Mathematischer Gleichungslöser

Dieser Online-Rechner für die Rechenreihenfolge kann als klassischer PEMDAS-Rechner verwendet werden. Er löst mathematische Ausdrücke und Gleichungen streng nach dem PEMDAS-Algorithmus (im Deutschen auch bekannt durch die Regel „Klammerrechnung vor Potenzrechnung, Punkt- vor Strichrechnung“). Dabei werden die mathematischen Operationen wie folgt priorisiert:

• Parenthesen, Klammern, Gruppierungen
• Exponenten, Wurzeln
• Multiplikation, Division
• Addition, Subtraktion

Gebrauchsanweisung

Um diesen PEMDAS-Rechner (Rechner für die Operationsreihenfolge) zu verwenden, geben Sie die zu lösende Gleichung mit den folgenden Symbolen ein:

• "+" Addition
• "-" Subtraktion
• "*" Multiplikation
• "/" Division
• "^" hoch (z. B. 12^2 bedeutet 12 hoch 2: 12² = 144. 49^(1/2) bedeutet 49 hoch 1/2: 49¹/² = 7).
• "root"(x[n])
• Sie können (), {}, [] für Klammern und Gruppierungen verwenden.

Kopieren von Gleichungen aus anderen Quellen

Sie können mathematische Ausdrücke und Gleichungen problemlos aus anderen Quellen kopieren und in diesen Gleichungsrechner einfügen. Der Rechner funktioniert in der Regel auch dann reibungslos, wenn in der Quelldatei abweichende Symbole für Rechenoperationen verwendet werden, wie beispielsweise × statt * oder ÷ statt /. In einigen wenigen Fällen kann es jedoch erforderlich sein, unbekannte Sonderzeichen durch die von diesem Rechner erkannten Standard-Symbole zu ersetzen.

Arbeiten mit Brüchen

Dieser Rechner unterstützt auch das Rechnen mit Brüchen. Verwenden Sie den Schrägstrich (Bruchstrich) /, um einen Bruch einzugeben, und setzen Sie den gesamten Bruch in Klammern. Geschieht dies nicht, wird die Division des Bruchs strikt nach der PEMDAS-Rechenreihenfolge ausgeführt. Geben Sie beispielsweise 25^(1/2) ein, um 25 hoch 1/2 zu berechnen: 25^(1/2) = 5. Wenn Sie hingegen lediglich 25^1/2 eingeben, erhalten Sie 12,5 als Ergebnis. Der Rechner interpretiert 25^1/2 gemäß der PEMDAS-Regel ("Potenz vor Division") nämlich als (25^1)/2 = 25/2 = 12,5.

PEMDAS-Operationsreihenfolge

Wenn in einem mathematischen Ausdruck nur eine einzige Rechenoperation vorkommt, ist der Lösungsweg meist eindeutig. Zum Beispiel: 12 + 4 = 16.

Aber wie geht man mit einem Ausdruck wie diesem um? 3 × 4 - 4? Welche Operation sollte zuerst durchgeführt werden? Wenn Sie zuerst multiplizieren, erhalten Sie 3 × 4 - 4 = 12 - 4 = 8. Wenn Sie jedoch zuerst subtrahieren, ergibt sich ein völlig anderes Resultat: 3 × 4 - 4 = 3 × 0 = 0.

Um solche Mehrdeutigkeiten zu vermeiden, weisen Mathematiker allen Operationen feste Prioritäten zu und führen sie IMMER in einer genau festgelegten Reihenfolge aus. Im englischsprachigen Raum wird diese Reihenfolge durch das Akronym PEMDAS beschrieben. Im Deutschen entspricht dies weitestgehend der „Punkt-vor-Strich“-Regel, erweitert um Klammern und Potenzen. PEMDAS steht dabei für: P – Parentheses (Klammern), E – Exponents (Exponenten/Potenzen und Wurzeln), M – Multiplication (Multiplikation), D – Division, A – Addition, S – Subtraction (Subtraktion).

Beachten Sie, dass in verschiedenen Ländern unterschiedliche Akronyme verwendet werden, die jedoch alle exakt dieselbe mathematische Operationsreihenfolge beschreiben. So steht BEDMAS für Brackets, Exponents, Division, Multiplication, Addition, Subtraction; GEMDAS ist das Akronym für Grouping, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction; BODMAS bedeutet Brackets, Order, Division, Multiplication, Addition, Subtraction.

