مین، میڈین، موڈ کیلکولیٹر

مرکزی رجحان کے پیمانے (Measures of Central Tendency)

جدولوں اور گرافس میں موجود خام شماریاتی ڈیٹا کو ایک نظر میں سمجھنا اکثر مشکل ہو سکتا ہے۔ بامعنی نتائج اخذ کرنے کے لیے، ہمیں ڈیٹا سیٹس کا خلاصہ کرنے اور ان کی اہم خصوصیات کی نشاندہی کرنے کی ضرورت ہوتی ہے۔

شماریات (statistics) میں، ڈیٹا کا خلاصہ اور وضاحت کرنے کے لیے مختلف میٹرکس استعمال کیے جاتے ہیں۔ کچھ میٹرکس ڈیٹا سیٹ کے مرکز کی نشاندہی کرتے ہیں، جنہیں مرکزی رجحان کے پیمانے (measures of central tendency) کہا جاتا ہے۔ دیگر میٹرکس، جنہیں انتشار کے پیمانے (measures of dispersion) کہا جاتا ہے، ہمیں بتاتے ہیں کہ ڈیٹا کی اقدار کتنی بکھری ہوئی یا پھیلی ہوئی ہیں۔ اس کے علاوہ، پوزیشن کے پیمانے اس ڈیٹا کا تناسب ظاہر کرتے ہیں جو کسی مخصوص قدر سے نیچے آتا ہے۔

اس شماریاتی کیلکولیٹر کا بنیادی مقصد مرکزی رجحان کے پیمانوں—خاص طور پر مین اور میڈین—کا حساب لگانا ہے، جو کسی ڈیٹا سیٹ کے اندر عام یا مرکزی قدر کی نمائندگی کرتے ہیں۔ اس ٹول کا ثانوی مقصد رینج، کوارٹائلز اور انٹر کوارٹائل رینج (IQR) کا حساب لگا کر آپ کے ڈیٹا میں تغیر (variation) کی ڈگری کا تعین کرنا ہے۔

مین (Mean) کیلکولیٹر

مین دراصل حسابی اوسط ہے، جس کا حساب تمام اقدار کو آپس میں جمع کر کے اور پھر انہیں کل اقدار کی تعداد پر تقسیم کر کے لگایا جاتا ہے۔ یہ اوسط معلوم کرنے کے لیے سب سے زیادہ استعمال ہونے والا میٹرک ہے اور کسی نمونے (sample) کے لیے درج ذیل فارمولے کا استعمال کرتے ہوئے اس کا حساب لگایا جاتا ہے:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

مکمل آبادی (population) کا مین معلوم کرنے کا فارمولا یہ ہے:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

ان مساواتوں میں، شمار کنندہ (numerator) ڈیٹا سیٹ کی تمام اقدار کے مجموعے کو ظاہر کرتا ہے، جبکہ مخرج (denominator) ان اقدار کی کل گنتی کو ظاہر کرتا ہے۔

حسابی اوسط استعمال کرنے کا سب سے بڑا فائدہ یہ ہے کہ یہ آپ کے ڈیٹا سیٹ کے ہر ایک ڈیٹا پوائنٹ کو شامل کرتا ہے۔

تاہم، اس کی بنیادی خامی انتہائی اقدار (extreme values) کے لیے اس کی حساسیت ہے۔ غیر معمولی طور پر زیادہ یا کم اعداد، جنہیں آؤٹ لائرز (outliers) کہا جاتا ہے، اوسط کو نمایاں طور پر متاثر کر سکتے ہیں۔

یہ نوٹ کرنا بھی ضروری ہے کہ مین ہمیشہ ڈیٹا کی "عام" قدر نہیں ہوتا۔ درحقیقت، حسابی اوسط ایک ایسا عدد ہو سکتا ہے جو خود ڈیٹا سیٹ کے اندر موجود ہی نہ ہو۔

