Kalkulator Binarny

Ten kalkulator może być używany do wykonywania różnych rodzajów operacji z liczbami binarnymi. Łączy on kalkulator dodawania binarnego, kalkulator odejmowania binarnego, kalkulator dzielenia binarnego, kalkulator mnożenia binarnego oraz kalkulator konwersji binarnej. Kalkulator konwersji binarnej może konwertować wartości binarne na wartości dziesiętne i odwrotnie.

Instrukcje użytkowania

Obliczenia Binarny

Użyj pierwszej części kalkulatora do przeprowadzania obliczeń binarnych – dodawania, odejmowania, dzielenia lub mnożenia dwóch liczb binarnych. Aby wykonać obliczenie, wprowadź podane liczby binarne i wybierz znak potrzebnej operacji matematycznej (+, -, ×, ÷). Następnie naciśnij "Oblicz". Kalkulator wyświetli wynik w wartościach binarnych, jak również w wartościach dziesiętnych.

Konwertuj Wartość Binarną na Wartość Dziesiętną

Aby przekonwertować wartość binarną na wartość dziesiętną, użyj drugiej części kalkulatora. Po prostu wprowadź podaną wartość binarną i naciśnij "Oblicz".

Konwertuj Wartość Dziesiętną na Wartość Binarną

Użyj trzeciej części kalkulatora do przeprowadzenia konwersji z dziesiętnej na binarną. Wprowadź podaną wartość dziesiętną i naciśnij "Oblicz". Wszystkie części kalkulatora pracują z liczbami całkowitymi.

Liczby Binarny

Liczba binarna składa się wyłącznie z jedynek i zer, na przykład 10001110101010 byłaby liczbą binarną. System liczbowy binarny nazywany jest czasami systemem liczbowym o podstawie 2, więc kalkulator binarny jest kalkulatorem o podstawie 2.

Liczba binarna w systemie o podstawie 2 jest tworzona w ten sam sposób, w jaki liczba dziesiętna jest tworzona w "normalnym" systemie liczbowym o podstawie 10. W systemie dziesiętnym liczymy 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... a potem wracamy do 0, ale dodajemy 1 przed nim, uzyskując 10. W systemie binarnym robimy to samo, ale osiągamy 10 znacznie szybciej. Liczymy 0, 1 ... i teraz nie mamy już więcej cyfr, więc od razu przechodzimy do 10.

Dlatego 2 w systemie dziesiętnym równa się 10 w systemie binarnym. Aby zapisać 3 w systemie binarnym, kontynuujemy od 10 do 11. Ale aby zapisać 4, musimy przejść do 00, dodając 1 przed nim. Dlatego 4 w systemie dziesiętnym równa się 100 w systemie binarnym. Odpowiedniki dziesiętne-binarny niektórych liczb przedstawiono w poniższej tabeli.

Dziesiętny	Binarny
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110

Należy zauważyć, że tak jak w systemie liczbowym dziesiętnym, dodawanie zer przed liczbą nie zmienia jej wartości. Na przykład, zapisanie 6 jako 06 byłoby technicznie poprawne. Podobnie w systemie binarnym 6 można zapisać jako 110 lub 0110.

Konwersje Binarny

Konwersja liczb dziesiętnych na liczby binarne

Najprostszym sposobem na przekonwertowanie liczby dziesiętnej na liczbę binarną jest ciągłe dzielenie podanej liczby dziesiętnej przez 2 i zapisywanie reszt. Gdy otrzymasz 0 jako iloraz, zapisz wszystkie reszty w odwrotnej kolejności, aby uzyskać liczbę binarną. Na przykład, przekształćmy 17 na liczbę binarną:

1. 17 ÷ 2 = 8 R1
2. 8 ÷ 2 = 4 R0
3. 4 ÷ 2 = 2 R0
4. 2 ÷ 2 = 1 R0
5. 1 ÷ 2 = 0 R1

Zapisując wszystkie reszty w odwrotnej kolejności, otrzymamy następującą liczbę: 10001. 17₁₀ = 10001₂. (Zauważ, jak kolejność systemu liczbowego jest dodawana jako indeks dolny za liczbą).

Konwersja liczb binarnych na dziesiętne

Aby przekonwertować wartość binarną na wartość dziesiętną, postępuj zgodnie z poniższymi krokami. Dla jasności, kroki będą zawierały przykład konwersji. Przekształćmy 100101₂ na liczbę dziesiętną.

