Rechner für quadratische Formeln

Rechner für quadratische Gleichungen: Die Mitternachtsformel anwenden

Dieser Rechner ist ein äußerst benutzerfreundliches und effizientes Tool zur Lösung quadratischer Gleichungen. In der Algebra bezeichnet man als quadratische Gleichung jede Gleichung, die sich in die folgende Standardform bringen lässt:

ax²+bx+c=0

wobei gilt:

a≠0

Um unseren Rechner für quadratische Gleichungen (oft auch als Mitternachtsformel-Rechner oder ABC-Formel-Rechner bezeichnet) zu nutzen, geben Sie einfach die Werte für A, B und C in die entsprechenden Felder ein und klicken Sie auf "Berechnen". Bitte beachten Sie, dass der Wert für A nicht null sein darf. Für B und C ist die Eingabe der Zahl Null hingegen absolut zulässig.

Der Rechner wendet die quadratische Formel an, um alle möglichen Lösungen – sowohl reelle als auch komplexe Nullstellen – für die von Ihnen eingegebene Gleichung zu ermitteln. Nach der Anwendung der Formel vereinfacht der Rechner zudem den resultierenden Wurzelausdruck, um Ihnen die Lösungen in ihrer übersichtlichsten und einfachsten Form zu präsentieren.

Quadratische Gleichungen mit der ABC-Formel lösen

Sie können prinzipiell jede quadratische Gleichung mit der sogenannten quadratischen Formel (ABC-Formel) lösen. Um diese Formel anzuwenden, müssen Sie die gegebene Gleichung zunächst in die Normalform bringen: ax²+bx+c=0. Anschließend lassen sich die Lösungen mit der folgenden Formel berechnen:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Der Ausdruck unter der Quadratwurzel, b²-4ac, wird in der Mathematik als Diskriminante bezeichnet. Anhand der Diskriminante können Sie sofort erkennen, wie viele und welche Art von Lösungen die Gleichung besitzt:

• Wenn die Diskriminante positiv ist, b²-4ac>0, besitzt die Gleichung zwei reelle Lösungen (Wurzeln).
• Wenn die Diskriminante negativ ist, b²-4ac<0, hat die Gleichung zwei komplexe Lösungen, da das Ziehen einer Quadratwurzel aus einer negativen Zahl in den Bereich der komplexen Zahlen führt.
• Wenn die Diskriminante exakt null ist, b²-4ac=0, hat die Gleichung genau eine (doppelte) reelle Lösung.

Unser Rechner zeigt Ihnen nicht nur die fertigen Lösungen der eingegebenen Gleichung, sondern auch den detaillierten Rechenweg an. Darüber hinaus berechnet das Tool den Wert der Diskriminante und gibt an, ob diese positiv, negativ oder gleich null ist.

Praktische Anwendungsbeispiele

Beispiel 1: Gleichung mit zwei reellen Lösungen

Wir wollen die folgende quadratische Gleichung lösen:

2x²+3x-2=0

In diesem Beispiel lauten die Parameter: a=2,b=3,c=-2.

Wenn wir diese Werte in die quadratische Formel einsetzen, erhalten wir:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Die Diskriminante dieser Gleichung ist positiv, b²-4ac=25>0. Daraus folgt, dass die Gleichung zwei reelle Lösungen besitzt.

Nun vereinfachen wir den resultierenden Wurzelausdruck:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ und\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ und\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ und\ \ \ x=-2$$

Als Endergebnis erhalten wir somit:

x=0,5

x=-2

Beispiel 2: Gleichung mit komplexen Lösungen

Lösen wir nun die folgende quadratische Gleichung:

x²+2x+5=0

In diesem Beispiel lauten die Parameter: a=1,b=2,c=5.

Setzen wir diese Werte in die quadratische Formel ein, ergibt sich:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Die Diskriminante dieser Gleichung ist negativ, b²-4ac=-16<0. Daher hat diese Gleichung zwei komplexe Lösungen.

Vereinfachen wir nun den Ausdruck:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Als Endergebnis erhalten wir:

x=-1+2i

x=-1-2i

Beispiel 3: Gleichung mit nur einer Lösung

Betrachten wir die folgende quadratische Gleichung:

3x²+6x+3=0

Hier lauten die Parameter: a=3,b=6,c=3.

Durch Einsetzen in die Formel erhalten wir:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Die Diskriminante dieser Gleichung ist exakt gleich Null, $(x₁\neq x₂)$ b²-4ac=0. Deshalb besitzt die Gleichung nur eine einzige (doppelte) Lösung.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Das Endergebnis lautet demnach:

x=-1

Herleitung der quadratischen Formel

Wie die obigen Beispiele zeigen, können Sie mit der ABC-Formel absolut jede quadratische Gleichung lösen – ganz gleich, ob die Diskriminante positiv, negativ oder null ist. Doch wie kommt man überhaupt auf diese Formel? Zu verstehen, wie sie hergeleitet wird, ist enorm hilfreich, falls Sie die Formel einmal vergessen sollten.