نمونے اور آبادی کی اوسط

آبادی (population) ان تمام اقدار کے مجموعے پر محیط ہوتی ہے جن کا آپ مطالعہ کر رہے ہیں۔ نمونہ (sample) ایک چھوٹا، نمائندہ گروپ ہوتا ہے جو اس آبادی سے لیا جاتا ہے۔

مین کا حساب لگانے کا ریاضیاتی طریقہ نمونوں اور آبادی دونوں کے لیے ایک جیسا ہے۔ واحد فرق شماریاتی علامتوں میں ہے۔

اگر x₁, x₂,..., xₙ کسی نمونے کی نمائندگی کرتا ہے، تو حسابی اوسط کو نمونے کا مین کہا جاتا ہے، جسے علامت x̄ (ایکس بار) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔ اگر آپ پوری آبادی کے مین کا حساب لگا رہے ہیں، تو اسے یونانی حرف 𝜇 (میو) سے ظاہر کیا جاتا ہے۔

شماریات میں، ہم نمونے کے سائز کو ظاہر کرنے کے لیے چھوٹے حرف n اور آبادی کے سائز کو ظاہر کرنے کے لیے بڑے حرف N کا استعمال کرتے ہیں۔

مین کا حساب لگانے کی مثال

آئیے ایک عملی مثال دیکھتے ہیں: لوئیجی ایک ماسٹر شیف اور پیزا کا شوقین ہے جو بالی میں ایک نیا پیزیریا کھولنا چاہتا ہے۔ ایک سرمایہ کار کو راضی کرنے کے لیے، لوئیجی ایک بزنس پلان لکھ رہا ہے اور اسے اپنی مستقبل کی مالی کارکردگی کی پیشین گوئی کرنے کے لیے جزیرے کے مختلف ریستوراں میں پیزا کی اوسط قیمت کا تعین کرنے کی ضرورت ہے۔

اس نے مختلف مقامی ریستوراں میں مارگریٹا پیزا کی قیمت پر تحقیق کی اور ایک ڈیٹا سیٹ مرتب کیا۔ حساب کو آسان بنانے کے لیے، آئیے آخری تین صفروں کو ہٹا دیں اور قیمت کو ہزاروں میں استعمال کریں۔ مثال کے طور پر، ہمارے حساب میں قدر 60 کا مطلب 60,000 انڈونیشین روپیہ (IDR) ہے۔

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

لوئیجی جزیرے کے ہر ایک پیزیریا کا دورہ نہیں کر سکتا تھا، اس لیے اس نے تصادفی طور پر (randomly) 20 ریستوراں کا انتخاب کیا۔ لہذا، ہم ایک نمونے (sample) کے ساتھ کام کر رہے ہیں۔

آئیے نمونے کے مین کا فارمولا استعمال کرتے ہوئے اس ڈیٹا سیٹ کے لیے اوسط قدر کا حساب لگائیں:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

اس کا نتیجہ x̄ = 71.9 آتا ہے۔

لوئیجی کی تحقیق سے ظاہر ہوتا ہے کہ 71,900 IDR بالی میں مارگریٹا پیزا کی اوسط قیمت ہے۔ اب وہ اس بنیادی ہندسے کو اپنے مالی تخمینے کے لیے استعمال کر سکتا ہے۔

میڈین (Median) کیلکولیٹر

میڈین پوزیشن کا ایک پیمانہ ہے جو کسی ڈیٹا سیٹ کے صعودی (ascending) یا نزولی (descending) ترتیب میں ہونے پر بالکل درمیانی قدر کو ظاہر کرتا ہے۔

جب میڈین کا حساب لگاتے ہیں، تو ہم اس عدد کو تلاش کر رہے ہوتے ہیں جو ڈیٹا کو بالکل نصف میں تقسیم کر دے۔ اعداد و شمار کی بالکل 50% اقدار میڈین سے کم ہوں گی، اور 50% اقدار زیادہ ہوں گی۔ یہی وجہ ہے کہ میڈین کیلکولیٹر کی مدد کے بغیر، دستی طور پر میڈین معلوم کرنے کے لیے آپ کو اعداد کو پہلے ترتیب دینا پڑتا ہے۔

