Calculateur binaire

Ce calculateur peut être utilisée pour effectuer divers types d'opérations avec des nombres binaires. Il combine un calculateur d'addition binaire, un calculateur de soustraction binaire, un calculateur de division binaire, un calculateur de multiplication binaire et un calculateur de conversion binaire. Le calculateur de conversion binaire peut convertir des valeurs binaires en valeurs décimales et vice versa.

Mode d'emploi

Calculs binaires

Vous pouvez utiliser la première partie du calculateur pour effectuer des calculs binaires - addition, soustraction, division ou multiplication de deux nombres binaires. Pour effectuer un calcul, saisissez les nombres binaires désirés et choisissez le signe de l'opération mathématique pertinent (+, -, ×, ÷). Appuyez ensuite sur "Calculer". Le calculateur affichera le résultat en valeurs binaires, ainsi qu'en valeurs décimales.

Convertir une valeur binaire en valeur décimale

Pour convertir une valeur binaire en une valeur décimale, utilisez la deuxième partie du calculateur. Saisissez la valeur binaire désirée et appuyez sur "Calculer".

Convertir une valeur décimale en valeur binaire

Utilisez la troisième partie du calculateur pour effectuer une conversion décimale en binaire. Saisissez la valeur décimale désirée et appuyez sur "Calculer". Dans chaque sous-section du calculateur, vous pouvez appuyez sur "Effacer" pour effacer tous les champs. Toutes les parties du calculateur fonctionnent uniquement avec des nombres entiers.

Nombres binaires

Un nombre binaire se compose uniquement de uns et de zéros, par exemple 10001110101010 est un nombre binaire. Un système de numération binaire est parfois appelé un système de numération en base 2, donc un calculateur binaire est un calculateur en base 2.

Un nombre binaire dans le système de base 2 est formé de la même manière qu'un nombre décimal est formé dans le système de base 10 "normal". Dans le système de numération décimale, on compte 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 … puis on revient à 0 mais en ajoutant un 1 devant, obtenant ainsi 10. Dans le système binaire, on fait la même chose, mais on atteint 10 beaucoup plus tôt. On compte 0, 1… et maintenant on n'a plus de chiffres, donc on passe tout de suite à 10.

Par conséquent, 2 en décimal est égal à 10 en binaire. Pour écrire 3 en binaire, on continue de 10 à 11. Mais pour écrire 4, il faut aller jusqu'à 00 en ajoutant 1 devant. Par conséquent, 4 en décimal est égal à 100 en binaire. Les équivalents décimal-binaires de certains nombres sont présentés dans le tableau ci-dessous.

Décimal	Binaire
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110

Notez que, tout comme dans le système de numération décimale, l'ajout de zéros devant le nombre ne modifie pas la valeur. Par exemple, écrire 6 comme 06 serait techniquement correct. De même, en binaire 6 peut être écrit comme 110 ou 0110.

Conversions binaires

Conversion de nombres décimaux en nombres binaires

La façon la plus simple de convertir un nombre décimal en un nombre binaire est de diviser continuellement le nombre décimal donné par 2, et de noter les restes. Une fois que vous obtenez 0 comme quotient, écrivez tous les restes dans l'ordre inverse, pour obtenir le nombre binaire. Par exemple, convertissons 17 en un nombre binaire :

1. 17 ÷ 2 = 8 R1
2. 8 ÷ 2 = 4 R0
3. 4 ÷ 2 = 2 R0
4. 2 ÷ 2 = 1 R0
5. 1 ÷ 2 = 0 R1

En écrivant tous les restes dans l'ordre inverse, nous obtiendrons le nombre suivant : 10001. 17₁₀ = 10001₂. (Notez que l'ordre du système numéraire est ajouté en indice après le nombre).

Conversion de nombres binaires en nombres décimaux

Pour convertir une valeur binaire en une valeur décimale, suivez les étapes ci-dessous. Pour plus de clarté, les étapes comprendront un exemple de conversion. Convertissons 100101₂ en un nombre décimal.

