Binaire Rekenmachine

Deze rekenmachine kan worden gebruikt voor het uitvoeren van verschillende soorten bewerkingen met binaire getallen. Het combineert een binaire optelrekenmachine, binaire aftrekrekenmachine, binaire deelrekenmachine, binaire vermenigvuldigingsrekenmachine en binaire conversierekenmachine. De binaire conversierekenmachine kan binaire waarden omzetten naar decimale waarden en omgekeerd.

Gebruiksaanwijzing

Binaire Berekeningen

Gebruik het eerste deel van de rekenmachine om binaire berekeningen uit te voeren - optellen, aftrekken, delen of vermenigvuldigen van twee binaire getallen. Voer de gegeven binaire getallen in en kies het teken van de benodigde wiskundige bewerking (+, -, ×, ÷). Druk vervolgens op “Bereken.” De rekenmachine zal het resultaat in binaire waarden weergeven, evenals in decimale waarden.

Converteer Binaire Waarde naar Decimale Waarde

Om een binaire waarde om te zetten naar een decimale waarde, gebruik je het tweede deel van de rekenmachine. Voer gewoon de gegeven binaire waarde in en druk op “Bereken.”

Converteer Decimale Waarde naar Binaire Waarde

Gebruik het derde deel van de rekenmachine om decimaal naar binair om te zetten. Voer de gegeven decimale waarde in en druk op “Bereken.” Alle delen van de rekenmachine werken met hele getallen.

Binaire getallen

Een binair getal bestaat alleen uit enen en nullen, bijvoorbeeld 10001110101010 zou een binair getal zijn. Een binair getalsysteem wordt soms een basis-2 getalsysteem genoemd, dus een binaire rekenmachine is een basis 2 rekenmachine.

Een binair getal in het basis 2-systeem wordt op dezelfde manier gevormd als een decimaal getal in het "normale" basis 10-systeem. In het decimale getallenstelsel tellen we 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... en dan gaan we terug naar 0, maar voegen een 1 ervoor toe, waardoor we 10 krijgen. In het binaire systeem doen we hetzelfde, maar we bereiken 10 veel sneller. We tellen 0, 1 ... en nu hebben we geen cijfers meer, dus gaan we meteen naar 10.

Daarom is 2 in decimaal gelijk aan 10 in binair. Om 3 in binair te schrijven, gaan we verder van 10 naar 11. Maar om 4 te schrijven, moeten we naar 00 gaan, met 1 ervoor. Daarom is 4 in decimaal gelijk aan 100 in binair. De decimaal-binaire equivalenten van enkele getallen worden hieronder in de tabel gepresenteerd.

Decimaal	Binair
0	0
1	1
2	10
3	11
4	100
5	101
6	110

Let op, net als in het decimale getalsysteem, verandert het toevoegen van nullen voor het getal de waarde niet. Bijvoorbeeld, 6 schrijven als 06 zou technisch correct zijn. Op dezelfde manier kan in binair 6 worden geschreven als 110 of 0110.

Binaire conversies

Decimale getallen omzetten naar binaire getallen

De eenvoudigste manier om een decimaal getal om te zetten naar een binair getal is door het gegeven decimale getal continu te delen door 2, en de resten te noteren. Zodra je 0 als quotiënt krijgt, schrijf je alle resten in omgekeerde volgorde op, om het binaire getal te krijgen. Bijvoorbeeld, laten we 17 omzetten naar een binair getal:

1. 17 ÷ 2 = 8 R1
2. 8 ÷ 2 = 4 R0
3. 4 ÷ 2 = 2 R0
4. 2 ÷ 2 = 1 R0
5. 1 ÷ 2 = 0 R1

Door alle resten in omgekeerde volgorde op te schrijven, krijgen we het volgende getal: 10001. 17₁₀ = 10001₂. (Let op, hoe de orde van het getalsysteem als subscript achter het getal wordt toegevoegd).

Omzetten van binaire getallen naar decimale getallen

Om een binaire waarde om te zetten naar een decimale waarde, volg de onderstaande stappen. Voor de duidelijkheid zullen de stappen een conversievoorbeeld bevatten. Laten we 100101₂ omzetten naar een decimaal getal.

