立方根计算器

这个计算器可用于查找给定数字的所有立方根。它能找出实数根和虚数根。

使用说明

要找到一个数字的立方根，请将该数字输入到输入栏中，然后按“计算”。计算器将展示两部分答案：“主要（实数）根”和“所有根”，其中“所有根”包括主要根和虚数根。

计算器接受正整数和负整数作为输入。不接受分数和虚数。请注意，如果您使用分数或虚数作为输入，这个立方根计算器将自动忽略第一个非数字符号之后的所有内容。例如，如果您输入 8/15，计算器将计算 8 的立方根；如果您输入 5 + 3i，将计算 5 的立方根。

立方根定义

一个数字的立方根定义为必须乘三次以得到原始数字的数字。x 的立方根通常表示为 ∛x。根据定义，如果

$$y=\sqrt[3]{x}$$

则 y 是 x 的立方根：

$$y \times y \times y = x$$

对一个数字取立方根，∛x，等同于将该数字提升到 1/3 的幂：

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

立方根运算是求立方运算的逆运算。要找到一个数字的立方，该数字必须乘以 3 次：

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

反过来，

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

完全立方

完全立方是指立方根为整数的数字。例如，8 是一个完全立方数，因为：

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

由于整数是可以是正数和负数的完整数字，因此完全立方数可以是正数也可以是负数。例如，-8 是一个完全立方数，因为：

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

0 也是一个整数，且

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

因此，0 也是一个完全立方数。

另一方面，4 不是完全立方数，因为 4 的实数立方根：

∛4 ≈ 1.58740105

不是一个整数。

立方根的性质

负数的立方根被定义为正数立方根的负数，即

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

例如，

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

立方根的乘法性质：

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

如何计算立方根

计算完全立方数的实数立方根

要找到一个数字的立方根，可以使用素因数分解法：

1. 找到数字的素因数。
2. 将素因数分为包含三个相同因数的组。
3. 取每个组的一个因数，并将它们相乘以得到最终答案。

例如，让我们找到 3375 的所有实数立方根，∛3375：

1. 找到 3375 的素因数，我们得到 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5。
2. 将它们分为三个相同因数的组，我们得到 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5)。
3. 最后，取每个组的一个因数并将它们相乘，我们得到 3 × 5 = 15。

因此，∛3375 = 15。

如果一个数字的素因数不能形成三个一组，那么这个数字不是完全立方数，我们不能使用这种方法来找到立方根。

计算大于 -1 且小于 1（不包括 0）的数字的实数立方根

如果给定的数字大于 -1 且小于 1，它不可能是完全立方数，因为根据定义，完全立方数是立方根为整数的数字。区间 -1 < y < 1 中的任何非 0 数字 y 都不可能是完全立方数。然而，有时找到这样一个数字的实数立方根相对容易。

例如，让我们找到 -0.000125 的所有实数立方根。这个数字不是整数。因此，我们不能使用上述素因数分解法。

但我们可以很容易地注意到 -0.000125 = -125 × 10⁻⁶。因此，

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

应用立方根的乘法性质，我们得到：

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

将负数的立方根重写为正数立方根的负数，我们得到：

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

很容易注意到 125 = 5 × 5 × 5，且 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻²。因此，

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

和

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)=10⁻²}$$

最后，我们得到：

$$\sqrt[3]{(-0.000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0.05$$

真实生活中的例子

立方根在现实生活中被用来找到任何立方体物体的边长。例如，如果你知道一个盒子的体积并想要找出它的高度，检查它是否适合放在某个地方。或者，如果你需要估计涂漆立方形房间的墙壁所需的油漆量。或者，如果你需要计算铺设已知体积立方形房间地板所需的瓷砖数量。

木材的立方体积

想象一下建造一座房子，并找到一则出售 64 立方米木材的广告。这些木材的体积在长度、宽度和高度上的尺寸是多少？

要解决这个问题，你必须找到 64 的立方根。描述这种体积的假想立方体的边长将是 ∛64 = 4。因此，根据木材的立方体积的原始数据，我们对这种体积的大小有了不同的想法。