Calcolatrice Media, Mediana, Moda

Le misure di tendenza centrale

Analizzare tabelle e grafici di dati statistici può risultare complesso. Spesso, per ricavare informazioni utili dalle statistiche, è necessario sintetizzare i set di dati e individuarne le caratteristiche principali.

In statistica, si utilizzano diversi indicatori per riassumere i dati. Alcuni descrivono il punto centrale della distribuzione e prendono il nome di misure di tendenza centrale. Altri indicano la variabilità dei valori e sono noti come misure di dispersione. Infine, le misure di posizione (o indici di posizione) rivelano la proporzione di dati inferiore a un determinato valore.

Lo scopo principale di questo calcolatore statistico è calcolare le misure di tendenza centrale, come la media e la mediana, che rappresentano il valore tipico o centrale in un set di dati. L'obiettivo secondario di questo strumento è determinare il grado di variazione (o variabilità) dei dati calcolando l'intervallo (il range o campo di variazione), i quartili e lo scarto interquartile.

Calcolatore della Media

La media aritmetica si ottiene dividendo la somma di tutti i valori per il numero totale delle osservazioni. È l'indicatore statistico più semplice da comprendere e si calcola utilizzando la seguente formula per la media campionaria:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

La formula per calcolare la media della popolazione è:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{N}=\frac{\sum_{}^{}x}{N}$$

In queste formule, il numeratore rappresenta la somma di tutti i valori presenti nel set di dati, mentre il denominatore indica il numero totale di osservazioni.

Il principale vantaggio della media aritmetica è che prende in considerazione ogni singolo dato presente nell'insieme.

Il suo limite principale, tuttavia, è l'estrema sensibilità ai valori anomali (noti anche come outlier), ovvero dati eccessivamente grandi o piccoli che possono distorcere significativamente il risultato finale.

È importante notare che il valore medio non coincide necessariamente con il valore tipico o più frequente. In molti casi, la media può essere un numero che non è nemmeno presente all'interno del set di dati.

Media campionaria e media della popolazione

In statistica, la popolazione è l'insieme completo di tutti gli elementi oggetto di studio. Il campione, invece, è un sottoinsieme più piccolo estratto dalla popolazione stessa.

Il metodo per calcolare il valore medio è identico sia per i campioni che per le popolazioni; a cambiare è unicamente la notazione matematica utilizzata.

Se x₁, x₂,..., xₙ rappresenta un campione, la sua media prende il nome di media campionaria ed è indicata dal simbolo x̄ (x barrato). La media della popolazione, invece, è rappresentata dalla lettera greca 𝜇 (mu).

Inoltre, si utilizza la lettera minuscola n per indicare la dimensione del campione e la lettera maiuscola N per indicare la dimensione della popolazione.

Esempio di calcolo della media

Vediamo un esempio pratico. Luigi, chef di prim'ordine e grande appassionato di pizza, decide di aprire una pizzeria a Bali. Per attirare investitori, sta redigendo un business plan. Per fare previsioni finanziarie accurate, ha bisogno di determinare il costo medio di una pizza nei vari ristoranti dell'isola.

Conducendo una rapida indagine sul prezzo della pizza Margherita a Bali, ha raccolto un set di dati. Per semplificare il calcolo statistico, omettiamo gli ultimi tre zeri e utilizziamo i valori in migliaia: ad esempio, il numero 60 nei nostri calcoli corrisponderà a 60.000 rupie indonesiane (IDR).

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Essendo impossibile visitare ogni singola pizzeria dell'isola, Luigi ne ha selezionate 20 in modo casuale. Pertanto, stiamo lavorando con un campione.

Utilizziamo il nostro calcolatore della media applicando la formula:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+\ldots+x_n}{n}=\frac{\sum_{}^{}x}{n}$$

Il risultato ottenuto è una media campionaria x̄ = 71,9.

La ricerca di Luigi dimostra che 71.900 rupie indonesiane è il prezzo medio di una pizza Margherita a Bali. Su questo dato potrà ora basare i calcoli del suo business plan.

Calcolatore della Mediana

La mediana è un indice di posizione che rappresenta il valore centrale di un set di dati ordinato in senso crescente o decrescente.

Calcolare la mediana significa trovare quel numero esatto che divide a metà la distribuzione: il 50% dei valori sarà inferiore alla mediana e l'altro 50% sarà superiore. Per questo motivo, se calcoliamo la mediana manualmente senza l'ausilio di un calcolatore online, il primo passo fondamentale è sempre ordinare i dati.