Der Beweis bzw. die Herleitung der quadratischen Formel ist relativ logisch aufgebaut und basiert auf dem mathematischen Verfahren der quadratischen Ergänzung. Um die allgemeine Lösungsformel aus der Standardgleichung ax²+bx+c=0 herzuleiten, gehen Sie in folgenden Schritten vor:

1. Ausgangspunkt ist unsere allgemeine Gleichung:

ax²+bx+c=0

Bringen Sie zunächst die Konstante C auf die rechte Seite der Gleichung:

ax²+bx=-c

2. Eliminieren Sie nun den Koeffizienten A vor dem quadratischen Term x². Dividieren Sie dazu die gesamte Gleichung durch A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Fügen Sie auf beiden Seiten der Gleichung die quadratische Ergänzung $(\frac{b}{2a})^2$ hinzu:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Die linke Seite der Gleichung hat nun die Form eines perfekten Binoms x²+2dx+d². Dieser Ausdruck kann mithilfe der ersten binomischen Formel kompakt als (x+d)² umgeschrieben werden.

In unserem Fall entspricht d dem Term:

$$\frac{b}{2a}$$

Daraus ergibt sich für die linke Seite:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Setzen wir dies nun in unsere bisherige Gleichung ein (die rechte Seite bleibt vorerst unverändert):

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Nun taucht die Variable x nur noch an einer einzigen Stelle in der Gleichung auf.

5. Ziehen Sie auf beiden Seiten der Gleichung die Quadratwurzel:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Bringen Sie den Term $\frac{b}{2a}$ auf die rechte Seite:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Erweitern und multiplizieren Sie die Terme unter der Wurzel so, dass sie denselben Nenner haben, indem Sie mit folgendem Ausdruck arbeiten:

$$\frac{2a}{2a}$$

Dies führt zu:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Vereinfachen Sie die Gleichung weiter:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Durch bloßes Umstellen der Terme unter der Wurzel erhalten wir schließlich die bekannte quadratische Formel:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Wissenswertes über quadratische Gleichungen

• Nach dem Satz von Vieta entspricht die Summe der beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung exakt dem Wert:

$$\frac{-b}{a}$$

Ist die Diskriminante b²-4ac gleich Null, können Sie die einzige Lösung der Gleichung auch ganz einfach über folgenden Bruch ermitteln:

$$\frac{-b}{2a}$$

• Das Produkt der beiden Lösungen einer quadratischen Gleichung ergibt immer:

$$\frac{c}{a}$$

• Der Begriff "quadratisch" leitet sich vom lateinischen Wort "quadratus" ab, was "Quadrat" bedeutet. Die Gleichung trägt diesen Namen, weil die höchste Potenz der Variablen die Zahl 2 ist – die Variable wird also "quadriert".

• Die quadratische Formel in ihrer Grundstruktur wurde bereits im Jahr 628 n. Chr. von dem indischen Mathematiker Brahmagupta dokumentiert. Er nutzte damals noch keine mathematischen Symbole, sondern beschrieb den Lösungsweg vollständig in Worten. Brahmagupta beschrieb jedoch nur eine der möglichen Lösungen und ließ das heute unverzichtbare ±-Zeichen vor der Quadratwurzel weg.

• Der Graph einer quadratischen Funktion der Form y=ax²+bx+c wird in der Geometrie als Parabel bezeichnet. Die Lösungen (oder Nullstellen) der quadratischen Gleichung entsprechen exakt den x-Koordinaten der Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet. Hat die Gleichung zwei reelle Lösungen, schneidet die Parabel die x-Achse an zwei Stellen. Gibt es nur eine Lösung, so berührt der Graph die x-Achse lediglich mit seinem Scheitelpunkt (dem Maximum oder Minimum der Parabel). Besitzt die Gleichung keine reellen Lösungen, so verläuft die Parabel komplett oberhalb oder unterhalb der x-Achse und schneidet diese nicht.

• Nähert sich der Koeffizient A des quadrierten Terms der Null, wird die Parabel immer flacher. Ist a=0, handelt es sich nicht mehr um eine quadratische, sondern um eine lineare Gleichung, und der Graph wird logischerweise zu einer geraden Linie!

• Der Parameter A bestimmt auch die Öffnung der Parabel: Ist a>0, ist die Parabel nach oben geöffnet (sie bildet eine Art "Tal"). Ist a<0, ist die Parabel nach unten geöffnet (sie bildet einen "Berg"). Wie bereits erwähnt: Bei a=0 ist die "Parabel" komplett flach und somit eine Gerade.

Quadratische Gleichungen sind in unzähligen Bereichen der Wissenschaft und Technik von elementarer Bedeutung. In der Physik werden sie beispielsweise täglich eingesetzt, um ballistische Flugbahnen, Wurfparabeln und die Bewegung von Projektilen mathematisch exakt zu beschreiben.