Калькулятор кубического корня

Этот калькулятор можно использовать для нахождения всех кубических корней заданного числа. Он находит как действительные, так и мнимые корни.

Указания по использованию

Чтобы найти кубический корень из числа, введите это число в поле ввода и нажмите "Вычислить". Калькулятор покажет ответ в двух частях: "главный (действительный) корень" и "все корни", где "все корни" включают главный корень и мнимые корни. Чтобы очистить поле ввода, нажмите "Очистить".

Калькулятор принимает в качестве входных данных целые положительные и отрицательные числа. Дробные и мнимые числа не принимаются. Обратите внимание, что если вы вводите дробь или мнимое число, то калькулятор кубических корней автоматически игнорирует все, что следует за первым нечисловым символом. Например, если вы введете 8/15, калькулятор вычислит кубический корень из 8; если же вы введете 5 + 3i, будет вычислен кубический корень из 5.

Определение кубического корня

Кубический корень из числа определяется как число, которое нужно умножить три раза, чтобы получить исходное число. Кубический корень из x обычно обозначается как ∛x. Согласно определению, y - это кубический корень из x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

если

$$y \times y \times y = x$$

Получение кубического корня из числа ∛x равносильно возведению этого числа в степень 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Операция нахождения кубического корня - это операция, обратная операции нахождения куба. Чтобы найти куб числа, это число нужно умножить 3 раза:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

И наоборот,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Совершенные кубы

Совершенный куб - это число, кубический корень которого является целым числом. Например, 8 является совершенным кубом, так как:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Поскольку целые числа - это целые числа, которые могут быть положительными и отрицательными, совершенные кубы также могут быть положительными и отрицательными. Например, -8 является совершенным кубом, так как:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 также является целым числом и

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

поэтому 0 также является совершенным кубом.

С другой стороны, 4 не является идеальным кубом, так как действительный кубический корень из 4:

∛4 ≈ 1.58740105

что не является целым числом.

Свойства кубического корня

Кубический корень из отрицательного числа определяется как отрицательный кубический корень из положительного числа, то есть,

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Например,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Свойство умножения кубических корней:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Как вычислить кубический корень

Вычисление действительного кубического корня из идеального куба

Чтобы найти кубический корень из числа, используйте метод простой факторизации:

1. Найдите простые множители числа.
2. Разделите простые множители на группы, содержащие три одинаковых множителя.
3. Возьмите по одному фактору из каждой группы и перемножьте их, чтобы получить окончательный ответ.

Например, давайте найдем все действительные кубические корни числа 3375, ∛3375:

1. Найдя простые множители числа 3375, получим: 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Разделив их на группы по три одинаковых коэффициента, получаем: 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Наконец, взяв по одному коэффициенту из каждой группы и перемножив их, получим 3 × 5 = 15.

Таким образом, ∛3375 = 15.

Если простые множители числа не образуют группы по три, то число не является идеальным кубом, и мы не можем использовать этот метод для нахождения кубического корня.

Вычисление действительного кубического корня из числа больше -1 и меньше 1 (исключая 0)

Если данное число больше -1 и меньше 1, то оно не может быть идеальным кубом, так как по определению идеальный куб - это число, кубический корень которого является целым числом. Поэтому любое число y из интервала -1 < y < 1, не равное 0, не может быть идеальным кубом. Однако иногда найти действительный кубический корень такого числа бывает довольно просто.

Например, давайте найдем все действительные кубические корни из -0,000125. Это не целое число, поэтому мы не можем использовать метод простой факторизации, описанный выше.

Но мы легко можем заметить, что -0,000125 = -125 × 10-⁶. Следовательно,

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Применяя свойство умножения кубического корня, получаем:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Переписав кубический корень из отрицательного числа как отрицательный кубический корень из положительного числа, получим:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Легко заметить, что 125 = 5 × 5 × 5, а 10-⁶ = 10-² × 10-² × 10-². Следовательно,

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

и

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Наконец, мы получаем:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Примеры из реальной жизни

Кубические корни используются в реальной жизни для нахождения длины стороны любого кубического объекта. Например, если вы знаете объем коробки и хотите узнать ее высоту, чтобы проверить, поместится ли она где-нибудь. Или, если вам нужно оценить количество краски, необходимое для покраски стен кубической комнаты. Или, если вам нужно подсчитать количество плиток, необходимых для покрытия пола кубической комнаты с известным объемом.

Кубический объем древесины

Представьте, что вы занимаетесь строительством дома и нашли объявление о продаже 64 кубометров древесины. Интересно, каковы были бы размеры этого объема древесины в длину, ширину и высоту?

Для решения этой задачи вам нужно найти кубический корень из 64. Длина стороны воображаемого куба, которые поможет вам описать этот объем, будет равна ∛64 = 4. Таким образом из исходных данных о кубическом объеме древесины мы получили другое представление о размерах такого объема.