Il procedimento per il calcolo della mediana varia a seconda che il numero totale di osservazioni sia pari o dispari.

Se il numero totale degli elementi (n o N) è dispari, si applica la seguente formula:

$$Mediana=(\frac{n+1}{2})-\text{esimo\ elemento}$$

Se invece il numero degli elementi (n o N) è pari, la formula della mediana diventa:

$$Mediana=\frac{\left[(\frac{n}{2})-\text{esimo\ elemento}+(\frac{n}{2}+1)-\text{esimo\ elemento}\right]}{2}$$

Il principale vantaggio della mediana, rispetto alla media, è la sua robustezza: è infatti molto meno influenzata dalla presenza di valori anomali (outlier) estremamente alti o bassi.

Esempio di calcolo della mediana

Consideriamo lo stesso set di 20 valori:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Possiamo calcolare la mediana seguendo questi passaggi:

1. Ordiniamo il set di dati in modo crescente. In questo caso, l'ordine sarà:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Contiamo il numero totale di osservazioni nel set di dati. Otteniamo n = 20.

3. Poiché 20 è un numero pari, dobbiamo individuare i due valori centrali della distribuzione e calcolarne la media aritmetica (sommandoli e dividendo il risultato per 2).

I due valori centrali del nostro campione (in decima e undicesima posizione) sono 69 e 70. Calcoliamo la mediana in questo modo:

$$Mediana = \frac{69 + 70}{2} = 69,5$$

Se Luigi avesse raccolto un set di 21 valori, includendo ad esempio un dato in più:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 90, 55, 72, 70

Dovrebbe prima ordinare la distribuzione:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 90, 95, 120, 160

e successivamente selezionare il singolo valore centrale, che si trova esattamente all'11ª posizione: ovvero 70.

La differenza tra la media e la mediana

Sia la media che la mediana sono tra i più diffusi indicatori di tendenza centrale. Tuttavia, è essenziale comprendere le differenze statistiche tra le due.

La differenza fondamentale è che il calcolo della media prende in considerazione tutti i valori presenti nel set di dati. Al contrario, la formula della mediana dipende unicamente dal valore centrale (o dai due valori centrali).

Questa distinzione diventa cruciale quando si analizzano set di dati che contengono numeri insolitamente grandi o piccoli (i cosiddetti valori anomali o outlier). Nella maggior parte dei casi, un outlier altera significativamente il risultato della media, ma ha un impatto minimo o nullo sulla mediana.

In statistica, un indicatore è definito "robusto" (o resistente) se il suo valore non viene compromesso da dati estremi. Sulla base di ciò, la mediana è una misura robusta, mentre la media aritmetica non lo è.

Media e mediana individuano il centro della distribuzione con approcci diversi. La media rappresenta il punto di equilibrio (il baricentro) dei dati. La mediana funge invece da spartiacque geometrico, separando il 50% dei valori inferiori dal 50% dei valori superiori. Quando un set di dati ha una distribuzione perfettamente simmetrica, la media e la mediana coincidono.

Tuttavia, nella vita reale è frequente che questi due indici divergano.

In alcune distribuzioni, la media risulta inferiore alla mediana, oppure la supera. Quando ciò accade, ci troviamo di fronte a una distribuzione asimmetrica (o skewed).

Se il valore della media è inferiore alla mediana, si parla di asimmetria negativa (distribuzione asimmetrica a sinistra). Se la media è superiore alla mediana, si parla di asimmetria positiva (distribuzione asimmetrica a destra).

Non esiste una misura di tendenza centrale in assoluto "migliore" dell'altra: ognuna fornisce una prospettiva diversa. Per l'analisi dei dati, gli esperti suggeriscono di utilizzare il calcolatore della mediana quando si è in presenza di dati fortemente asimmetrici o ricchi di valori anomali, in quanto fornirà una rappresentazione più accurata della realtà tipica.

Calcolatore della Moda

La moda statistica è l'osservazione che si presenta con la frequenza più elevata all'interno di una distribuzione. In altre parole, è il valore che compare più spesso nel set di dati.

Un set di dati viene definito unimodale se possiede un solo valore che spicca su tutti gli altri in termini di frequenza.

Se vi sono due valori che condividono la medesima frequenza massima, entrambi vengono considerati come moda, e la distribuzione prende il nome di bimodale.

Allo stesso modo, se ci sono più di due valori con la stessa frequenza massima, ciascuno di essi costituisce una moda e il set di dati viene detto multimodale.

