गणित समीकरण समाधानकर्ता

इस कैलकुलेटर का उपयोग 'ऑर्डर ऑफ ऑपरेशंस' (Order of Operations) या PEMDAS कैलकुलेटर के रूप में किया जा सकता है। यह PEMDAS नियम (एल्गोरिदम) का पालन करते हुए गणितीय समस्याओं को हल करता है, और संक्रियाओं (operations) को निम्न प्रकार से प्राथमिकता देता है:

• कोष्ठक, ब्रैकेट, समूहीकरण (Grouping)
• घातांक (Exponents) और मूल (Roots)
• गुणा, भाग
• जोड़, घटाव

इस्तेमाल के लिए निर्देश

इस PEMDAS सॉल्वर का उपयोग करने के लिए, निम्नलिखित प्रतीकों का उपयोग करके दिए गए समीकरण (equation) को दर्ज करें:

• "+" जोड़
• "-" घटाव
• "*" गुणा
• "/" भाग
• "^" की घात (Power) (जैसे, 12^2 का अर्थ है 12 की घात 2: 12² = 144। 49^(1/2) का अर्थ है 49 की घात 1/2: 49¹/² = 7)।
• "root"(x[n])
• आप कोष्ठक और समूहन (ग्रुपिंग) के लिए (), {}, [] का उपयोग कर सकते हैं।

अन्य स्रोतों से समीकरणों को कॉपी करना

आप इस इक्वेशन कैलकुलेटर (Equation Calculator) में अन्य स्रोतों से समीकरणों को आसानी से कॉपी और पेस्ट कर सकते हैं। आमतौर पर, यह कैलकुलेटर तब भी सटीक काम करेगा जब स्रोत फ़ाइल ऑपरेशंस के लिए अलग-अलग प्रतीकों का उपयोग करती हो, उदाहरण के लिए, * के बजाय × या / के बजाय ÷। हालाँकि, कुछ विशेष मामलों में, आपको उन प्रतीकों को इस कैलकुलेटर द्वारा पहचाने जाने वाले मानक प्रतीकों से बदलना पड़ सकता है।

भिन्नों के साथ काम करना

यह कैलकुलेटर भिन्नों (fractions) के साथ भी पूरी तरह से काम करता है। भिन्न दर्ज करने के लिए फ्रैक्शन बार / का उपयोग करें, और दी गई भिन्न को कोष्ठक में बंद करें। अन्यथा, 'ऑर्डर ऑफ ऑपरेशंस' के PEMDAS नियम के अनुसार आंशिक विभाजन किया जाएगा। उदाहरण के लिए, 25 की घात 1/2 के लिए 25^(1/2) दर्ज करें: 25^(1/2) = 5। यदि आप 25^1/2 दर्ज करते हैं, तो आपको उत्तर के रूप में 12.5 मिलेगा क्योंकि PEMDAS नियम का पालन करते हुए कैलकुलेटर 25^1/2 की व्याख्या (25^1)/2 = 25/2 = 12.5 के रूप में करेगा।

PEMDAS ऑपरेशंस का क्रम

यदि किसी गणितीय व्यंजक (expression) में केवल एक ही ऑपरेशन है, तो उत्तर आमतौर पर स्पष्ट होता है। उदाहरण के लिए, 12 + 4 = 16।

हालाँकि, यदि व्यंजक कुछ इस तरह हो तो आप क्या करेंगे: 3 × 4 – 4? आपको पहले कौन सा ऑपरेशन करना चाहिए? यदि आप पहले गुणा करते हैं, तो आपको 3 × 4 – 4 = 12 – 4 = 8 मिलेगा। लेकिन यदि आप पहले घटाव करते हैं, तो आपको एक अलग उत्तर मिलेगा: 3 × 4 – 4 = 3 × 0 = 0।

इस समस्या को हल करने के लिए, गणितज्ञ सभी ऑपरेशंस को एक प्राथमिकता देते हैं और हमेशा उन्हें एक विशिष्ट क्रम में हल करते हैं। इस क्रम को PEMDAS संक्षिप्ताक्षर (acronym) द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ P - कोष्ठक (Parentheses या Brackets), E - घातांक और वर्गमूल (Exponents & Roots), M - गुणा (Multiplication), D - भाग (Division), A - जोड़ (Addition), और S - घटाव (Subtraction) के लिए उपयोग किया जाता है।

ध्यान दें कि अलग-अलग देश अलग-अलग संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग करते हैं, लेकिन वे सभी ऑपरेशंस के समान क्रम का ही वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, BEDMAS का मतलब कोष्ठक, घातांक, भाग, गुणा, जोड़, घटाव है; GEMDAS समूहन (Grouping), घातांक, गुणा, भाग, जोड़, घटाव के लिए एक संक्षिप्त रूप है; BODMAS (बोडमास) का अर्थ है ब्रैकेट, ऑर्डर (Order), भाग, गुणा, जोड़, घटाव।