1. Begin met het meest linker cijfer van het binaire getal. Vermenigvuldig het getal dat in de vorige stap is verkregen met 2 en tel het huidige cijfer erbij op. In het voorbeeld van 100101 is het meest linker cijfer 1. We hadden nog geen vorige stap, dus het vorige getal is 0: (0 × 2) + 1 = 0 + 1 = 1.
2. Herhaal stap 1 voor het tweede cijfer. In het voorbeeld van 100101 is het tweede cijfer van links 0. Het getal van de vorige stap is 1. (1 × 2) + 0 = 2.
3. Herhaal stap 1 voor elk opeenvolgend cijfer. De uiteindelijke som zal de decimale representatie van het gegeven binaire getal zijn.

1	(0 × 2) + 1 = 1	1
0	(1 × 2) + 0 = 2	2
0	(2 × 2) + 0 = 4	4
1	(4 × 2) + 1 = 9	9
0	(9 × 2) + 0 = 18	18
1	(18 × 2) + 1 = 37	37

Uiteindelijk is 100101₂ = 37₁₀

Binaire Berekeningen

Binaire optelling

De optellingsregels in het binaire systeem zijn gelijk aan de optellingsregels in het decimale systeem. Het enige verschil is dat het getal al wordt overgedragen naar het volgende cijfer wanneer de som 2 bereikt (in tegenstelling tot 10 in het decimale systeem). De regels van binaire optelling zijn:

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 0, en 1 wordt overgedragen.

Bijvoorbeeld,

1001 + 1011 = 10100

Binaire aftrekking

Binaire aftrekking volgt ook de regels van decimale aftrekking, met het lenen van het volgende hogere cijfer wanneer 1 van 1 moet worden afgetrokken. De regels van binaire aftrekking zijn:

• 0 – 0 = 0
• 1 – 0 = 1
• 1 – 1 = 0
• 0 – 1 = 1, 1 wordt geleend.

Wanneer je een getal leent van het volgende hogere cijfer, wordt het in wezen 2 voor het betreffende cijfer, en 2 – 1 = 1. Bijvoorbeeld,

1100 – 1001 = 0011 = 11

In dit voorbeeld kunnen we geen 1 lenen van het volgende hogere cijfer, dus moeten we een cijfer verder springen. Dan wordt het op een na rechter cijfer in wezen 2, en als we ervan lenen, vermindert het tot 1. De blauwe getallen op de afbeelding vertegenwoordigen cijferveranderingen bij het lenen.

Binaire vermenigvuldiging

De regels voor binaire vermenigvuldiging zijn:

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Bijvoorbeeld,

Binaire deling

Binaire deling volgt dezelfde regels als lange deling voor decimale getallen. Net als in het decimale systeem, kan in het binaire getallenstelsel delen door 0 niet worden uitgevoerd. De regels voor binaire deling zijn:

• 0 ÷ 0 kan niet worden uitgevoerd
• 0 ÷ 1 = 0
• 1 ÷ 0 kan niet worden uitgevoerd
• 1 ÷ 1 = 1

Bijvoorbeeld, 1111 ÷ 10 = 111 R1:

De Korte Geschiedenis van Binaire Getallen

De geschiedenis van binaire getallen is een fascinerende reis die wiskunde, filosofie en de evolutie van moderne computing met elkaar verweeft. Daterend uit de late 17e eeuw, werd het binaire systeem voor het eerst geconceptualiseerd door de Duitse wiskundige en filosoof Gottfried Wilhelm Leibniz. In zijn manuscript "Uitleg van de Binaire Rekenkunde" stelde Leibniz een systeem voor dat slechts twee cijfers, 0 en 1, gebruikte om getallen voor te stellen. Dit binaire systeem, hoewel een belangrijke wiskundige ontwikkeling, kreeg niet onmiddellijk brede erkenning of toepassing.

Ondanks de vroege introductie, duurde het eeuwen voordat binaire getallen praktisch gebruikt werden. Pas in de 19e eeuw werden belangrijke vooruitgangen geboekt, grotendeels toe te schrijven aan het werk van George Boole. Boole, een Engelse wiskundige, ontwikkelde een vorm van algebra die de basis legde voor wat bekend zou worden als Booleaanse algebra. Deze algebra gebruikte binaire variabelen en werd een cruciaal onderdeel in de ontwikkeling van elektronische schakelingen en digitale logica.

