Kisuluhishi cha Milinganyo ya Hisabati

Kisuluhishi hiki chenye matumizi mengi hufanya kazi kama kikokotoo cha kina cha mpangilio wa matendo ya hisabati au kikokotoo cha PEMDAS. Hutathmini kwa usahihi mitajo (expressions) changamano ya hisabati kwa kufuata kikamilifu algoriti ya PEMDAS, ikipa kipaumbele matendo katika mlolongo huu kamili:

• Mabano, vifungo, makundi
• Vipeo, vipeuo
• Kuzidisha, Kugawanya
• Kujumlisha, Kutoa

Maelekezo ya matumizi

Ili kutumia kisuluhishi hiki cha PEMDAS, ingiza tu mlinganyo wako wa hisabati ukitumia alama zifuatazo za kawaida:

• "+" Kujumlisha
• "-" Kutoa
• "*" Kuzidisha
• "/" Kugawanya
• "^" Kipeo cha (Kwa mfano, 12^2 inamaanisha 12 kwa kipeo cha 2: 12² = 144. 49^(1/2) inamaanisha 49 kwa kipeo cha 1/2: 49¹/² = 7).
• "root"(x[n])
• Unaweza kutumia (), {}, [] kwa mabano na makundi.

Kunakili milinganyo kutoka vyanzo vingine

Unaweza kunakili kwa urahisi na kubandika mitajo kutoka vyanzo vya nje moja kwa moja kwenye kikokotoo hiki cha milinganyo ya hisabati. Katika hali nyingi, kikokotoo kitachakata mlinganyo huo kiotomatiki hata kama maandishi ya chanzo yanatumia alama zisizo za kawaida, kama vile × badala ya * au ÷ badala ya /. Hata hivyo, katika matukio machache nadra, huenda ukahitaji kubadilisha wewe mwenyewe herufi zisizotambulika na viendeshaji (operators) vya kawaida vilivyoorodheshwa hapo juu.

Kufanya kazi na namba sehemu

Kikokotoo hiki cha mpangilio wa matendo kinaauni kikamilifu namba sehemu. Tumia mkwaju mshazari / kama mstari wa sehemu na weka sehemu nzima ndani ya mabano ili kuhakikisha ukokotoaji sahihi. Ukiondoa mabano, mgawanyo wa sehemu utachakatwa kulingana na mpangilio madhubuti wa matendo wa PEMDAS. Kwa mfano, ingiza 25^(1/2) ili kukokotoa 25 kwa kipeo cha 1/2: 25^(1/2) = 5. Ukiingiza 25^1/2 bila mabano ya makundi, kikokotoo kitaitathmini kama (25^1)/2 = 25/2 = 12.5, kikifuata kikamilifu kanuni ya PEMDAS.

Mpangilio wa matendo wa PEMDAS

Wakati mtajo wa hisabati una tendo moja tu, jibu kwa kawaida huwa wazi. Kwa mfano, 12 + 4 = 16.

Hata hivyo, unatathmini vipi mtajo changamano zaidi kama huu: 3 × 4 – 4? Ni tendo gani linapaswa kupewa kipaumbele? Ukifanya mzidisho kwanza, utapata 3 × 4 – 4 = 12 – 4 = 8. Lakini ukikokotoa kutoa kwanza, matokeo yatabadilika kabisa: 3 × 4 – 4 = 3 × 0 = 0.

Ili kuondoa utata huu, wanahisabati huweka vipaumbele madhubuti kwenye matendo yote ya hisabati na SIKU ZOTE huyafanya katika mlolongo uliokadiriwa. Kanuni hii ya ulimwengu mzima inaelezwa kwa kawaida na kifupisho cha PEMDAS, ambapo P inamaanisha Parenthesis (mabano, au makundi), E inamaanisha Exponents (vipeo na vipeuo), M inamaanisha Multiplication (kuzidisha), D inamaanisha Division (kugawanya), A inamaanisha Addition (kujumlisha), na S inamaanisha Subtraction (kutoa).

Kumbuka kwamba nchi tofauti hutumia vifupisho tofauti, lakini vyote vinaelezea mpangilio sawa kabisa wa matendo. Kwa mfano, BEDMAS inasimama kwa Brackets, Exponents, Division, Multiplication, Addition, Subtraction; GEMDAS ni kifupisho cha Grouping, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction; na BODMAS inamaanisha Brackets, Order, Division, Multiplication, Addition, Subtraction.

