Калькулятор кубического корня

Этот удобный онлайн-калькулятор поможет вам быстро извлечь кубический корень из заданного числа. Инструмент автоматически вычисляет как действительные (вещественные), так и комплексные (мнимые) корни.

Инструкция по использованию

Чтобы вычислить кубический корень, введите исходное число в соответствующее поле и нажмите кнопку «Вычислить». Калькулятор выдаст результат в двух блоках: «главный (действительный) корень» и «все корни», где второй вариант включает в себя как вещественное, так и комплексные значения. Для сброса введенных данных нажмите «Очистить».

Калькулятор поддерживает ввод как положительных, так и отрицательных целых чисел. Дробные и комплексные числа в качестве исходных данных не принимаются. Обратите внимание: если вы введете дробное выражение или мнимое число, алгоритм автоматически проигнорирует все символы после первого нечислового знака. Например, при вводе 8/15 калькулятор вычислит кубический корень из 8, а при вводе 5 + 3i — найдет корень третьей степени из 5.

Определение кубического корня

Кубический корень из числа — это такое значение, которое при возведении в третью степень (умножении само на себя три раза) дает исходное число. Корень третьей степени из x обычно обозначается символом ∛x. Согласно математическому определению, число y является кубическим корнем из x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

при условии, что

$$y \times y \times y = x$$

Извлечение кубического корня ∛x математически эквивалентно возведению этого числа в дробную степень 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Операция извлечения корня третьей степени является обратной по отношению к возведению в куб. Чтобы найти куб числа, его необходимо умножить само на себя трижды:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

Следовательно, обратная операция выглядит так:

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Полные кубы

Полный куб — это число, кубический корень из которого является целым числом. Например, 8 — это полный куб, поскольку:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Поскольку целые числа могут быть как положительными, так и отрицательными, полные кубы также могут принимать знаки плюс и минус. Например, -8 является полным кубом, так как:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

Число 0 также относится к целым числам, и

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

поэтому 0 тоже считается полным кубом.

С другой стороны, 4 не является полным кубом, так как его действительный кубический корень равен:

∛4 ≈ 1.58740105

что не является целым числом.

Свойства кубического корня

Кубический корень из отрицательного числа равен отрицательному кубическому корню из аналогичного положительного числа, то есть:

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Например:

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Свойство произведения кубических корней:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Как вычислить кубический корень

Вычисление действительного кубического корня из полного куба

Чтобы извлечь кубический корень вручную, удобнее всего использовать метод разложения на простые множители:

1. Разложите исходное число на простые множители.
2. Сгруппируйте полученные множители по три одинаковых числа.
3. Возьмите по одному множителю из каждой группы и перемножьте их между собой, чтобы получить итоговый результат.

Например, найдем действительный кубический корень из 3375 (∛3375):

1. Разложив число 3375 на простые множители, получим: 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Сгруппировав их по три одинаковых множителя, получаем: 3375 = (3 × 3 × 3) × ( 5 × 5 × 5).
3. Наконец, взяв по одному множителю из каждой группы и перемножив их, получим 3 × 5 = 15.

Таким образом, ∛3375 = 15.

Если простые множители числа не группируются по три, это означает, что число не является полным кубом, и данный метод не позволит найти точное целое значение корня.

Вычисление действительного кубического корня из числа в диапазоне от -1 до 1 (исключая 0)

Если заданное число строго больше -1 и меньше 1, оно не может быть полным кубом (поскольку по определению полный куб дает в корне целое число). Ни одно число y в интервале -1 < y < 1 (кроме 0) не отвечает этому условию. Однако иногда найти действительный кубический корень из такой дроби бывает довольно просто.

В качестве примера вычислим кубический корень из -0,000125. Это не целое число, поэтому стандартный метод разложения на простые множители здесь не сработает в чистом виде.

Но мы можем представить это число в виде: -0,000125 = -125 × 10⁻⁶. Следовательно:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Применяя свойство произведения кубических корней, получаем:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Вынесем минус за знак корня, переписав корень из отрицательного числа как отрицательный корень из положительного:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Легко заметить, что 125 = 5 × 5 × 5, а 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Следовательно:

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

и

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

В конечном итоге мы получаем:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Примеры из реальной жизни

На практике вычисление кубического корня применяется для определения длины стороны любого объекта кубической формы. Например, если известен объем коробки, вы можете извлечь кубический корень, чтобы узнать ее точную высоту и проверить, поместится ли она на полке.

Этот математический инструмент также пригодится при ремонте — чтобы рассчитать площадь стен и оценить количество краски для комнаты кубической формы, или чтобы вычислить площадь пола (и количество плитки), зная только общий объем помещения.

Кубический объем древесины

Допустим, вы строите дом и планируете закупить 64 кубических метра древесины. Как визуализировать этот объем и понять, каковы будут его длина, ширина и высота, если сложить материал в форме идеального куба?

Для решения этой практической задачи воспользуйтесь калькулятором и найдите кубический корень из 64. Длина стороны такого воображаемого куба составит ∛64 = 4 метра. Таким образом, опираясь только на данные об объеме, мы легко определили точные физические габариты штабеля древесины (4 × 4 × 4 метра).