Kubuswortelcalculator

Deze derdemachtswortel calculator berekent snel en eenvoudig alle derdemachtswortels van een gegeven getal. De tool vindt zowel de reële als de imaginaire wortels.

Gebruiksaanwijzing

Om de derdemachtswortel van een getal te berekenen, voer je simpelweg het getal in het invoerveld in en klik je op "Berekenen". De rekenmachine toont het resultaat in twee delen: de "hoofdwortel (reëel)" en "alle wortels" (waarbij "alle wortels" zowel de hoofdwortel als eventuele imaginaire wortels omvatten).

De tool accepteert zowel positieve als negatieve gehele getallen als invoer. Breuken en imaginaire getallen worden niet ondersteund. Let op: als je toch een breuk of imaginair getal invoert, negeert deze calculator automatisch alles na het eerste niet-numerieke symbool. Voer je bijvoorbeeld 8/15 in, dan berekent de tool de derdemachtswortel van 8. Voer je 5 + 3i in, dan wordt uitsluitend de derdemachtswortel van 5 berekend.

Definitie van de derdemachtswortel

De derdemachtswortel van een getal is het getal dat, wanneer het drie keer met zichzelf wordt vermenigvuldigd, het oorspronkelijke getal oplevert. Wiskundig gezien wordt de derdemachtswortel van x meestal aangeduid als ∛x. Volgens de definitie is y de derdemachtswortel van x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

als

$$y \times y \times y = x$$

Het trekken van de derdemachtswortel van een getal, ∛x, is wiskundig gelijk aan het verheffen van dat getal tot de macht 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Het trekken van een derdemachtswortel is de omgekeerde bewerking van het tot de derde macht verheffen van een getal. Om de derde macht van een getal te berekenen, moet je dat getal 3 keer met zichzelf vermenigvuldigen:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

En omgekeerd,

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Perfecte derdemachten

Een perfecte derdemacht (of volkomen derdemacht) is een getal waarvan de derdemachtswortel een exact, geheel getal is. Bijvoorbeeld, 8 is een perfecte derdemacht omdat:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Aangezien gehele getallen zowel positief als negatief kunnen zijn, geldt dit ook voor perfecte derdemachten. Zo is -8 een perfecte derdemacht omdat:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 is eveneens een geheel getal en

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Daarom is 0 ook een perfecte derdemacht.

Daarentegen is 4 geen perfecte derdemacht. De reële derdemachtswortel van 4 is namelijk:

∛4 ≈ 1,58740105

wat geen geheel getal is.

Eigenschappen van de derdemachtswortel

De derdemachtswortel van een negatief getal is gelijk aan de negatieve waarde van de derdemachtswortel van datzelfde positieve getal. Oftewel:

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Bijvoorbeeld,

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Vermenigvuldigingseigenschap van derdemachtswortels:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Hoe bereken je de derdemachtswortel?

De reële derdemachtswortel van een perfecte derdemacht berekenen

Om handmatig de derdemachtswortel van een getal te vinden, kun je de methode van priemgetalontbinding (priemfactorisatie) gebruiken:

1. Bepaal de priemfactoren van het getal.
2. Verdeel deze priemfactoren in groepen van drie identieke factoren.
3. Neem uit elke groep één factor en vermenigvuldig deze met elkaar om het uiteindelijke antwoord te krijgen.

Laten we als voorbeeld de reële derdemachtswortel van 3375 (∛3375) berekenen:

1. De priemfactorisatie van 3375 is: 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. We verdelen deze in groepen van drie identieke factoren: 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5).
3. Tot slot nemen we uit elke groep één factor en vermenigvuldigen we deze: 3 × 5 = 15.

Hieruit volgt dat ∛3375 = 15.

Als de priemfactoren van een getal niet precies in groepen van drie te verdelen zijn, is het getal geen perfecte derdemacht. In dat geval kunnen we deze methode niet gebruiken om een exacte derdemachtswortel te vinden (onze online calculator is dan de beste oplossing).

De reële derdemachtswortel berekenen van een getal tussen -1 en 1 (exclusief 0)

Als een getal groter is dan -1 en kleiner dan 1, kan het nooit een perfecte derdemacht zijn. Per definitie heeft een perfecte derdemacht namelijk een geheel getal als wortel. Elk getal y binnen het interval -1 < y < 1 (met uitzondering van 0) is dus geen perfecte derdemacht. Toch kan het soms relatief eenvoudig zijn om de reële derdemachtswortel van zo'n getal te bepalen.

Laten we bijvoorbeeld de reële derdemachtswortel van -0,000125 berekenen. Omdat dit geen geheel getal is, kunnen we de standaard priemfactorisatiemethode niet direct toepassen.

We kunnen dit decimale getal echter herschrijven als een product: -0,000125 = -125 × 10⁻⁶. Hieruit volgt:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Door de vermenigvuldigingseigenschap van derdemachtswortels toe te passen, krijgen we:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Door de derdemachtswortel van het negatieve getal te herschrijven als de negatieve waarde van een positieve derdemachtswortel, ontstaat:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Het is nu eenvoudig in te zien dat 125 = 5 × 5 × 5, en 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Dit betekent dat:

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

en

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

Als we al deze stappen combineren, is dit het eindresultaat:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Praktijkvoorbeelden uit het echte leven

Derdemachtswortels worden in de praktijk vaak gebruikt om de afmetingen (zijlengtes) van een kubusvormig object te berekenen aan de hand van het totale volume. Stel je voor dat je de inhoud van een doos kent en wilt bepalen hoe hoog deze is, om te controleren of hij in een kast past. Andere voorbeelden zijn het berekenen van de benodigde hoeveelheid verf om de muren van een kubusvormige kamer te schilderen, of het bepalen van het aantal vloertegels dat je nodig hebt voor een ruimte waarvan alleen de kubieke inhoud bekend is.

De afmetingen van een hoeveelheid hout berekenen

Stel je voor dat je een huis bouwt en een advertentie ziet waarin 64 kubieke meter (m³) hout te koop wordt aangeboden. Als je al dit hout als één perfecte kubus voor je zou zien, wat zouden dan de afmetingen zijn qua lengte, breedte en hoogte?

Om dit ruimtelijke probleem op te lossen, bereken je de derdemachtswortel van 64. De lengte van elke zijde van deze denkbeeldige kubus is ∛64 = 4 meter. Door het totale volume met behulp van de derdemachtswortel terug te rekenen naar lengtematen (4 × 4 × 4 meter), krijg je een veel beter en visueel beeld van de daadwerkelijke grootte van deze partij hout.