Калькулятор об'єму

Кожен тривимірний об'єкт займає певний простір. Незалежно від того, чи це смартфон на робочому столі, водонапірна башта у вашому районі, чи баскетбольний м'яч на спортивному майданчику — всі вони мають фізичні габарити.

У математиці та фізиці цей простір називають об'ємом. Поняття об'єму також тісно пов'язане з місткістю. Наприклад, коли йдеться про резервуар для води в гаражі, нас цікавить не лише місце, яке він фізично займає, а і його місткість — точний об'єм рідини, який він здатен вмістити.

Розуміння того, як обчислити об'єм, є фундаментальною навичкою в інженерії, архітектурі, науці та повсякденному житті.

Наш зручний онлайн калькулятор об'єму максимально спрощує цей процес. Він підтримує різні одиниці вимірювання та величезну кількість 3D-фігур. І що найголовніше: інструмент не просто видає суху відповідь, а відображає точну формулу об'єму та крок за кроком проводить вас через весь алгоритм розрахунку. У цьому посібнику ми детально розглянемо, як обчислювати об'єм, пояснимо формули для різних геометричних фігур та наведемо цікаві приклади з реального життя.

Одиниці вимірювання об'єму

Щоб результати були точними та надійними, обчислення об'єму завжди спираються на стандартизовані одиниці вимірювання. Стандартною одиницею об'єму в Міжнародній системі одиниць (СІ) є кубічний метр (м³). Однак об'єм невеликих предметів зручніше виражати в дрібніших одиницях, таких як кубічні сантиметри (см³) або кубічні міліметри (мм³).

Залежно від специфіки вашого завдання, ви можете обрати найбільш зручну систему мір. Наш калькулятор об'єму повністю підтримує як метричну, так і британську (імперську) та американську системи. Ви маєте абсолютну свободу вибору серед таких одиниць:

• кілометри,
• метри,
• сантиметри,
• міліметри,
• мікрометри,
• нанометри,
• ангстреми,
• милі,
• ярди,
• фути,
• дюйми.

Коли ви обчислюєте об'єм вручну за формулами, зазвичай доводиться приводити всі значення до єдиної одиниці вимірювання, щоб уникнути помилок. Наприклад, щоб знайти об'єм циліндра висотою 75 см і радіусом 0,5 м, вам доведеться або перевести висоту в метри (щоб отримати результат у кубічних метрах), або радіус у сантиметри (для результату в кубічних сантиметрах).

Але що робити, якщо ви хочете ввести висоту в дюймах, а радіус — у нанометрах? Наш калькулятор з легкістю впорається з цим завданням! Він автоматично виконає всі необхідні перетворення у фоновому режимі та чітко покаже кожен крок.

Ви можете вказувати різні одиниці вимірювання для кожного параметра, і програма все одно видасть бездоганно точний результат. Припустимо, у вас є циліндр заввишки 5 дюймів із радіусом 10 506 070 нанометрів. Просто перейдіть до розділу калькулятора об'єму циліндра, введіть ці значення та оберіть відповідні одиниці з випадних списків.

Калькулятор миттєво розрахує об'єм і надасть результат у двох форматах: 2,6874044006564 дюймів³ (кубічних дюймів) та 4,4038667907438E+22 нанометрів³ (кубічних нанометрів). Він пропонує обидва варіанти, передбачаючи, що вам потрібна фінальна відповідь в одній із базових одиниць, які ви вказали. Більш того, інструмент покаже весь хід обчислень включно з конвертацією величин!

Калькулятор об'єму: фігури, формули та практичні приклади

Методи обчислення об'єму суттєво залежать від форми об'єкта. Для багатьох стандартних геометричних фігур достатньо простих математичних формул, що базуються на таких параметрах, як довжина сторони або радіус.

Інші ж фігури є значно складнішими, через що пряме обчислення їхнього об'єму звичайним способом стає неможливим. У таких випадках застосовують передові математичні методи, наприклад, просторове інтегрування або метод скінченних елементів. На щастя, наш онлайн-калькулятор підтримує величезний спектр фігур, дозволяючи без зайвих зусиль знайти об'єм практично будь-якого об'єкта.

