平方根计算器

这个计算器可用于查找输入数字的平方根。输入数字可以是正数或负数，根计算器将识别数字的主要平方根和相反的（负）平方根。

使用说明

要使用平方根计算器，请输入给定的数字，并按“计算”。计算器将返回数字的主要平方根和相反（负）平方根。它还将指示输入的数字是否为完全平方数。

平方和平方根

平方

给定数字的平方是该数字乘以自身。例如，3 × 3 = 9，这意味着 3 的平方是 9，或三的平方等于 9。数字的平方通常写作：x²。所以，如果 x = 3，上述方程可以写成 3² = 9。以下是不同数字的平方的一些示例：

数字	平方
2	4
3	9
4	16
5	25
0.1	0.01
12	144

看看负数并找到 (-3)²。(-3)² = (-3) × (-3) = 9，因为两个负号相乘返回正号。因此，(-3)² = 3² = 9。

完全平方数

完全平方数是整数的平方；例如，4、9、16 和 25 都是完全平方数。以下是前几个整数的完全平方数。记住它们是有用的。

数字	平方
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144

因此，如果一个数字的平方根是一个整数，那么这个数字就是一个完全平方数。本页的计算器将指示输入的数字是否为完全平方数。

平方根

一个数字的平方根是一个值，该值自身相乘后得到原始数字。例如，9 的平方根是 3 和 -3，因为 3 × 3 = 9，且 (-3) × (-3) = 9，因此，(-3)² = 3² = 9。同样地，16 的平方根是 4 和 -4，依此类推。每个数字（除了 0）都有两个平方根——正平方根和负平方根。

一个数字的正平方根称为主平方根；当没有指定要计算哪个平方根时，通常指的是主根。例如，在问题“36 的平方根是什么？”中，我们只被要求找到一个平方根，所以我们只考虑主根，答案将是“6”。

平方根符号

平方根符号称为根号，表示如下：√。因此，要数学地写出 16 的平方根，我们将写 √16。

根据严格的数学定义，对于任何函数 f(x, y)，每个 x 的值必须有唯一的 y 值。假设我们有一个函数，其中 y 等于 x 的平方根。那么，对于每个 x 的值，将会有两个 y 的值——正平方根和负平方根。这与函数的数学定义相悖！为了解决这个问题，数学家只将根号符号 √ 分配给主根。

这意味着虽然 16 的平方根是 4 和 -4，但在数学上，√16 = 4。在解决数学方程时必须考虑到这一点。任何类型的 y² = x 方程都有两个解，写作 y = √x 和 y = -√x，或 y = ±√x。

负数的平方根

在上面的部分中，我们已经证明了任何实数的平方总是正数。如果数字是正数，它的平方也是正数。如果数字是负数，它的平方仍然是正数，因为两个负号相乘返回正号。

现在让我们想象一下，有一个数字在平方时给出负结果。在平方时给出负结果的数字称为虚数。基本的虚数是 i，定义为：

i² = -1

或

i = √(-1)

让我们尝试找到 (-4) 的平方根：

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) = 2 × i = 2i

(-4) 的主要平方根是 2i。如果我们在上述等式中考虑 4 的相反平方根（-√4 = -2），我们也会得到相反的解：-2i。

如何找到一个数字的平方根

计算完全平方数的平方根相对容易。但计算小数或不是完全平方数的整数的平方根可能比较复杂。这个页面上解释了几种计算平方根的方法，包括一种计算方法，允许找到任何数字的精确平方根。

真实生活中的应用

约翰计划租一间单间公寓。他找到了一则面积为 20.25 平方米的单间公寓的广告。他如何估算单间的墙壁长度，以更好地直观感受这个地方的大小呢？

解答

在房地产中，公寓、房屋和土地面积通常以平方米表示。同时，一些列表包括相应的长度，但很多则没有。仅考虑面积的平方米可能很难直观地感受空间的大小。但是，如果我们想象总面积为一定长度边的正方形，我们就会更好地了解这个地方有多大。为此，我们必须提取总面积的平方根：

√20.25 = 4.5

请注意，我们谈论的是公寓的物理大小。因此，我们只需要主平方根。

还值得注意的是，提取平方根在尺寸上是有效的！这个例子是以平方米（m²）测量总面积的。当我们寻找墙壁的长度时，我们实际上是在提取 20.25 m² 的平方根：

√(20.25 m²) = √20.25 √(m²) = 4.5 m

答案

20.25 平方米的单间公寓可以被想象为一个正方形房间，每面墙长 4.5 米。