Se nessun elemento della distribuzione si ripete più di una volta, si afferma che il set di dati è privo di moda. In questo caso, è un grave errore dire che "la moda è zero", poiché lo 0 potrebbe rappresentare un valore reale all'interno dei dati (si pensi, ad esempio, alle misurazioni della temperatura).

Il più grande vantaggio del calcolo della moda è la sua immediatezza visiva e la totale immunità agli outlier. Lo svantaggio principale, invece, è che non sempre la moda esiste (specie in piccoli campioni con dati molto variabili).

Esempio di calcolo della moda

Riprendiamo il nostro set di 20 valori:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Per individuare rapidamente la moda con o senza l'uso di un calcolatore online, procediamo a ordinare i dati:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

A questo punto, cerchiamo semplicemente il valore che si ripete più spesso. Nel nostro campione, l'elemento più frequente è 70. Pertanto, il valore modale (la moda) è 70.

Sebbene rientri tra le misure di tendenza centrale, la moda non riflette necessariamente il "centro" fisico di una distribuzione, specialmente in caso di forte asimmetria. La moda può coincidere con il valore massimo, minimo o qualsiasi punto intermedio. Ad esempio, consideriamo questa sequenza numerica:

42, 45, 50, 53, 55, 57, 59, 60, 63, 69, 70, 72, 79, 82, 83, 95, 96, 120, 120, 120

In questo scenario la moda è pari a 120 (poiché si ripete 3 volte). Eppure, tale valore estremo non rappresenta minimamente la tendenza centrale del gruppo.

Un aspetto fondamentale da sottolineare ai fini dell'analisi dei dati: mentre media e mediana si possono calcolare esclusivamente su dati quantitativi (numerici), la moda si adatta perfettamente anche ai dati qualitativi (categorici).

Supponiamo che Anna mangi in pizzeria 12 volte in un mese ordinando:

• 3 volte una pizza Napoletana,
• 3 volte una pizza Margherita,
• 2 volte una pizza Calzone,
• 1 Pepperoni,
• 1 Marinara,
• 1 Quattro Formaggi,
• 1 Caprese.

In questo set di dati qualitativo avremo due mode parimerito: la pizza Napoletana e la pizza Margherita. La distribuzione è quindi bimodale.

Misure di dispersione

Le misure di dispersione (o indici di variabilità) servono a misurare quanto i valori di una distribuzione siano sparsi e distanti tra loro. Essenzialmente, indicano l'ampiezza della deviazione dei dati rispetto al punto centrale. Possiamo esaminare questa variazione calcolando il range (o campo di variazione), i quartili e la differenza interquartile.

Calcolatore dell'Intervallo

L'intervallo (spesso chiamato range o campo di variazione) è la differenza assoluta tra l'elemento di valore massimo e quello di valore minimo all'interno di un set di dati. Il calcolo è estremamente intuitivo. La formula matematica è:

$$Intervallo = Valore\ più\ grande - Valore\ più\ piccolo$$

Esempio di Calcolo dell'Intervallo

Tornando al campione di 20 valori precedentemente analizzato:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Calcoliamo l'intervallo seguendo questo rapido procedimento. Innanzitutto, è utile (anche se non obbligatorio se si individuano a vista gli estremi) ordinare i dati:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

Identifichiamo immediatamente il valore massimo, che è 160, e il valore minimo, pari a 42. Applichiamo la formula:

$$Intervallo = valore\ più\ grande - valore\ più\ piccolo = 160 - 42 = 118$$

Questo significa che il range complessivo (l'ampiezza) dei prezzi delle pizze nel nostro set di dati è pari a 118.

Calcolatore dei Quartili

I quartili sono indici di posizione che frazionano un set di dati (precedentemente ordinato) in quattro porzioni di uguale ampiezza. Per dividere i dati in quattro parti, abbiamo bisogno di tre punti di taglio: il primo, il secondo e il terzo quartile.

Il primo quartile, indicato con il simbolo Q₁, rappresenta il valore al di sotto del quale ricade il 25% delle osservazioni. Il restante 75% si colloca al di sopra di questa soglia.

Il secondo quartile (Q₂) coincide esattamente con la mediana. Taglia a metà la distribuzione: il 50% dei dati risulta inferiore e l'altro 50% risulta superiore.

Il terzo quartile (Q₃) è il valore al di sotto del quale ricade il 75% dei dati. Conseguentemente, solo il 25% della coda superiore della distribuzione supera questo valore.