गुणा और भाग का क्रम

PEMDAS नियम में, गुणा और भाग समान प्राथमिकता वाले ऑपरेशंस हैं, जिसका अर्थ है कि वे हमेशा बाएँ से दाएँ (left to right) हल किए जाते हैं (जब तक कि उनमें से कोई एक कोष्ठक में न हो)। उदाहरण के लिए, 12/2 × 3 व्यंजक में, आप पहले 12 को 2 से भाग देकर 6 प्राप्त करेंगे, फिर 6 को 3 से गुणा करके 18 प्राप्त करेंगे।

यही कारण है कि कुछ संक्षिप्ताक्षरों में M (गुणा), D (भाग) से पहले आता है (जैसे PEMDAS), जबकि अन्य में D, M से पहले आता है (जैसे BODMAS)।

जोड़ और घटाव का क्रम

जोड़ और घटाव की भी समान प्राथमिकता होती है। व्यंजक में दिखाई देने पर इन ऑपरेशंस को बाएँ से दाएँ हल किया जाता है। उदाहरण के लिए, 10 - 7 + 3 व्यंजक में, आपको पहले घटाव (10 - 7 = 3) करना होगा, और फिर जोड़ (3 + 3 = 6) करना होगा। इसलिए, 10 - 7 + 3 = 6।

मूल (Roots) और घातांक (Exponents) का क्रम

जैसा कि ऊपर बताया गया है, गुणा और भाग, साथ ही जोड़ और घटाव के ऑपरेशंस बाएँ से दाएँ किए जाते हैं। इन ऑपरेशंस को 'लेफ्ट-एसोसिएटिव' (Left-associative) कहा जाता है। दूसरी ओर, वर्गमूल और घातांक 'राइट-एसोसिएटिव' (Right-associative) होते हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें दाएँ से बाएँ हल किया जाता है।

उदाहरण के लिए, आइए निम्नलिखित व्यंजक को हल करें: 2^3^1^2 या \$2^{3^{1^{2}}}\$।

घातांक एक राइट-एसोसिएटिव ऑपरेशन है, इसलिए हम दाएँ पक्ष से समाधान शुरू करते हैं।

हम पहले 1^2=1 की गणना करते हैं, फिर 3^1=3, और अंत में 2^3=8 की। इस क्रम को कभी-कभी "टॉप-डाउन ऑर्डर" (Top-down order) के रूप में भी वर्णित किया जाता है, जहाँ आप सबसे ऊपरी घातांक से शुरू करके "नीचे" की ओर आते हैं।

व्यंजक को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:

2^3^1^2 = 2^(3^(1^2) = 2^(3^1) = 2^3 = 8

$$2^{3^{1^{2}}} = 2^{3^{1}} = 2^{3} = 8$$

एकाधिक कोष्ठक (Multiple Parentheses)

जब किसी व्यंजक में एक से अधिक कोष्ठक (brackets) होते हैं, तो समाधान सबसे अंदर वाले कोष्ठक से शुरू होता है और बाहरी कोष्ठकों की ओर बढ़ता है। ध्यान दें कि यदि कोष्ठक के अंदर के व्यंजक में कई ऑपरेशंस हैं, तो वे भी PEMDAS क्रम का ही सख्ती से पालन करेंगे।

वास्तविक जीवन में उदाहरण

पहली नज़र में, ऑपरेशंस का क्रम केवल एक सख्त गणितीय अवधारणा लग सकता है। हालाँकि, हम अक्सर अपनी रोज़मर्रा की ज़िंदगी में बिना ध्यान दिए इसका उपयोग करते हैं! उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि आप दोस्तों के समूह के साथ पिज़्ज़ा ऑर्डर कर रहे हैं। मान लें कि आप $15 का एक पिज़्ज़ा मार्गेरिटा, $16.50 का एक पिज़्ज़ा क्वाट्रो फॉर्मागी और $14.50 का एक नीपोलिटन पिज़्ज़ा ऑर्डर करते हैं। आप 8 लोगों का समूह हैं, और आपको यह हिसाब लगाना है कि आप में से प्रत्येक को कितने पैसे देने होंगे।

(15 + 16.50 + 14.50)/8 = (31.50 + 14.50)/8 = (46)/8 = 46/8 = 5.75

आप में से प्रत्येक को $5.75 का भुगतान करना होगा।

संक्षिप्ताक्षर को याद रखना

PEMDAS संक्षिप्ताक्षर को याद रखने के लिए अंग्रेजी में कई वाक्यांशों का उपयोग किया जाता है, जिनमें से सबसे आम है "Please Excuse My Dear Aunt Sally" (प्लीज़ एक्सक्यूज़ माय डियर आंट सैली)। प्रत्येक शब्द का पहला अक्षर लेने पर आपको PEMDAS प्राप्त होगा। आप इस वाक्यांश का उपयोग कर सकते हैं, या अपना खुद का कोई मज़ेदार वाक्यांश बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, "Purple Elves Make Dull Affordable Sausages!" (पर्पल एल्वेस मेक डल अफोर्डेबल सॉसेजेस!)।