Kikokotoo cha Vigawo

Kikokotoo cha Vigawo

Kikokotoo chetu cha vigawo ni zana rahisi ya mtandaoni inayokuruhusu kupata haraka vigawo vyote vya namba kamili yoyote (isipokuwa 0). Kwa sababu namba kamili (integers) zinajumuisha namba chanya na hasi, unaweza kutumia kitafuta vigawo hiki kwa ufanisi kukokotoa vigawo vya thamani chanya na hasi.

Vikomo vya thamani za kuingiza kwenye kikokotoo cha vigawo:

• Unaweza tu kuingiza namba kamili (chanya au hasi).
• Kuingiza 0 hakuruhusiwi.

Jinsi ya Kutumia Kikokotoo cha Vigawo

Ili kupata vigawo vyote vya namba, ingiza tu namba kamili unayotaka kisha ubofye "Kokotoa" (Calculate). Kikokotoo cha vigawo kitazalisha papo hapo orodha kamili ya vigawo vyote, kuonyesha jumla ya idadi ya vigawo, na kutoa jozi zote za vigawo zinazohusiana kwa namba uliyotoa.

Utafutaji wa Vigawo (Factorization): Maana na Fomula

Katika hisabati, utafutaji wa vigawo (factorization) ni mchakato wa kuvunja kitu cha kihisabati kuwa zao la vitu vingine kadhaa, vinavyojulikana kama vigawo (factors). Ijapokuwa vipengele mbalimbali vya kihisabati—kama vile namba, polinomiali, na matrisi (matrices)—vinaweza kugawanywa, tutazingatia haswa utafutaji wa vigawo vya namba kamili.

Vigawo vya namba kamili ni namba nzima ambazo hugawanya namba kamili iliyotolewa kwa usawa, bila kuacha baki.

Kwa urahisi, kwa namba kamili zisizo sifuri a, b, na c, ikiwa a = b × c, basi b na c ni vigawo vya a. Kwa mfano, 1, 2, 3, na 6 zote ni vigawo vya 6, kwa kuwa zinagawanya 6 bila kuacha baki:

• 6 / 1 = 6
• 6 / 2 = 3
• 6 / 3 = 2
• 6 / 6 = 1

Kila namba kamili daima itakuwa na angalau vigawo viwili: 1 na namba kamili yenyewe. Kwa maneno mengine, namba kamili yoyote a inaweza kugawanywa kama a = 1 × a.

Jinsi ya Kupata Vigawo vya Namba

Kikokotoo hiki kinatumia njia ya mgawanyo wa majaribio (trial division method) kupata vigawo vya namba yoyote. Mgawanyo wa majaribio ni algoritimu ya moja kwa moja zaidi ya utafutaji vigawo vya namba kamili, inayojaribu kwa utaratibu kubaini ikiwa namba inagawanywa sawasawa na namba kamili ndogo zaidi.

Ili kufanya mchakato wa ukokotoaji kuwa na ufanisi zaidi, namba daima hujaribiwa kwa mpangilio wa kuongezeka, kuanzia na 2. Ikiwa 2 si kigawo cha namba iliyotolewa, vizidisho vyote vya 2 huachwa moja kwa moja, hivyo kupunguza kazi kwa kiasi kikubwa.

Zaidi ya hayo, kwa namba yoyote ile a, unahitaji tu kufanya majaribio hadi √a. Hii ni kwa sababu ikiwa b ni kigawo cha a (kiasi kwamba a = b × c), na c ilikuwa ndogo kuliko b, c ingekuwa tayari imetambuliwa kama kigawo mapema katika mchakato.

Tunaweza kufupisha mfumo wa kutafuta vigawo katika hatua zifuatazo:

Kwa namba iliyotolewa a, kokotoa kipeuo chake cha pili (√a) na uikadirie chini kuwa namba nzima iliyo karibu zaidi. Tuite kipeuo hiki kilichokadiriwa chini kama r.

Jaribu namba kamili zote kubwa kuliko au sawa na 1 na ndogo kuliko au sawa na r ili kuona kama zinagawanya a kwa usawa. Kumbuka, ikiwa tayari umebaini kwamba namba tasa (prime number) si kigawo, unaweza kuruka kwa usalama vizidisho vyake vyote! Kwa mfano, ikiwa namba haiwezi kugawanywa kwa usawa na 3, unaweza kuondoa 6, 9, 12, na kuendelea kutoka kwenye ukaguzi wako.

Andika vigawo vyote vilivyotambuliwa na jozi zake za vigawo zinazohusiana.