1. Commencez par le chiffre le plus à gauche du nombre binaire. Multipliez le nombre obtenu à l'étape précédente par 2 et ajoutez le chiffre actuel. Dans l'exemple de 100101, le chiffre le plus à gauche est 1. Nous n'avions pas encore d'étape précédente, donc le nombre précédent est 0 : (0 × 2) + 1 = 0 + 1 = 1.
2. Répétez l'étape 1 pour le deuxième chiffre. Dans l'exemple de 100101, le deuxième chiffre à partir de la gauche est 0. Le nombre de l'étape précédente est 1. (1 × 2) + 0 = 2.
3. Répétez l'étape 1 pour chaque chiffre consécutif. La somme finale sera la représentation décimale du nombre binaire donné.

1	(0 × 2) + 1 = 1	1
0	(1 × 2) + 0 = 2	2
0	(2 × 2) + 0 = 4	4
1	(4 × 2) + 1 = 9	9
0	(9 × 2) + 0 = 18	18
1	(18 × 2) + 1 = 37	37

Ainsi : 100101₂ = 37₁₀

Calculs binaires

Addition binaire

Les règles d'addition dans le système binaire sont équivalentes aux règles d'addition dans le système décimal. La seule différence est que le nombre est porté au chiffre suivant déjà lorsque la somme atteint 2 (par opposition à 10 dans le système décimal). Les règles de l'addition binaire sont :

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0, et 1 est reporté.

Par exemple,

1001 + 1011 = 10100

Soustraction binaire

La soustraction binaire suit également les règles de la soustraction décimale, la retenue au chiffre d'ordre suivant se produisant lorsque 1 est soustrait de 1. Les règles de la soustraction binaire sont :

• 0 – 0 = 0
• 1 – 0 = 1
• 1 – 1 = 0
• 0 – 1 = 1, 1 est retenu.

Lorsque vous retenez un nombre au chiffre d'ordre suivant, il devient essentiellement 2 pour le chiffre en question, et 2 - 1 = 1. Par exemple :

1100 – 1001 = 0011 = 11

Dans cet exemple, nous ne pouvons pas retenir 1 au chiffre d'ordre suivant, nous devons donc sauter un chiffre plus loin. Ensuite, le deuxième chiffre à droite devient essentiellement 2, et lorsque nous le retenons, il se réduit à 1. Les chiffres bleus sur l'image représentent les changements de chiffres lors de la retenue.

Multiplication binaire

Les règles de la multiplication binaire sont :

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Par exemple,

Division binaire

La division binaire suit les mêmes règles que la division longue pour les nombres décimaux. Comme dans le système décimal, dans le système numéraire binaire, la division par 0 ne peut pas être effectuée. Les règles de la division binaire sont :

• 0 ÷ 0 ne peut pas être exécuté
• 0 ÷ 1 = 0
• 1 ÷ 0 ne peut pas être exécuté
• 1 ÷ 1 = 1

Par exemple, 1111 ÷ 10 = 111 R1 :

La Brève Histoire des Nombres Binaires

L'histoire des nombres binaires est un voyage fascinant qui entremêle les mathématiques, la philosophie et l'évolution de l'informatique moderne. Remontant à la fin du XVIIe siècle, le système binaire a été conceptualisé pour la première fois par le mathématicien et philosophe allemand Gottfried Wilhelm Leibniz. Dans son manuscrit "Explication de l'arithmétique binaire", Leibniz a proposé un système utilisant seulement deux chiffres, 0 et 1, pour représenter les nombres. Ce système binaire, bien qu'étant un développement mathématique significatif, n'a pas immédiatement acquis une reconnaissance ou une application généralisées.

Malgré son introduction précoce, l'utilisation pratique des nombres binaires a mis des siècles à évoluer. Ce n'est qu'au XIXe siècle que des avancées significatives ont été réalisées, en grande partie grâce aux travaux de George Boole. Boole, mathématicien anglais, a développé une forme d'algèbre qui a jeté les bases de ce qui deviendrait connu sous le nom d'algèbre booléenne. Cette algèbre utilisait des variables binaires et est devenue un composant crucial dans le développement des circuits électroniques et de la logique numérique.

La véritable percée pour les nombres binaires est survenue avec l'avènement de l'informatique électronique au XXe siècle. Le développement des premiers ordinateurs électroniques dans les années 1940 et 1950, tels que l'Electronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC) et l'Universal Automatic Computer (UNIVAC), a marqué un tournant décisif. Ces premiers ordinateurs utilisaient des nombres binaires pour le traitement et le stockage des données, établissant le système binaire comme une partie intégrante de la technologie informatique.