Куля

Куля — це ідеальний тривимірний аналог кола. Класичним прикладом кулі є будь-який абсолютно круглий об'єкт, наприклад, більярдна куля, глобус або бейсбольний м'яч. Формула об'єму кулі виглядає так:

$$V_{sphere}=\frac{4}{3}π r^3$$

Як бачите, об'єм кулі залежить виключно від її радіуса (r). Радіус — це точна відстань від центру кулі до будь-якої точки на її поверхні. Знаючи, що стандартний бейсбольний м'яч має радіус r = 3,65 см, ми можемо скористатися калькулятором об'єму кулі, щоб знайти його розмір:

$$Volume = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3.65^3 = 203.68882488692 \ centimeters^3$$

Конус

Конус — це тривимірна фігура з круглою основою, яка плавно звужується до однієї точки, що називається вершиною. Всі точки кола основи з'єднані з цією вершиною прямими лініями (твірними). Властивості конуса визначаються двома основними параметрами: радіусом круглої основи (r) та висотою від центру основи до вершини (h).

Формула обчислення об'єму конуса:

$$V_{cone}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

де r — радіус, а h — висота.

Уявіть, що ви влаштовуєте дитяче свято і вирішили зробити своїми руками конусоподібні святкові капелюхи, які під кінець вечірки можна буде перевернути та використати як стаканчики для попкорну.

Якщо ви зробите капелюхи з радіусом 7,5 см і висотою 0,45 м, ви можете скористатися калькулятором об'єму конуса, щоб точно дізнатися їхню місткість.

0,45 метра = 45 сантиметрів

$$Volume = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7.5^2 × 45 = 2650.7188014664 \ centimeters^3$$

Це дасть вам чітке розуміння того, скільки попкорну поміститься в кожен такий ріжок!

Куб

Хто з нас хоча б раз у житті не намагався скласти кубик Рубіка?

Куб — це правильний багатогранник, який має 8 вершин і 6 абсолютно однакових квадратних граней. Об'єм куба залежить лише від одного виміру — довжини його ребра (a).

$$V_{cube}=a^3$$

Припустимо, ми хочемо придбати 30 кубиків Рубіка для дитячого центру розвитку, щоб допомогти малечі тренувати логіку. Ми знаходимо ідеальні кубики з довжиною ребра 5,7 сантиметра. Однак у продавця є лише одна картонна коробка для їхнього транспортування. Вона має форму ідеального куба зі стороною 20 сантиметрів. Чи помістяться туди всі 30 головоломок?

Об'єм одного кубика Рубіка:

$$Volume = 5.7³ = 185.19\ centimeters³$$

Загальний об'єм 30 кубиків становитиме:

$$185.19 × 30 = 5,555.7\ centimeters³$$

Об'єм коробки:

$$Volume = 20³ = 8,000\ centimeters³$$

Порівнявши загальний об'єм 30 кубиків із місткістю коробки, бачимо:

$$5,555.7 < 8,000$$

Отже, всі кубики без проблем помістяться у коробку!

Циліндр

Циліндр — це об'ємна геометрична фігура з двома паралельними круглими основами. Візуально його можна уявити як стос однакових кругів, ідеально складених один на одного. Як і у випадку з конусом, параметри циліндра визначаються радіусом його основи (r) і висотою (h) — відстанню між нижньою та верхньою поверхнями. Формула для знаходження об'єму циліндра:

$$V_{cylinder}=π r^2h$$

Давайте обчислимо об'єм декоративної циліндричної свічки, щоб дізнатися, скільки саме розтопленого воску знадобиться майстру для її виготовлення. Запланована висота свічки — 15 сантиметрів, а її діаметр — 8 сантиметрів. З діаметра ми легко робимо висновок, що радіус дорівнює 4 сантиметрам. Використовуючи формулу, отримуємо:

$$Volume = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753.98223686155\ centimeters^3$$

Прямокутний резервуар

Прямокутний резервуар (у геометрії — прямокутний паралелепіпед) — це об'ємна фігура, усі суміжні грані якої перпендикулярні одна одній, хоча й можуть мати різну довжину. Для обчислення його об'єму потрібні три виміри: довжина (l) та ширина (w) — які формують прямокутну основу, — а також висота (h), що надає об'єкту глибини. Об'єм прямокутного резервуара обчислюється так:

$$V_{rectangular\ tank}=l × w × h$$

Класичним прикладом такої фігури є стандартний морський вантажний контейнер. Згідно з міжнародними стандартами ISO, загальноприйняті габарити таких контейнерів становлять:

• Ширина = 2,43 м
• Висота = 2,59 м
• Довжина = 6,06 м (20-футовий) або 12,2 м (40-футовий)