حساب کا طریقہ اس بات پر منحصر ہوتا ہے کہ آپ کے ڈیٹا سیٹ میں کل اقدار طاق (odd) ہیں یا جفت (even)۔

اگر عناصر کی کل تعداد طاق ہے (یعنی n یا N ایک طاق عدد ہے)، تو آپ درج ذیل فارمولا استعمال کرتے ہیں:

$$Median=(\frac{n+1}{2})-th \ element$$

تاہم، اگر عناصر کی تعداد جفت ہے، تو درج ذیل فارمولا لاگو ہوتا ہے:

$$Median=\frac{\left[(\frac{n}{2})-th \ element+(\frac{n}{2}+1)-th \ element\right]}{2}$$

میڈین استعمال کرنے کا سب سے بڑا فائدہ آؤٹ لائرز (outliers) کے خلاف اس کی مزاحمت ہے۔ مین کے برعکس، میڈین انتہائی زیادہ یا انتہائی کم اقدار سے بہت کم متاثر ہوتا ہے۔

میڈین کا حساب لگانے کی مثال

لوئیجی کے بیس پیزا قیمتوں والے نمونے کا استعمال کرتے ہوئے:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

ہم قدم بہ قدم میڈین کا حساب لگا سکتے ہیں:

1. ڈیٹا سیٹ کو صعودی یا نزولی ترتیب میں منظم کریں۔ ترتیب دینے کے بعد، ڈیٹا اس طرح نظر آتا ہے:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. ڈیٹا سیٹ میں اقدار کی تعداد کا تعین کریں۔ یہاں، n = 20 ہے۔

3. اگر n طاق ہے، تو میڈین مرکزی قدر ہے۔ اگر n جفت ہے، تو میڈین دو مرکزی اعداد کی حسابی اوسط ہے (انہیں ایک ساتھ جمع کریں اور 2 پر تقسیم کریں)۔

چونکہ 20 ایک جفت عدد ہے، اس لیے ہم درمیانی دو اقدار معلوم کرتے ہیں۔

ہمارے ترتیب دیے گئے نمونے میں مرکزی اقدار 69 اور 70 ہیں۔ ہم میڈین کا حساب اس طرح لگاتے ہیں:

$$Median = \frac{69 + 70}{2} = 69.5$$

اگر لوئیجی نے 21 اقدار کا طاق مجموعہ جمع کیا ہوتا، مثال کے طور پر:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

تو وہ اقدار کو یوں ترتیب دیتا:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

اور وہ آسانی سے 11ویں پوزیشن پر موجود بالکل درمیانی قدر کا انتخاب کرتا، جو کہ 70 ہے۔

مین اور میڈین کے درمیان فرق

اگرچہ مین اور میڈین دونوں ہی مرکزی رجحان کے پیمانوں کے طور پر کام کرتے ہیں، لیکن یہ سمجھنا بہت ضروری ہے کہ شماریاتی تجزیہ میں یہ دونوں کیسے مختلف ہیں۔

بنیادی فرق یہ ہے کہ مین ڈیٹا سیٹ میں ہر ایک قدر کو شامل کرتا ہے، جبکہ میڈین کا تعین صرف درمیانی عدد (یا دو درمیانی اعداد) سے کیا جاتا ہے۔

یہ فرق خاص طور پر تب اہم ہو جاتا ہے جب ایسے ڈیٹا سیٹس سے نمٹا جا رہا ہو جن میں غیر معمولی طور پر بڑی یا چھوٹی اقدار موجود ہوں، جنہیں آؤٹ لائرز (outliers) کہا جاتا ہے۔ آؤٹ لائرز مین کو بہت زیادہ بگاڑ دیتے ہیں، لیکن ان کا میڈین پر کوئی یا نہ ہونے کے برابر اثر پڑے گا۔