Un autre jalon dans l'histoire des nombres binaires a été le développement de l'Atanasoff-Berry Computer (ABC) par John Atanasoff et Clifford Berry à la fin des années 1930. L'ABC figurait parmi les premiers ordinateurs électroniques à utiliser des chiffres binaires pour le calcul, bien qu'il ne fût pas un ordinateur numérique entièrement fonctionnel au sens moderne.

Alors que le domaine de l'informatique s'étendait rapidement, l'utilisation des nombres binaires est devenue omniprésente dans la technologie numérique. Aujourd'hui, les nombres binaires sont les éléments fondamentaux des systèmes numériques, des calculatrices les plus simples aux superordinateurs les plus complexes. Ils sont intégraux dans diverses applications, y compris le codage des données, les télécommunications et le traitement des signaux numériques.

Le parcours depuis les travaux théoriques précoces de Leibniz jusqu'à l'application pratique généralisée des nombres binaires dans la technologie moderne témoigne de l'impact durable de ce système numérique simple mais puissant. Le système binaire, avec sa capacité à représenter des données et des instructions complexes en utilisant seulement deux symboles, continue d'être une pierre angulaire de la technologie numérique, façonnant la façon dont nous calculons, communiquons et interagissons avec le monde numérique.

Applications réelles

Les nombres binaires sont utilisés non seulement en informatique et en technologie, mais trouvent également une application pratique dans divers domaines de la vie humaine.

La mémoire de l'ordinateur est constituée de transistors, qui sont soit en état « activé », soit en état « désactivé ». Dans un système binaire, "On" est représenté par le chiffre 1 et "Off" est représenté par le chiffre 0. Cela permet de stocker des données en code binaire, où chaque état "On" ou "Fff" représente un 1 ou 0 dans une chaîne de chiffres binaires. Par exemple, une chaîne de huit chiffres binaires, telle que "01101001", représente la lettre "i" dans le code ASCII de l'ordinateur.

Chaque pixel d'une image numérique peut être représenté par une combinaison de chiffres binaires qui représente l'intensité d'une couleur spécifique (rouge, vert, bleu). Dans le modèle de couleur RVB, la couleur blanche peut être représentée par la valeur binaire "111" (7 en décimal), ce qui signifie que les trois canaux de couleur (rouge, vert et bleu) sont à leur intensité maximale. De même, la couleur noire peut être représentée par la valeur binaire "000" (0 en décimal), ce qui signifie que les trois canaux de couleur sont à leur intensité minimale.

Dans le domaine de la communication numérique, les données peuvent être transmises via un canal en mappant chaque caractère d'un message sur des chiffres binaires, puis en l'envoyant sous la forme d'un flux de bits. Le récepteur décode alors les bits pour lire le message d'origine.

Les appareils numériques tels que les ordinateurs, les smartphones et les téléviseurs utilisent un code binaire pour représenter les données et effectuer des calculs. Cela leur permet de traiter et de stocker efficacement de grandes quantités d'informations.

Les nombres binaires sont utilisés dans la télécommunication. Le code binaire transmet des données sur de longues distances via les lignes téléphoniques, le câble et le satellite. Cela permet une communication plus rapide et plus efficace, ce qui nous permet de rester connectés à travers le monde entier.

Les nombres binaires sont à la base des machines automatisées telles que les robots et les machines CNC dans l’industrie. Ces machines utilisent un code binaire pour interpréter les instructions, leur permettant d'effectuer des tâches précises telles que le perçage, la découpe et le soudage.

Les nombres binaires sont également utilisés dans le domaine de la médecine. Les équipements médicaux tels que les tomodensitomètres, les IRM et les appareils à rayons X utilisent un code binaire pour traiter et analyser les images médicales.

Les nombres binaires sont également utilisés dans le domaine du transport. Les voitures modernes utilisent un code binaire pour contrôler diverses fonctions telles que la gestion du moteur, la climatisation et la navigation.

Le concept de nombres binaires, introduit pour la première fois par Leibniz, est devenu un élément essentiel de notre vie quotidienne. Aujourd'hui, l'utilisation des nombres binaires est essentielle au fonctionnement de nombreuses technologies modernes et continue de jouer un rôle essentiel dans le développement des nouvelles technologies.