Оскільки ці розміри стандартизовані в усьому світі, їхня місткість також є сталою. Ви можете сміливо вводити ці параметри в наш калькулятор об'єму прямокутного резервуара. Давайте обчислимо об'єм для обох стандартних довжин: 6,06 м та 12,2 м.

$$Volume = 6.06 × 2.43 × 2.59 = 38.139822\ meters³$$

та

$$Volume = 12.2 × 2.43 × 2.59 = 76.78314\ meters³$$

Більш складні тривимірні геометричні фігури

У повсякденному житті об'єкти часто є комбінаціями базових геометричних фігур. Наприклад, спробуємо визначити загальний об'єм фігури, зображеної нижче.

Придивившись, можна помітити, що цей об'єкт є складеним: його нижня частина — це циліндр, на якому ідеально розміщено конус. Тому загальний об'єм усієї фігури — це просто сума об'ємів циліндра та конуса:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}$$

І циліндр, і конус мають однаковий діаметр — 4 см. З цього випливає, що їхні радіуси рівні:

$$r_{cylinder}=r_{cone}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Крім того, загальна висота об'єкта є сумою висот його складових частин:

$$h_{object}=h_{cylinder}+h_{cone}$$

Знаючи, що загальна висота:

$$h_{object}=10\ cm$$

а висота конуса:

$$h_{cone}=3\ cm$$

ми можемо легко визначити висоту циліндра:

$$h_{cylinder}=10 - 3 = 7\ cm$$

Тепер залишилося лише підставити ці значення в наш зручний онлайн-калькулятор об'єму:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}=87.96\ cm^3+12.56\ cm^3$$

$$V_{object}=100.52\ cm^3$$

Розуміння такого композитного підходу допоможе вам легше працювати зі складними фігурами, які підтримує наш сервіс. Нижче ми розглянемо кілька з них.

Капсула

Капсула — одна з найпоширеніших форм у фармакології. Застосовуючи логіку з попереднього прикладу, легко помітити, що капсула — це, по суті, циліндр, краї якого закриті двома однаковими півкулями.

Оскільки дві ідентичні півкулі утворюють одну повноцінну кулю, загальний об'єм капсули можна розрахувати як суму об'ємів її центральної циліндричної частини та однієї кулі.

$$V_{capsule} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Де r — радіус, а h — довжина циліндричної частини.

Завдяки нашому спеціалізованому калькулятору об'єму капсули вам не доведеться вручну рахувати та додавати об'єми циліндра й кулі. Достатньо лише ввести висоту (довжину) та радіус, і інструмент миттєво покаже точний результат.

Фармацевти та дослідники постійно використовують ці розрахунки під час розробки ліків. Оскільки капсула має вмістити суворо визначену дозу активної речовини, фахівці ретельно підбирають її радіус та довжину для досягнення цільового об'єму.

Кульовий сегмент

Раніше ми згадували, що півкуля — це рівно половина кулі. Кульовий сегмент — це частина кулі, відсічена площиною. Півкуля є лише окремим випадком кульового сегмента, коли січна площина проходить точно через центр кулі.

На ілюстрації нижче показано типовий кульовий сегмент. У цій моделі (r) — радіус основи сегмента, (R) — радіус повної кулі, а (h) — висота самого сегмента. Оскільки ці змінні пов'язані математично, знаючи будь-які дві з них, завжди можна обчислити третю!

• Дано r та R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Дано r та h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Дано R та h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

де:

• r — радіус основи сегмента,
• R — радіус цілої кулі,
• h — висота кульового сегмента.

Об'єм кульового сегмента розраховується за формулою:

$$V_{spherical\ cap}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Нашому онлайн-калькулятору для розрахунку потрібні лише дві з цих змінних. Проте, якщо ви введете, наприклад, R = 1 м і r = 0,25 м, інструмент несподівано видасть два можливих об'єми: 0,00313 м³ та 4,1856 м³. Чому так відбувається?

Згадаймо формулу:

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

З неї видно, що для заданих значень R і r висота (h) через квадратне рівняння має два можливі рішення:

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

та

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Ця математична подвійність пояснює, чому існує два правильних значення об'єму, залежно від того, яке значення висоти ($h_1$ чи $h_2$) використовується.

Важлива примітка: завжди має виконуватися умова R ≥ r. Якщо ви випадково введете радіус основи сегмента (r), більший за радіус самої кулі (R), калькулятор автоматично видасть повідомлення про помилку, щоб попередити про неможливість таких габаритів.