1. Zacznij od najbardziej lewego cyfry liczby binarnej. Pomnóż liczbę uzyskaną w poprzednim kroku przez 2 i dodaj bieżącą cyfrę. W przykładzie 100101 najbardziej lewą cyfrą jest 1. Nie mieliśmy jeszcze żadnego poprzedniego kroku, więc poprzednia liczba to 0: (0 × 2) + 1 = 0 + 1 = 1.
2. Powtórz krok 1 dla drugiej cyfry. W przykładzie 100101 druga cyfra od lewej to 0. Liczba z poprzedniego kroku to 1. (1 × 2) + 0 = 2.
3. Powtórz krok 1 dla każdej kolejnej cyfry. Końcowa suma będzie reprezentacją dziesiętną podanej liczby binarnej.

1	(0 × 2) + 1 = 1	1
0	(1 × 2) + 0 = 2	2
0	(2 × 2) + 0 = 4	4
1	(4 × 2) + 1 = 9	9
0	(9 × 2) + 0 = 18	18
1	(18 × 2) + 1 = 37	37

W końcu 100101₂ = 37₁₀

Obliczenia Binarny

Dodawanie Binarny

Reguły dodawania w systemie binarnym są równoważne regułom dodawania w systemie dziesiętnym. Jedyna różnica polega na tym, że liczba jest przenoszona na następną cyfrę już przy sumie 2 (w przeciwieństwie do 10 w systemie dziesiętnym). Reguły dodawania binarnego to:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0, i 1 jest przenoszona.

Na przykład,

1001 + 1011 = 10100

Odejmowanie Binarny

Odejmowanie binarne również podąża za regułami odejmowania dziesiętnego, z pożyczaniem z cyfry wyższego rzędu występującym, gdy trzeba odjąć 1 od 1. Reguły odejmowania binarnego to:

• 0 – 0 = 0
• 1 – 0 = 1
• 1 – 1 = 0
• 0 – 1 = 1, 1 jest pożyczana.

Gdy pożyczasz liczbę z cyfry wyższego rzędu, w istocie staje się ona 2 dla danej cyfry, a 2 – 1 = 1. Na przykład,

1100 – 1001 = 0011 = 11

W tym przykładzie nie możemy pożyczyć 1 z cyfry wyższego rzędu, więc musimy przeskoczyć o jedną cyfrę dalej. Wtedy cyfra druga od prawej staje się w istocie 2, a gdy pożyczamy z niej, zmniejsza się do 1. Niebieskie cyfry na obrazku reprezentują zmiany cyfr podczas pożyczania.

Mnożenie Binarny

Reguły mnożenia binarnego to:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Na przykład,

Dzielenie Binarny

Dzielenie binarne podąża za tymi samymi zasadami co długie dzielenie w systemie dziesiętnym. Podobnie jak w systemie dziesiętnym, w systemie binarnym nie można wykonać dzielenia przez 0. Zasady dzielenia binarnego to:

• 0 ÷ 0 nie można wykonać
• 0 ÷ 1 = 0
• 1 ÷ 0 nie można wykonać
• 1 ÷ 1 = 1

Na przykład, 1111 ÷ 10 = 111 R1:

Krótka Historia Liczb Binarnych

Historia liczb binarnych to fascynująca podróż, która łączy matematykę, filozofię i rozwój nowoczesnego komputingu. Sięgając końca XVII wieku, system binarny został po raz pierwszy skonceptualizowany przez niemieckiego matematyka i filozofa Gottfrieda Wilhelma Leibniza. W swoim manuskrypcie "Wyjaśnienie arytmetyki binarnej" Leibniz zaproponował system, który używał tylko dwóch cyfr, 0 i 1, do reprezentowania liczb. Ten system binarny, będąc znaczącym rozwojem matematycznym, nie zyskał od razu szerokiego uznania czy zastosowania.

Pomimo wczesnego wprowadzenia, praktyczne zastosowanie liczb binarnych ewoluowało przez wieki. Dopiero w XIX wieku nastąpiły znaczące postępy, w dużej mierze przypisywane pracy George'a Boole'a. Boole, angielski matematyk, opracował formę algebry, która położyła podstawy pod to, co stało się znane jako algebra Boole'a. Ta algebra używała zmiennych binarnych i stała się kluczowym składnikiem w rozwoju elektronicznych obwodów i logiki cyfrowej.

Prawdziwy przełom dla liczb binarnych nastąpił z nadejściem elektronicznego komputingu w XX wieku. Rozwój pierwszych komputerów elektronicznych w latach 40. i 50., takich jak Electronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC) i Universal Automatic Computer (UNIVAC), oznaczał przełomowy moment. Te wczesne komputery wykorzystywały liczby binarne do przetwarzania i przechowywania danych, ustanawiając system binarny jako integralną część technologii komputerowej.