Mfano wa Ukokotoaji

Wazazi wa Mike wanapanga sherehe kwa ajili ya siku yake ya kuzaliwa ya kutimiza miaka 6. Mwishoni mwa sherehe, wanataka kuwapa peremende kila mtoto aliyohudhuria. Wameandaa keki (cupcakes) 32 za kugawa.

Je, Mike anaweza kualika wageni wangapi kwenye sherehe yake ili kila mgeni apokee idadi sawa kamili ya zawadi tamu? Na kila mtoto atapata keki ngapi?

Suluhisho

Tunahitaji kubaini ni wageni wangapi ambao Mike anaweza kualika ili kila mmoja apate mgawo sawa wa keki zote 32. Kufanya hivi, lazima tupate ni namba gani nzima zinazogawanya 32 bila kuacha baki (kuhakikisha hakuna keki inayopaswa kuvunjwa vipande vipande). Hii inamaanisha kukokotoa vigawo vyote chanya vya 32. Ili kugundua ni keki ngapi kila mtoto atapata katika kila hali, tunahitaji pia kupata jozi za vigawo.

Tutumie njia ya mgawanyo wa majaribio kupata vigawo na jozi za vigawo vya namba yetu lengwa (32). Kama hatua ya kwanza, tunakokotoa kipeuo cha pili:

$$\sqrt{32}\approx5.657$$

Kukadiria 5.657 chini kuwa namba kamili iliyo karibu zaidi inatupa 5. Hii inamaanisha tunahitaji tu kukagua namba nzima zote kubwa kuliko au sawa na 1 na ndogo kuliko au sawa na 5.

Kwa namba 1:

32 / 1 = 32. Kwa sababu 1 ni kigawo cha kila namba kamili, 1 ni kigawo cha 32. Jozi ya kigawo ni 1 × 32 = 32. Kwa hivyo, ikiwa Mike atakuwa na mgeni mmoja tu, mgeni huyo atapata keki zote 32! Vinginevyo, akiamua kualika watoto 32, kila mtoto atapokea keki moja kamili.

Kwa namba 2:

32 / 2 = 16. Hii inamaanisha 2 ni kigawo cha 32, huku jozi ya kigawo inayohusiana ikiwa 2 × 16 = 32. Kwa sababu zote 2 na 16 ni vigawo vya 32, lazima zote zijumuishwe kwenye orodha yetu ya vigawo. Katika uhalisia wa mambo, ikiwa Mike ataalika wageni 2, watapata keki 16 kila mmoja. Lakini akiwaalika watoto 16, kila mmoja atapokea keki 2.

Kwa namba 3:

32 / 3 = 10 2/3 ≅ 10.667. Hii inamaanisha 3 haigawanyi 32 kwa usawa, kwa hivyo siyo kigawo. Mike hawezi kualika wageni 3 kamili kwenye sherehe yake kwa sababu keki hazingeweza kugawanywa kwa haki.

Kwa sababu 2 ilitambuliwa kwa ufanisi kama kigawo, hatuwezi kuruka vizidisho vya 2, ikimaanisha ni lazima tujaribu 4 pia.

Kwa namba 4:

32 / 4 = 8. Hii inamaanisha 4 ni kigawo cha 32, na jozi ya kigawo inayohusiana ya 4 × 8 = 32. Mike anaweza kualika watoto 4 (ambao kila mmoja atapata keki 8) au watoto 8 (ambao kila mmoja atapokea keki 4).

Kwa namba 5:

32 / 5 = 6 2/5 = 6.4. Kwa sababu 5 haigawanyi 32 kwa usawa, si kigawo. Kwa hivyo, kualika wageni 5 kamili si chaguo linalowezekana kwa Mike.

Kwa kuwa tulihitaji tu kukagua namba kamili zilizo kubwa kuliko au sawa na 1 na ndogo kuliko au sawa na 5, tumepata kwa mafanikio vigawo vyote vya namba iliyotolewa!

Jibu

Vigawo sita vya 32 ni:

1, 2, 4, 8, 16, 32

Mike anaweza kualika wageni 1, 2, 4, 8, 16, au 32 kwenye sherehe yake kuhakikisha ugawaji wa keki ni wa haki kabisa.

Jozi za vigawo vya 32 ni:

• 1 × 32 = 32

• 2 × 16 = 32

• 4 × 8 = 32

Katika kila jozi ya kigawo, namba moja inawakilisha idadi ya wageni, huku nyingine inawakilisha idadi kamili ya keki ambazo kila mgeni atapokea mwishoni mwa sherehe.