Calcolo dei quartili

La procedura standard per calcolare i quartili di una distribuzione statistica è la seguente:

1. Ordina tutti i dati numerici in senso crescente (dal più piccolo al più grande).

2. Il secondo quartile (Q₂) equivale al calcolo della mediana. Per identificare Q₁ e Q₃ procedi individuando n, ovvero il numero totale di elementi nel set di dati.

3. Per ricavare la posizione del primo quartile, applica la formula L = 0,25 × n. Per la posizione del terzo quartile, calcola L = 0,75 × n.

4. Se L produce un numero intero, il quartile sarà calcolato come la media matematica tra l'elemento che si trova in posizione L e l'elemento in posizione L + 1.

5. Se L genera un numero decimale, arrotondalo per eccesso all'intero successivo. Il quartile corrisponderà esattamente all'elemento che occupa quella posizione nella serie ordinata.

Esempio di calcolo dei quartili

Applichiamo il calcolo al nostro set di venti valori sui prezzi:

60, 60, 84, 45, 59, 70, 42, 59, 53, 70, 69, 70, 120, 160, 95, 50, 75, 55, 72, 70

Possiamo trovare i quartili in pochi rapidi passaggi:

1. Per prima cosa verifichiamo che i dati siano ordinati dal minore al maggiore. Lo sono:

42, 45, 50, 53, 55, 59, 59, 60, 60, 69, 70, 70, 70, 70, 72, 75, 84, 95, 120, 160

2. Come visto nel precedente esempio sul calcolo della mediana, sappiamo che Q₂ (la mediana) è pari a:

Mediana = 69,5

3. Troviamo la posizione (L) per Q₁: 0,25 × 20 = 5. Troviamo la posizione (L) per Q₃: 0,75 × 20 = 15.

4. Poiché 5 è un numero intero, il primo quartile Q₁ si otterrà facendo la media tra il 5° valore (55) e il 6° valore (59):

$$Q₁=\frac{55+59}{2}=57$$

5. Anche 15 è un numero intero. Di conseguenza, il terzo quartile Q₃ si otterrà facendo la media tra il 15° valore (72) e il 16° valore (75):

$$Q₃=\frac{72+75}{2}=73,5$$

In sintesi, per questo insieme di dati, il primo quartile corrisponde a 57, il secondo quartile a 69,5 e il terzo quartile a 73,5.

Calcolatore dell'intervallo interquartile

Il range interquartile (noto anche come differenza interquartile o scarto interquartile, sigla IQR) è la differenza aritmetica tra il terzo quartile (Q₃) e il primo quartile (Q₁) della distribuzione. Si tratta di una misura fondamentale di variabilità statistica che rappresenta la dispersione del 50% centrale dei dati. Si calcola usando l'equazione:

IQR = Q₃ - Q₁

Esempio di calcolo dell'IQR

Avendo già elaborato il calcolo statistico dei quartili nella sezione precedente (Q₁ = 57 e Q₃ = 73,5), estrapolare il range interquartile è facilissimo. Basterà applicare la sottrazione:

IQR = Q₃ - Q₁ = 73,5 - 57 = 16,5

Di conseguenza, il range interquartile per i prezzi delle pizze raccolti da Luigi si attesta a 16,5.

Risultati

Tornando al nostro scenario pratico e analizzando i risultati dell'indagine di mercato di Luigi sui prezzi della pizza Margherita, egli può trarre alcune preziose conclusioni di business. La media e la mediana non coincidono perfettamente, segnalando una lieve asimmetria nella distribuzione statistica, che tuttavia non risulta drammatica. Di conseguenza, Luigi può avvalersi sia della media che della mediana come validi indici di tendenza centrale per il suo piano.

Nel momento di stabilire il prezzo medio di lancio del suo prodotto, Luigi potrebbe incrociare i dati di media e mediana. Va detto che esporre a menu un prezzo come 71.900 IDR o 69.500 IDR risulterebbe commercialmente inefficace. Fortunatamente interviene l'analisi della moda: il prezzo più frequente per una Margherita è un numero tondo (70.000 IDR) che si colloca esattamente in quell'intervallo. Diventa quindi la cifra ideale per ottimizzare la sua strategia di pricing.

Qualora invece decidesse di posizionare la pizzeria su un target low-cost volto al risparmio, gli converrebbe allineare il suo listino ai valori del primo quartile: proponendo una Margherita a circa 57.000 rupie. Al contrario, basarsi sul terzo quartile per formulare un prezzo destinato a una clientela d'élite (o premium) risulterebbe imprudente, poiché in questo specifico set di dati il terzo quartile non è pienamente rappresentativo per via dei forti divari presenti nella fascia alta.