ตัวแก้สมการคณิตศาสตร์

เครื่องมือนี้สามารถใช้งานเป็นเครื่องคิดเลขลำดับการดำเนินการ หรือเครื่องคิดเลข PEMDAS (PEMDAS Calculator) เพื่อใช้แก้ปัญหาและสมการทางคณิตศาสตร์ได้อย่างแม่นยำตามหลักอัลกอริทึม PEMDAS โดยระบบจะจัดลำดับความสำคัญของการดำเนินการดังต่อไปนี้:

• วงเล็บ และการจัดกลุ่ม
• เลขชี้กำลัง และราก (กรณฑ์)
• การคูณ และการหาร
• การบวก และการลบ

คำแนะนำสำหรับการใช้งาน

ในการใช้งานเครื่องแก้สมการ PEMDAS นี้ เพียงป้อนสมการทางคณิตศาสตร์ของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ดังต่อไปนี้:

• "+" สำหรับการบวก
• "-" สำหรับการลบ
• "*" สำหรับการคูณ
• "/" สำหรับการหาร
• "^" สำหรับการยกกำลัง (เช่น 12^2 หมายถึง 12 ยกกำลัง 2: 12² = 144 หรือ 49^(1/2) หมายถึง 49 ยกกำลัง 1/2: 49¹/² = 7)
• "root"(x[n]) สำหรับการหาราก (รากที่ n ของ x)
• คุณสามารถใช้ (), {}, [] สำหรับวงเล็บและการจัดกลุ่มตัวเลข

การคัดลอกสมการจากแหล่งอื่น

คุณสามารถคัดลอกและวางสมการจากแหล่งอื่น ๆ ลงในเครื่องคิดเลขสมการนี้ได้โดยตรง ระบบมักจะสามารถประมวลผลได้แม้ว่าแหล่งที่มาจะใช้สัญลักษณ์การดำเนินการที่แตกต่างกัน เช่น ใช้ × แทน * หรือ ÷ แทน / อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี คุณอาจจำเป็นต้องเปลี่ยนสัญลักษณ์บางตัวให้เป็นรูปแบบที่เครื่องคิดเลขระบบนี้รองรับ

การคำนวณเศษส่วน

เครื่องคิดเลขนี้รองรับการคำนวณเศษส่วนเช่นกัน โดยใช้เครื่องหมายทับ / เพื่อป้อนเศษส่วน และต้องใส่วงเล็บครอบเศษส่วนที่กำหนดไว้เสมอ มิฉะนั้น การหารเศษส่วนจะถูกดำเนินการตามกฎลำดับ PEMDAS ทั่วไป ตัวอย่างเช่น หากต้องการคำนวณ 25 ยกกำลัง 1/2 ให้ป้อน 25^(1/2) ซึ่งจะได้คำตอบเป็น 5 แต่หากคุณป้อน 25^1/2 คุณจะได้ 12.5 เป็นคำตอบ เนื่องจากระบบจะตีความ 25^1/2 เป็น (25^1)/2 = 25/2 = 12.5 ตามกฎลำดับการดำเนินการของ PEMDAS

ลำดับการดำเนินการ PEMDAS

หากนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ของคุณมีการดำเนินการเพียงอย่างเดียว (เช่น การบวกอย่างเดียว) คำตอบนั้นมักจะหาได้ง่ายและชัดเจน เช่น 12 + 4 = 16

อย่างไรก็ตาม คุณจะทำอย่างไรกับสมการแบบนี้: 3 × 4 - 4? คุณควรเริ่มคำนวณส่วนไหนก่อน? หากคุณทำการคูณก่อน คุณจะได้ 3 × 4 - 4 = 12 - 4 = 8 แต่ถ้าคุณทำการลบก่อน คุณจะได้คำตอบที่แตกต่างออกไป นั่นคือ 3 × 4 - 4 = 3 × 0 = 0

เพื่อแก้ปัญหานี้ นักคณิตศาสตร์ได้กำหนดมาตรฐานลำดับความสำคัญสำหรับการดำเนินการทั้งหมด เพื่อใช้เป็นกฎสากลให้คำนวณตามลำดับนี้เสมอ ลำดับดังกล่าวอธิบายได้ง่าย ๆ ด้วยตัวย่อ PEMDAS ซึ่งแต่ละตัวอักษรมีความหมายดังนี้: P ย่อมาจาก Parentheses (วงเล็บ หรือการจัดกลุ่ม), E หมายถึง Exponents (เลขชี้กำลังและราก), M หมายถึง Multiplication (การคูณ), D หมายถึง Division (การหาร), A หมายถึง Addition (การบวก) และ S หมายถึง Subtraction (การลบ)

โปรดทราบว่าประเทศต่าง ๆ อาจใช้คำย่อที่แตกต่างกันออกไป แต่ทั้งหมดล้วนอธิบายกฎลำดับการดำเนินการเดียวกัน ตัวอย่างเช่น BEDMAS (Brackets, Exponents, Division, Multiplication, Addition, Subtraction), GEMDAS ซึ่งใช้ G สำหรับ Grouping (การจัดกลุ่ม) แทนวงเล็บ หรือ BODMAS (Brackets, Order, Division, Multiplication, Addition, Subtraction)