Die Reihenfolge der Multiplikation und Division

Im PEMDAS-Algorithmus sind Multiplikation und Division Operationen mit gleicher Priorität. Das bedeutet, sie werden einfach von links nach rechts ausgeführt (es sei denn, eine der Operationen steht in einer Klammer). Bei dem Ausdruck 12 / 2 × 3 führen Sie beispielsweise zunächst die Division 12 / 2 durch, was 6 ergibt. Anschließend multiplizieren Sie die 6 mit 3 und erhalten das Endergebnis 18.

Aus diesem Grund steht in einigen Akronymen das M (Multiplikation) vor dem D (Division), wie bei PEMDAS, während in anderen das D vor dem M steht (BODMAS). Mathematisch macht dies keinen Unterschied.

Die Reihenfolge von Addition und Subtraktion

Addition und Subtraktion haben ebenfalls den gleichen Rang. Diese Operationen werden – genau wie die Punktrechnung – in der Reihenfolge ihres Auftretens von links nach rechts ausgeführt. Bei dem Ausdruck 10 - 7 + 3 müssen Sie folglich zuerst die Subtraktion 10 - 7 = 3 berechnen und danach die Addition 3 + 3 = 6 durchführen. Das Ergebnis ist: 10 - 7 + 3 = 6.

Die Reihenfolge von Wurzeln und Exponenten

Wie bereits beschrieben, werden Multiplikation, Division, Addition und Subtraktion von links nach rechts berechnet. Man bezeichnet diese Rechenoperationen als linksassoziativ. Wurzeln und Exponenten (Potenzen) sind hingegen rechtsassoziativ. Das bedeutet, sie werden von rechts nach links aufgelöst.

Lösen wir als Beispiel den folgenden Ausdruck: 2^3^1^2 oder \$2^{3^{1^{2}}}\$.

Die Potenzierung ist eine rechtsassoziative Operation, daher beginnen wir mit der Berechnung auf der rechten Seite.

Wir berechnen zuerst 1^2=1, dann 3^1=3 und schließlich 2^3=8. Diese Reihenfolge wird oft auch als "von oben nach unten" (Top-Down) bezeichnet, da man beim obersten Exponenten ansetzt und sich Schritt für Schritt "nach unten" vorarbeitet.

Der Ausdruck kann wie folgt umgeschrieben werden:

2^3^1^2 = 2^(3^(1^2) = 2^(3^1) = 2^3 = 8

$$2^{3^{1^{2}}} = 2^{3^{1}} = 2^{3} = 8$$

Mehrere Klammern

Wenn ein Ausdruck verschachtelte Klammern enthält, beginnt die Berechnung stets bei der innersten Klammer und arbeitet sich schrittweise zu den äußeren Klammern vor. Befinden sich innerhalb einer Klammer mehrere Rechenoperationen, werden diese ebenfalls strikt nach der PEMDAS-Reihenfolge abgearbeitet.

Beispiel aus dem wirklichen Leben

Auf den ersten Blick mag die Operationsreihenfolge wie ein rein theoretisches, mathematisches Konzept wirken. Wir wenden sie jedoch in unserem Alltag ständig an, oft ohne es zu merken! Stellen Sie sich vor, Sie bestellen mit einer Gruppe von Freunden Pizza. Angenommen, Sie wählen eine Pizza Margherita für 15 $, eine Pizza Quattro Formaggi für 16,50 $ und eine neapolitanische Pizza für 14,50 $. Sie sind insgesamt 8 Personen und möchten ausrechnen, wie viel jeder Einzelne bezahlen muss. Um dies herauszufinden, lösen Sie im Grunde den folgenden Ausdruck mithilfe des PEMDAS-Algorithmus:

(15 + 16,50 + 14,50)/8 = (31,50 + 14,50)/8 = (46)/8 = 46/8 = 5,75

Jeder von Ihnen muss also 5,75 $ bezahlen.

Eselsbrücken für das Akronym

Im englischsprachigen Raum gibt es viele Merksprüche (Eselsbrücken), um sich das Akronym PEMDAS einzuprägen. Der bekannteste Satz lautet: "Please Excuse My Dear Aunt Sally". Nimmt man den jeweils ersten Buchstaben dieser Wörter, erhält man PEMDAS. Sie können diesen bekannten Satz nutzen oder sich eine ganz eigene Eselsbrücke ausdenken, wie zum Beispiel: "Pinke Elefanten Machen Das Arbeiten Schöner!"