízes reais quanto as imaginárias.

Instruções de uso

Para encontrar a raiz cúbica de um número, digite esse número no campo de entrada e pressione "Calcular". A calculadora demonstrará a resposta em duas partes: a "raiz principal (real)", e "todas as raízes", onde "todas as raízes" incluem a raiz principal e as raízes imaginárias. Para esvaziar o campo de entrada, pressione "Limpar".

A calculadora aceita números inteiros positivos e negativos como inputs. As frações e números imaginários não são aceitos. Note que se você usar uma fração ou um número imaginário como entrada, esta calculadora de raízes em cubo desconsiderará automaticamente tudo seguindo o primeiro símbolo sem número. Por exemplo, se você inserir 8/15, a calculadora calculará a raiz cúbica de 8; se você inserir 5 + 3i, a raiz cúbica de 5 será calculada.

Definição da raiz cúbica

A raiz cúbica de um número é definida como o número que deve ser multiplicado três vezes para obter o número original. A raiz cúbica de x é comumente designada como ∛x. De acordo com a definição, y é a raiz cúbica de x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

se

$$y \times y \times y = x$$

Tomar uma raiz cúbica de um número, ∛x, é equivalente a elevar esse número à potência de 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

A operação da raiz cúbica é o contrário de encontrar a operação do cubo. Para encontrar o cubo de um número, esse número tem que ser multiplicado 3 vezes:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

E inversamente,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Cubos Perfeitos

Um cubo perfeito é um número, cuja raiz cúbica é um número inteiro. Por exemplo, 8 é um cubo perfeito, já que:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Como os inteiros são números inteiros que podem ser positivos e negativos, os cubos perfeitos podem ser tanto positivos quanto negativos. Por exemplo, o -8 é um cubo perfeito desde então:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 também é um número inteiro e

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Portanto, 0 é também um cubo perfeito.

Por outro lado, 4 não é um cubo perfeito desde a raiz cúbica real de 4:

∛4 ≈ 1,58740105

que não é um número inteiro.

Propriedades da raiz cúbica

Uma raiz cúbica de um número negativo é definida como a raiz cúbica negativa de um número positivo, ou seja

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Por exemplo,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Propriedade de multiplicação das raízes cúbicas:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Como calcular a raiz cúbica

Calculando a raiz cúbica real de um cubo perfeito

Para encontrar a raiz cúbica de um número, use o método de fatoração prima:

1. Encontre os fatores primos do número.
2. Divida os fatores primos em grupos contendo três fatores que são os mesmos.
3. Pegue um fator de cada um dos grupos, e multiplique para obter a resposta final.

Por exemplo, vamos encontrar todas as raízes cúbicas reais de 3375, ∛3375:

1. Encontrando os fatores primos de 3375, obtemos 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Dividindo-os em grupos de três fatores iguais, obtemos 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Finalmente, pegando um fator de cada grupo e multiplicando-os, obtemos 3 × 5 = 15.

Portanto, ∛3375 = 15.

Se os fatores primos de um número não formam grupos de três, o número não é um cubo perfeito, e não podemos usar este método para encontrar a raiz cúbica.

Cálculo da raiz cúbica real de um número maior que -1 e menor que 1 (excluindo 0)

Se o número dado for maior que -1 e menor que 1, não pode ser um cubo perfeito, pois por definição, um cubo perfeito é um número, cuja raiz cúbica é um número inteiro. Qualquer número y a partir do intervalo -1 < y < 1 que não seja 0 não pode ser um cubo perfeito. Entretanto, às vezes encontrar a verdadeira raiz cúbica de tal número pode ser relativamente fácil.

Por exemplo, vamos encontrar todas as raízes do cubo real de -0,000125. Este número não é um número inteiro. Portanto, não podemos usar o método de fatoração prima descrito acima.

Mas podemos facilmente notar que -0,000125 = -125 × 10-⁶. Portanto,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Aplicando a propriedade de multiplicação da raiz cúbica, obtemos:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Reescrevendo a raiz cúbica do número negativo como o negativo da raiz cúbica do número positivo, obtemos:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

É fácil notar que 125 = 5 × 5 × 5, e 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Portanto,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

e

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Finalmente, obtemos:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Exemplos da vida real

As raízes cúbicas são usadas na vida real para encontrar o comprimento lateral de qualquer objeto cúbico. Por exemplo, se você conhece o volume de uma caixa e quer descobrir quão alta ela é, verifique se ela caberia em algum lugar. Ou, se você precisar estimar a quantidade de tinta, você precisaria pintar as paredes de uma sala cúbica. Ou, se você precisar contar o número de azulejos, você precisará cobrir o piso de uma sala cúbica com um volume conhecido.

O volume cúbico de madeira

Imagine construir uma casa e encontrar um anúncio de 64 metros cúbicos de madeira para venda. Quais seriam as dimensões desse volume de madeira em comprimento, largura e altura?

Para resolver este problema, é preciso encontrar a raiz cúbica de 64. O comprimento do lado do cubo imaginário que o ajudaria a descrever este volume seria ∛64 = 4. Assim, a partir dos dados originais sobre o volume cúbico de madeira, temos uma ideia diferente do tamanho de tal volume.