ลำดับของการคูณและการหาร

ในกฎ PEMDAS การคูณและการหารมีระดับความสำคัญที่เทียบเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าให้ดำเนินการคำนวณจากซ้ายไปขวา (เว้นแต่ว่าการดำเนินการใดจะอยู่ในวงเล็บ) ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 12 / 2 × 3 อันดับแรกคุณต้องทำการหาร 12/2 ก่อน ซึ่งจะได้ 6 จากนั้นจึงนำ 6 ไปคูณด้วย 3 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์คือ 18

ด้วยเหตุนี้ ในคำย่อบางคำ ตัว M (การคูณ) จึงมาก่อนตัว D (การหาร) เช่น ใน PEMDAS ในขณะที่คำย่ออื่น ๆ ตัว D จะมาก่อนตัว M เช่น ใน BODMAS

ลำดับของการบวกและการลบ

เช่นเดียวกับการคูณและการหาร การบวกและการลบก็มีระดับความสำคัญที่เทียบเท่ากัน การดำเนินการเหล่านี้จะถูกคำนวณทันทีตามลำดับที่ปรากฏในสมการ โดยอ่านจากซ้ายไปขวา ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ 10 – 7 + 3 อันดับแรกคุณต้องทำการลบ 10 – 7 = 3 ก่อน จากนั้นจึงนำผลลัพธ์ไปบวกต่อ 3 + 3 = 6 ดังนั้น 10 – 7 + 3 = 6

ลำดับของรากและเลขชี้กำลัง

ตามที่อธิบายไว้ข้างต้น การดำเนินการสำหรับการคูณ การหาร การบวก และการลบ จะถูกคำนวณจากซ้ายไปขวา ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าความสัมพันธ์แบบจัดหมู่ทางซ้าย (Left-associative) แต่ในทางกลับกัน รากและเลขชี้กำลังจะมีความสัมพันธ์แบบจัดหมู่ทางขวา (Right-associative) ซึ่งหมายความว่าจะต้องคำนวณจากขวาไปซ้าย

ตัวอย่างเช่น ลองมาแก้สมการต่อไปนี้: 2^3^1^2 หรือ \$2^{3^{1^{2}}}\$

เนื่องจากเลขชี้กำลังจะคำนวณจากขวาไปซ้าย เราจึงต้องเริ่มแก้ปัญหาจากฝั่งขวาสุด (หรือบนสุด) เสมอ

อันดับแรกเราคำนวณ 1^2=1 จากนั้น 3^1=3 และสุดท้าย 2^3=8 บางครั้งกฎนี้ถูกเรียกว่า “ลำดับจากบนลงล่าง” (Top-down) เพราะคุณต้องเริ่มจากเลขชี้กำลังตัวบนสุดและไล่ “ลงมา”

สมการดังกล่าวสามารถเขียนแจกแจงใหม่ได้ดังนี้:

2^3^1^2 = 2^(3^(1^2)) = 2^(3^1) = 2^3 = 8

$$2^{3^{1^{2}}} = 2^{3^{1}} = 2^{3} = 8$$

การคำนวณเมื่อมีวงเล็บซ้อนกันหลายชั้น

เมื่อสมการมีวงเล็บซ้อนกันหลายชั้น การคำนวณจะเริ่มจากวงเล็บชั้นในสุดก่อนแล้วจึงค่อยดำเนินการออกมายังวงเล็บชั้นนอก โปรดจำไว้ว่า หากภายในวงเล็บมีการดำเนินการหลายอย่าง จะต้องคำนวณตามกฎลำดับ PEMDAS เช่นเดียวกัน

ตัวอย่างการใช้งานในชีวิตประจำวัน

เมื่อมองแวบแรก ลำดับของการดำเนินการอาจดูเหมือนเป็นทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน อย่างไรก็ตาม เรามักจะใช้หลักการนี้ในชีวิตประจำวันโดยไม่รู้ตัว! ตัวอย่างเช่น ลองนึกภาพว่าคุณกำลังสั่งพิซซ่ากับกลุ่มเพื่อน สมมติว่าคุณสั่งพิซซ่ามาเกริต้าหนึ่งถาดราคา $15 พิซซ่าโฟร์ชีสหนึ่งถาดราคา $16.50 และพิซซ่าเนเปิลส์หนึ่งถาดราคา $14.50 กลุ่มของคุณมีทั้งหมด 8 คน และต้องการหารค่าอาหารให้ทุกคนจ่ายเท่า ๆ กัน ในการคำนวณยอดเงิน คุณกำลังแก้สมการโดยใช้กฎ PEMDAS อยู่โดยพื้นฐาน:

(15 + 16.50 + 14.50)/8 = (31.50 + 14.50)/8 = (46)/8 = 46/8 = 5.75

ดังนั้น แต่ละคนจะต้องจ่ายเงินคนละ $5.75

เทคนิคการจำตัวย่อ

มีการใช้วลีและเทคนิคช่วยจำมากมายเพื่อให้จดจำตัวย่อ PEMDAS ได้ง่ายขึ้น วลีภาษาอังกฤษที่ได้รับความนิยมมากที่สุดคือ “Please Excuse My Dear Aunt Sally” ซึ่งเมื่อนำตัวอักษรแรกของแต่ละคำมารวมกัน คุณก็จะได้คำว่า PEMDAS คุณสามารถใช้วลีนี้ หรือจะคิดประโยคสนุก ๆ ของคุณเองก็ได้ ตัวอย่างเช่น “Purple Elves Make Dull Affordable Sausages!”