شماریات میں، کسی پیمانے کو "مزاحم (resistant)" سمجھا جاتا ہے اگر انتہائی اقدار اس پر زیادہ اثر انداز نہ ہوں۔ اس لیے، میڈین ایک انتہائی مزاحم پیمانہ ہے، جبکہ مین مزاحم نہیں ہے۔

یہ دونوں میٹرکس مختلف طریقوں سے "مرکز" کی پیمائش کرتے ہیں۔ مین ڈیٹا کے وزن کے توازن کے نقطہ (balancing point) کے طور پر کام کرتا ہے۔ میڈین وہ درمیانی نقطہ ہے جو ڈیٹا کے نچلے 50% کو اوپری 50% سے الگ کرتا ہے۔ ایک بالکل متوازی (symmetric) ڈیٹا سیٹ میں، مین اور میڈین ایک جیسے ہوں گے۔

تاہم، حقیقی دنیا کے ڈیٹا میں، وہ شاذ و نادر ہی بالکل ایک جیسے ہوتے ہیں۔

جب مین اور میڈین مختلف ہوتے ہیں، تو کہا جاتا ہے کہ ڈیٹا سیٹ جھکا ہوا (skewed) ہے۔

اگر مین میڈین سے نمایاں طور پر کم ہو، تو ڈیٹا سیٹ بائیں طرف جھکا ہوا (منفی طور پر skewed) ہوتا ہے۔ اگر مین میڈین سے نمایاں طور پر زیادہ ہو، تو ڈیٹا سیٹ دائیں طرف جھکا ہوا (مثبت طور پر skewed) ہوتا ہے۔

نہ تو مین اور نہ ہی میڈین کو عالمی سطح پر "بہتر" قرار دیا جا سکتا ہے۔ وہ صرف مختلف مقاصد کے لیے کام کرتے ہیں۔ ڈیٹا تجزیہ کار اکثر اس وقت میڈین کو ترجیح دیتے ہیں جب کوئی ڈیٹا سیٹ بہت زیادہ ترچھا (skewed) ہو یا اس میں بڑے آؤٹ لائرز ہوں، کیونکہ میڈین ایک "عام" قدر کی زیادہ درست نمائندگی فراہم کرتا ہے۔

موڈ (Mode) کیلکولیٹر

موڈ وہ قدر ہے جو کسی ڈیٹا سیٹ میں سب سے زیادہ بار ظاہر ہوتی ہے۔

اگر کسی ڈیٹا سیٹ میں ایک واضح قدر ہے جو کسی بھی دوسری قدر سے زیادہ کثرت سے آتی ہے، تو اسے یونی موڈل (unimodal) کہا جاتا ہے۔

اگر دو مختلف اقدار سب سے زیادہ تعداد میں ظاہر ہوں، تو دونوں کو موڈ سمجھا جاتا ہے، جس سے ڈیٹا سیٹ بائی موڈل (bimodal) بن جاتا ہے۔

اگر تین یا اس سے زیادہ اقدار ایک جیسی سب سے زیادہ فریکوئنسی رکھتی ہوں، تو ہر ایک موڈ ہے، اور ڈیٹا سیٹ کو ملٹی موڈل (multimodal) کے طور پر درجہ بندی کیا جاتا ہے۔

اگر ڈیٹا سیٹ میں ہر قدر بالکل ایک بار آتی ہے، تو اس ڈیٹا سیٹ کا کوئی موڈ نہیں ہوتا۔ نوٹ کریں کہ "کوئی موڈ نہیں" کا مطلب موڈ کا صفر ہونا نہیں ہے۔ صفر ایک درست موڈ ہو سکتا ہے اگر یہ ڈیٹا سیٹ میں سب سے زیادہ ظاہر ہونے والا عدد ہو (مثال کے طور پر، سردیوں کے درجہ حرارت کی ریڈنگز میں)۔