Kolejnym kamieniem milowym w historii liczb binarnych był komputer Atanasoff-Berry (ABC), opracowany przez Johna Atanasoffa i Clifforda Berry'ego pod koniec lat 30. ABC był jednym z pierwszych elektronicznych komputerów wykorzystujących cyfry binarne do obliczeń, choć nie był w pełni funkcjonalnym komputerem cyfrowym w nowoczesnym sensie.

W miarę szybkiego rozwoju dziedziny komputerów, stosowanie liczb binarnych stało się wszechobecne w technologii cyfrowej. Dzisiaj liczby binarne są fundamentalnymi elementami cyfrowych systemów, od najprostszych kalkulatorów po najbardziej złożone superkomputery. Są nieodłączne w różnych zastosowaniach, w tym kodowaniu danych, telekomunikacji i przetwarzaniu sygnałów cyfrowych.

Podróż od wczesnych teoretycznych prac Leibniza do powszechnego praktycznego zastosowania liczb binarnych w nowoczesnej technologii to świadectwo trwałego wpływu tego prostego, a jednak potężnego systemu liczbowego. System binarny, z jego zdolnością do reprezentowania złożonych danych i instrukcji przy użyciu tylko dwóch symboli, nadal jest kamieniem węgielnym technologii cyfrowej, kształtując sposób, w jaki obliczamy, komunikujemy się i wchodzimy w interakcję ze światem cyfrowym.

Zastosowania w życiu codziennym

Liczby binarne są wykorzystywane nie tylko w informatyce i technologii, ale znajdują również rzeczywiste zastosowanie w różnych innych obszarach działalności ludzkiej.

Pamięć komputerowa składa się z tranzystorów, które mogą być w stanie "włączonym" lub "wyłączonym". W systemie binarnym "włączony" reprezentowany jest przez liczbę 1, a "wyłączony" przez liczbę 0. Pozwala to na przechowywanie danych w kodzie binarnym, gdzie każdy stan "włączony" lub "wyłączony" reprezentuje 1 lub 0 w ciągu cyfr binarnych. Na przykład ciąg ośmiu cyfr binarnych, taki jak "01101001," może reprezentować literę "i" w kodzie ASCII komputera.

Każdy piksel w obrazie cyfrowym może być reprezentowany przez kombinację cyfr binarnych, które reprezentują intensywność określonego koloru (czerwony, zielony, niebieski). W modelu kolorów RGB kolor biały można przedstawić wartością binarną "111" (7 w systemie dziesiętnym), co oznacza, że wszystkie trzy kanały kolorów (czerwony, zielony i niebieski) są na maksymalnym poziomie intensywności. Podobnie kolor czarny może być reprezentowany przez wartość binarną "000" (0 w systemie dziesiętnym), co oznacza, że wszystkie trzy kanały kolorów są na minimalnym poziomie intensywności.

W dziedzinie komunikacji cyfrowej dane mogą być przesyłane przez kanał poprzez mapowanie każdego znaku wiadomości na cyfry binarne, a następnie wysyłanie ich jako strumień bitów. Odbiorca może następnie odkodować bity z powrotem na oryginalną wiadomość.

Cyfrowe urządzenia takie jak komputery, smartfony i telewizory wykorzystują kod binarny do reprezentowania danych i wykonywania obliczeń. Pozwala im to na przetwarzanie i przechowywanie dużych ilości informacji w sposób efektywny.

Liczby binarne są wykorzystywane w telekomunikacji. Kod binarny przesyła dane na duże odległości przez linie telefoniczne, kable i satelity. Umożliwia to szybszą i bardziej efektywną komunikację, pozwalając nam być połączonymi na całym świecie.

Liczby binarne sterują zautomatyzowanymi maszynami, takimi jak roboty i maszyny CNC w produkcji. Te maszyny używają kodu binarnego do interpretacji instrukcji, co pozwala im na wykonywanie precyzyjnych zadań, takich jak wiercenie, cięcie i spawanie.

Liczby binarne są również wykorzystywane w dziedzinie medycyny. Sprzęt medyczny, taki jak skanery CT, MRI i aparaty rentgenowskie, używa kodu binarnego do przetwarzania i analizowania obrazów medycznych.

Liczby binarne są również używane w dziedzinie transportu. Nowoczesne samochody wykorzystują kod binarny do sterowania różnymi funkcjami, takimi jak zarządzanie silnikiem, klimatyzacja i nawigacja.

Koncepcja liczb binarnych, po raz pierwszy wprowadzona przez Leibniza, stała się nieodłączną częścią naszego codziennego życia. Dzisiaj stosowanie liczb binarnych jest niezbędne do funkcjonowania nowoczesnej technologii i nadal odgrywa kluczową rolę w rozwoju nowych technologii.