Mpangilio wa kuzidisha na kugawanya

Chini ya algoriti ya PEMDAS, kuzidisha na kugawanya vina kipaumbele sawa. Hii inamaanisha kuwa hutathminiwa kwa kufuatana kutoka kushoto kwenda kulia kama inavyoonekana kwenye mlinganyo (isipokuwa kimoja kimewekwa kwenye mabano). Kwa mfano, katika mtajo 12 / 2 × 3, utafanya kwanza mgawanyo 12 / 2 ili kupata 6, na kisha kuzidisha 6 kwa 3 ili kufikia jibu la mwisho la 18.

Kipaumbele hiki sawa kinaelezea kwa nini katika baadhi ya vifupisho, M (Kuzidisha) inakuja kabla ya D (Kugawanya) kama katika PEMDAS, wakati katika vingine, D inatangulia M kama katika BODMAS.

Mpangilio wa kujumlisha na kutoa

Kujumlisha na kutoa pia vina viwango sawa vya kipaumbele. Matendo haya hufanywa mara tu yanapoonekana katika mtajo wa hisabati, ukisoma kutoka kushoto kwenda kulia. Kwa mfano, katika mlinganyo 10 – 7 + 3, lazima kwanza ufanye tendo la kutoa 10 – 7 = 3, ikifuatiwa na kujumlisha 3 + 3 = 6. Hatimaye, 10 – 7 + 3 = 6.

Mpangilio wa vipeuo na vipeo

Kama ilivyoelezwa hapo juu, kuzidisha, kugawanya, kujumlisha, na kutoa vyote ni matendo yanayoshirikisha kushoto (left-associative operations)—ikimaanisha yanasuluhishwa kutoka kushoto kwenda kulia. Kinyume chake, vipeuo na vipeo ni matendo yanayoshirikisha kulia (right-associative operations), ikimaanisha yanatathminiwa kutoka kulia kwenda kushoto.

Kwa mfano, hebu tusuluhishe mtajo ufuatao: 2^3^1^2 au \$2^{3^{1^{2}}}\$.

Kwa kuwa kipeo ni tendo linaloshirikisha kulia, tunaanza kukokotoa upande wa kulia.

Tunakokotoa kwanza 1^2=1, kisha 3^1=3, na mwishowe 2^3=8. Mlolongo huu wa kipekee wakati mwingine hujulikana kama "mpangilio wa kuanzia juu kwenda chini" (top-down order), kwani unaanza na kipeo cha juu kabisa na kushuka "chini" kwenye mlinganyo.

Mtajo huu unaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:

2^3^1^2 = 2^(3^(1^2) = 2^(3^1) = 2^3 = 8

$$2^{3^{1^{2}}} = 2^{3^{1}} = 2^{3} = 8$$

Mabano mengi

Wakati wa kutathmini mtajo ulio na seti nyingi za mabano, ukokotoaji huanza kila wakati na bano la ndani kabisa na hatua kwa hatua kuelekea nje hadi kwenye mabano ya nje. Kumbuka kwamba ikiwa mtajo ndani ya bano una matendo kadhaa tofauti, ni lazima yasuluhishwe kulingana na mpangilio madhubuti wa matendo wa PEMDAS.

Mfano wa maisha halisi

Kwa mtazamo wa kwanza, mpangilio wa matendo unaweza kuonekana kama dhana ya kinadharia tu ya hisabati. Hata hivyo, tunautumia kikamilifu katika maisha yetu ya kila siku bila hata kutambua!

Fikiria unaagiza piza na kikundi cha marafiki. Tuseme unaagiza piza ya Margherita kwa $15, Quattro Formaggi kwa $16.50, na piza ya Neapolitan kwa $14.50. Nyinyi ni kikundi cha watu 8, na unahitaji kukokotoa ni kiasi gani kila mtu anadaiwa. Ili kupata mgawanyo kamili, kimsingi unasuluhisha mtajo ufuatao wa hisabati ukitumia algoriti ya PEMDAS:

(15 + 16.50 + 14.50)/8 = (31.50 + 14.50)/8 = (46)/8 = 46/8 = 5.75

Kila mtu atahitaji kulipa $5.75.

Kukumbuka kifupisho

Misemo mingi ya kufurahisha ya kukumbuka inatumika kuwasaidia wanafunzi kukariri kifupisho cha PEMDAS, huku ule maarufu zaidi kwa lugha ya Kiingereza ukiwa “Please Excuse My Dear Aunt Sally.” Kwa kuchukua herufi ya kwanza ya kila neno katika msemo huu, unaunda kwa urahisi neno PEMDAS. Unaweza kutumia msemo huu wa kitambo au kuwa mbunifu na kubuni wako mwenyewe—kwa mfano, “Purple Elves Make Dull Affordable Sausages!”