موڈ کا سب سے بڑا فائدہ یہ ہے کہ اسے تلاش کرنا آسان ہے اور یہ انتہائی آؤٹ لائرز سے بالکل متاثر نہیں ہوتا۔ بنیادی خامی یہ ہے کہ کچھ ڈیٹا سیٹس میں موڈ سرے سے موجود ہی نہیں ہوتا۔

موڈ کا حساب لگانے کی مثال

ہمارے بیس پیزا قیمتوں کے پچھلے ڈیٹا سیٹ کو استعمال کرتے ہوئے:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

ہم ان اقدامات کے ساتھ موڈ معلوم کر سکتے ہیں:

سب سے پہلے، ڈیٹا سیٹ کو ترتیب دیں:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

اس کے بعد، اس عدد کی شناخت کریں جو سب سے زیادہ بار دہرایا گیا ہو۔ اس فہرست میں، 70 چار بار آیا ہے، جو کسی بھی دوسرے عدد سے زیادہ ہے۔ لہذا، موڈ کی قدر 70 ہے۔

اگرچہ موڈ مرکزی رجحان کا ایک پیمانہ ہے، لیکن یہ ہمیشہ ڈیٹا کے اصل مرکز کی نمائندگی نہیں کرتا، خاص طور پر بہت زیادہ جھکاؤ والی تقسیم (heavily skewed distributions) میں۔ تکنیکی طور پر موڈ سب سے زیادہ قدر، سب سے کم قدر، یا ان کے درمیان کوئی بھی قدر ہو سکتا ہے۔ مثال کے طور پر، اس ڈیٹا سیٹ پر غور کریں:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

یہاں، موڈ 120 ہے۔ تاہم، 120 واضح طور پر اس گروپ کے مرکزی رجحان کی عکاسی نہیں کرتا۔

دلچسپ بات یہ ہے کہ، جہاں مین اور میڈین کا حساب صرف مقداری (عددی) ڈیٹا کے لیے لگایا جا سکتا ہے، وہیں موڈ کو مقداری اور کوالٹیٹیو (categorical) ڈیٹا دونوں کے لیے استعمال کیا جا سکتا ہے۔

مثال کے طور پر، تصور کریں کہ اینا مہینے میں 12 بار پیزا کھاتی ہے، جس کی تفصیل کچھ یوں ہے:

• 3 بار ناپولیٹانا پیزا،
• 3 بار مارگریٹا پیزا،
• 2 بار کالزون پیزا،
• 1 پیپرونی،
• 1 مارینارا،
• 1 فور چیز،
• 1 کاپریس۔

اس کوالٹیٹیو ڈیٹا سیٹ میں، دو موڈ ہیں: ناپولیٹانا اور مارگریٹا۔

انتشار کے پیمانے (Measures of Dispersion)

انتشار کے پیمانے، جنہیں تغیر کے پیمانے (measures of variability) بھی کہا جاتا ہے، ڈیٹا سیٹ کے اندر پھیلاؤ یا بکھراؤ کا تعین کرتے ہیں۔ وہ واضح کرتے ہیں کہ ڈیٹا پوائنٹس مرکزی قدر سے کتنے دور ہیں۔ ہم اس تغیر (variance) کا تجزیہ تین اہم میٹرکس کا استعمال کرتے ہوئے کر سکتے ہیں: رینج، کوارٹائلز اور انٹر کوارٹائل رینج (IQR)۔

رینج (Range) کیلکولیٹر

رینج انتشار کا سب سے آسان پیمانہ ہے۔ یہ کسی ڈیٹا سیٹ میں سب سے بڑی اور سب سے چھوٹی اقدار کے درمیان مطلق فرق (absolute difference) کی نمائندگی کرتا ہے۔ اس کا فارمولا سیدھا سا ہے:

رینج = سب سے بڑی قدر - سب سے چھوٹی قدر

رینج کا حساب لگانے کی مثال

بیس پیزا قیمتوں کے اپنے ڈیٹا سیٹ پر دوبارہ نظر ڈالتے ہیں:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