Зрізаний конус

Зрізаний конус утворюється, якщо відсікти верхівку звичайного конуса площиною, суворо паралельною його основі. У результаті виходить об'ємна фігура з двома паралельними круглими основами різних діаметрів.

Формула об'єму зрізаного конуса:

$$V_{conical\ frustum}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Де h — відстань між центрами верхньої та нижньої основ (висота), r — радіус меншої (верхньої) основи, а R — радіус більшої (нижньої) основи (при цьому R ≥ r).

Уявіть, що ви зайшли до вишуканої кондитерської і замовили шоколадний фондан (лава-кейк), у меню якого зазначено, що він складається з «рівно 35% гарячого розтопленого шоколаду».

Якщо ви любите математику так само, як і десерти, вам точно захочеться перевірити це твердження! Для цього спершу виміряйте радіус верхньої та нижньої частини тістечка, а також його висоту.

Припустимо, ваші заміри такі: r = 16 см, R = 20 см, а h = 10 см.

Підставивши ці дані в наш калькулятор об'єму зрізаного конуса, ви отримаєте загальний об'єм десерту:

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ centimeters^3$$

Щоб дізнатися, скільки ж рідкої шоколадної начинки всередині, достатньо вирахувати 35% від 10 220,65 см³. Розрахунок покаже, що у вашому тістечку цілих 3 577,23 см³ чистого шоколаду!

Еліпсоїд

Якщо ідеальну кулю розтягнути або стиснути в одному чи кількох напрямках, утвориться еліпсоїд. Візуально це витягнута, овалоподібна куля, у якої відстань від центру до поверхні відрізняється залежно від осі.

Еліпсоїд має три перпендикулярні осі, тому його розмір визначається трьома радіусами, проведеними від центру до поверхні вздовж кожної осі. Їх заведено позначати літерами a, b і c.

Хоча спортивні м'ячі часто асоціюються з ідеальними кулями, м'ячі у формі еліпсоїда надзвичайно популярні — достатньо згадати американський футбол або регбі! Візьмемо для прикладу стандартний м'яч для регбі з радіусами a = 9,3 см, b = 9,3 см та c = 14,3 см.

Формула для обчислення об'єму еліпсоїда:

$$V_{ellipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

(Підказка: порядок множення параметрів a, b і c не має жодного значення, ви отримаєте той самий результат).

За допомогою нашого калькулятора знайти точний об'єм м'яча для регбі — справа кількох секунд:

$$Volume=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ centimeters^3$$

Квадратна піраміда

Слово «піраміда» одразу асоціюється зі стародавніми монументальними спорудами Єгипту. Правильна квадратна піраміда має в основі квадрат, а її грані рівномірно звужуються до єдиної вершини, з'єднуючи з нею всі чотири кути основи. Формула об'єму піраміди виглядає так:

$$V_{squared\ pyramid}=\frac{1}{3}a^2h$$

Тут (a) означає довжину сторони квадратної основи, а (h) — перпендикулярну висоту, проведену від центру основи до вершини.

Давайте оцінимо масштаби Великої піраміди Хеопса, спираючись на її початкові історичні розміри: h = 146,6 м та a = 230,33 м. Скориставшись калькулятором об'єму квадратної піраміди, ми зможемо осягнути грандіозність цієї споруди:

$$Volume=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ meters^3$$

Труба (Порожнистий циліндр)

На відміну від суцільного циліндра, труба є порожнистою всередині, тобто має два радіуси: зовнішній та внутрішній. Щоб знайти об'єм самого матеріалу (наприклад, металу чи бетону), з якого виготовлена труба, необхідно врахувати різницю між цими двома діаметрами.

$$V_{tube}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Тут $d_1$ та $d_2$ позначають зовнішній і внутрішній діаметри труби відповідно, а (l) — її довжину (або висоту).

Застосуємо цю формулу на практиці, щоб обчислити об'єм бетону, необхідного для виготовлення кільця для нового колодязя на дачі. Висота нашого кільця дорівнює 0,89 метра, зовнішній діаметр — 1,16 метра, а внутрішній діаметр порожнини становить рівно 1 метр.

Ввівши ці параметри у калькулятор об'єму труби, отримаємо:

$$Volume=π\frac{1.16^2-1^2}{4} × 0.89 = 0.076896 π = 0.24\ meters^3$$