رینج کا حساب لگانے کے لیے، سب سے پہلے ڈیٹا کو ترتیب دیں تاکہ انتہائی اقدار کی آسانی سے نشاندہی کی جا سکے:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

سب سے بڑی قدر 160 ہے، اور سب سے چھوٹی قدر 42 ہے۔ فارمولا استعمال کرتے ہوئے:

رینج = سب سے بڑی قدر - سب سے چھوٹی قدر = 160 - 42 = 118

اس ڈیٹا سیٹ کے لیے رینج 118 ہے۔

کوارٹائل (Quartile) کیلکولیٹر

کوارٹائل شماریاتی اقدار ہیں جو ترتیب دیے گئے ڈیٹا سیٹ کو تین تقسیم کرنے والے پوائنٹس کا استعمال کرتے ہوئے چار برابر حصوں، یا چوتھائیوں میں تقسیم کرتے ہیں: پہلا، دوسرا اور تیسرا کوارٹائل۔

پہلا کوارٹائل (Q₁) 25 واں پرسنٹائل ہے۔ ڈیٹا کا بالکل 25% اس قدر سے نیچے آتا ہے، اور 75% اس سے اوپر ہوتا ہے۔

دوسرا کوارٹائل (Q₂) 50 واں پرسنٹائل ہے، جو بالکل میڈین کے برابر ہے۔ یہ ڈیٹا کو بالکل نصف میں تقسیم کرتا ہے۔

تیسرا کوارٹائل (Q₃) 75 واں پرسنٹائل ہے۔ یہاں، 75% ڈیٹا اس قدر سے نیچے ہے، اور 25% اس سے اوپر ہے۔

کوارٹائلز کا حساب لگانا

ڈیٹا سیٹ کے کوارٹائلز کا حساب لگانے کے لیے، اس طریقہ کار پر عمل کریں:

1. ڈیٹا پوائنٹس کو صعودی (ascending) ترتیب میں مرتب کریں۔

2. میڈین کا حساب لگا کر دوسرے کوارٹائل کا تعین کریں۔ پہلے اور تیسرے کوارٹائل کے لیے، n (ڈیٹا سیٹ میں اقدار کی کل تعداد) کا استعمال کرتے ہوئے اگلے مراحل کی طرف بڑھیں۔

3. پہلے کوارٹائل کی پوزیشن معلوم کرنے کے لیے، L = 0.25n کا حساب لگائیں۔ تیسرے کوارٹائل کی پوزیشن معلوم کرنے کے لیے، L = 0.75n کا حساب لگائیں۔

4. اگر L ایک مکمل عدد (whole integer) ہے، تو کوارٹائل پوزیشن L پر موجود قدر اور پوزیشن L + 1 پر موجود قدر کی اوسط ہے۔

5. اگر L مکمل عدد نہیں ہے، تو اسے اگلے اعلیٰ ترین مکمل عدد تک راؤنڈ اپ (round up) کریں۔ کوارٹائل اس راؤنڈ شدہ پوزیشن پر واقع قدر ہوگی۔

کوارٹائل کا حساب لگانے کی مثال

ہماری بیس پیزا قیمتوں کے مجموعے کا استعمال کرتے ہوئے:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

آئیے کوارٹائلز کا حساب لگائیں:

1. ڈیٹا سیٹ کو صعودی ترتیب میں منظم کریں:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. ہمارے پچھلے میڈین کے حساب سے، ہم پہلے ہی دوسرا کوارٹائل جانتے ہیں:

میڈین = 70

3. پہلے کوارٹائل کے لیے L کا حساب لگائیں: 0.25 × 20 = 5۔ تیسرے کوارٹائل کے لیے L کا حساب لگائیں: 0.75 × 20 = 15۔

4. چونکہ 5 ایک مکمل عدد ہے، اس لیے Q₁ 5ویں اور 6ویں اقدار (55 اور 59) کی اوسط ہے:

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. چونکہ 15 بھی ایک مکمل عدد ہے، اس لیے Q₃ 15ویں اور 16ویں اقدار (72 اور 75) کی اوسط ہے:

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73.5$$

اس ڈیٹا سیٹ کے لیے، پہلا کوارٹائل 57، دوسرا (میڈین) 70، اور تیسرا کوارٹائل 73.5 ہے۔

انٹر کوارٹائل رینج کیلکولیٹر

انٹر کوارٹائل رینج (IQR) آپ کے ڈیٹا سیٹ کے درمیانی 50% کے پھیلاؤ کی پیمائش کرتی ہے۔ اس کی تعریف تیسرے کوارٹائل (Q₃) اور پہلے کوارٹائل (Q₁) کے درمیان فرق کے طور پر کی جاتی ہے۔ یہ شماریاتی انتشار کا ایک انتہائی مضبوط پیمانہ ہے، جس کا حساب اس فارمولے سے لگایا جاتا ہے:

IQR = Q₃ - Q₁

IQR کا حساب لگانے کی مثال

چونکہ ہم پہلے ہی پہلے اور تیسرے کوارٹائل (57 اور 73.5) کا حساب لگا چکے ہیں، اس لیے انٹر کوارٹائل رینج کا حساب لگانا اتنا ہی آسان ہے جتنا انہیں فارمولے میں درج کرنا:

IQR = Q₃ - Q₁ = 73.5 - 57 = 16.5

ہمارے پیزا ڈیٹا سیٹ کے لیے انٹر کوارٹائل رینج 16.5 ہے۔

نتائج

مارگریٹا پیزا کی قیمتوں کے اپنے شماریاتی تجزیے کی بدولت، لوئیجی کاروبار کے لیے کئی عملی نتائج اخذ کر سکتا ہے۔

پہلا یہ کہ، اگرچہ مین (71.9) اور میڈین (69.5) بالکل یکساں نہیں ہیں—جو کہ چند مہنگے ریستورانوں کی وجہ سے دائیں طرف ہلکے سے جھکاؤ کی نشاندہی کرتا ہے—لیکن یہ فرق نہ ہونے کے برابر ہے۔ یہاں مین اور میڈین دونوں ہی مرکزی رجحان کے قابل اعتماد پیمانوں کے طور پر کام کرتے ہیں۔

اگر لوئیجی اپنے پیزا کے لیے ایک اوسط، مسابقتی قیمت مقرر کرنا چاہتا ہے، تو وہ دونوں میں سے کوئی بھی میٹرک استعمال کر سکتا ہے۔ تاہم، 71,900 IDR یا 69,500 IDR جیسی غیر روایتی قیمتیں صارفین کے لیے یاد رکھنا مشکل ہو سکتی ہیں۔ خوش قسمتی سے، اس کے ڈیٹا سیٹ کا موڈ بالکل 70,000 IDR پر مین اور میڈین کے بالکل درمیان واقع ہے۔ یہ چیز موڈ کو لوئیجی کی کاروباری حکمت عملی کے لیے ایک انتہائی عملی اور یادگار قیمت (price point) بناتی ہے۔

دوسری جانب، اگر لوئیجی فیصلہ کرتا ہے کہ وہ کم بجٹ والے صارفین کو ہدف بنائے گا، تو وہ اپنے پیزا کی قیمت پہلے کوارٹائل کے قریب رکھ سکتا ہے، جس کا ہدف تقریباً 57,000 IDR ہوگا۔ اس صورتحال میں ہائی اینڈ (high-end) صارفین کو ہدف بنانے کے لیے تیسرے کوارٹائل (73,500 IDR) پر انحصار کرنا کم مؤثر ہوگا، کیونکہ اوپری کوارٹائل تھوڑا سا ترچھا (skewed) ہے اور لگژری مارکیٹ کی اصل حد کی کم نمائندگی کرتا ہے۔