De echte doorbraak voor binaire getallen kwam met de komst van elektronische computers in de 20e eeuw. De ontwikkeling van de eerste elektronische computers in de jaren 1940 en 1950, zoals de Electronic Numerical Integrator and Computer (ENIAC) en de Universal Automatic Computer (UNIVAC), markeerde een keerpunt. Deze vroege computers gebruikten binaire getallen voor gegevensverwerking en opslag, en vestigden het binaire systeem als een integraal onderdeel van computertechnologie.

Een ander mijlpaal in de geschiedenis van binaire getallen was de Atanasoff-Berry Computer (ABC), ontwikkeld door John Atanasoff en Clifford Berry in de late jaren 1930. De ABC was een van de eerste elektronische computers die binaire cijfers gebruikte voor berekeningen, zij het niet een volledig functionele digitale computer in de moderne zin.

Naarmate het veld van de informatica zich snel uitbreidde, werd het gebruik van binaire getallen alomtegenwoordig in digitale technologie. Tegenwoordig zijn binaire getallen de fundamentele bouwstenen van digitale systemen, van de eenvoudigste rekenmachines tot de meest complexe supercomputers. Ze zijn integraal in verschillende toepassingen, waaronder gegevenscodering, telecommunicatie en digitale signaalverwerking.

De reis van Leibniz' vroege theoretische werk naar de wijdverbreide praktische toepassing van binaire getallen in de moderne technologie is een getuigenis van de blijvende impact van dit eenvoudige maar krachtige numerieke systeem. Het binaire systeem, met zijn vermogen om complexe gegevens en instructies te vert

egenwoordigen met slechts twee symbolen, blijft een hoeksteen van de digitale technologie en vormt de manier waarop we computeren, communiceren en omgaan met de digitale wereld.

Toepassingen in het Echte Leven

Binaire getallen worden niet alleen gebruikt in informatica en technologie, maar vinden ook echte toepassing in verschillende andere gebieden van menselijke activiteit.

Computergeheugen bestaat uit transistors, die zich in een "aan" of "uit" staat bevinden. In een binair systeem wordt "aan" vertegenwoordigd door het getal 1, en "uit" door het getal 0. Dit maakt het mogelijk om gegevens op te slaan in binaire code, waarbij elke "aan" of "uit" staat een 1 of 0 vertegenwoordigt in een reeks binaire cijfers. Bijvoorbeeld, een reeks van acht binaire cijfers, zoals "01101001," kan de letter "i" vertegenwoordigen in de ASCII-code van de computer.

Elke pixel in een digitale afbeelding kan worden vertegenwoordigd door een combinatie van binaire cijfers die de intensiteit van een specifieke kleur (rood, groen, blauw) aangeeft. In het RGB-kleurmodel kan de kleur wit worden vertegenwoordigd door de binaire waarde "111" (7 in decimaal), wat betekent dat alle drie kleurkanalen (rood, groen en blauw) op hun maximale intensiteit zijn. Op dezelfde manier kan de kleur zwart worden vertegenwoordigd door de binaire waarde "000" (0 in decimaal), wat betekent dat alle drie kleurkanalen op hun minimale intensiteit zijn.

In het veld van digitale communicatie kunnen gegevens via een kanaal worden verzonden door elk teken van een bericht in binaire cijfers te mappen en vervolgens als een stroom van bits te verzenden. De ontvanger kan de bits dan terug decoderen naar het oorspronkelijke bericht.

Digitale apparaten zoals computers, smartphones en televisies gebruiken binaire code om gegevens te vertegenwoordigen en berekeningen uit te voeren. Dit stelt hen in staat om efficiënt grote hoeveelheden informatie te verwerken en op te slaan.

Binaire getallen worden gebruikt in telecommunicatie. Binaire code verzendt gegevens over lange afstanden via telefoonlijnen, kabel en satelliet. Dit maakt snellere en efficiëntere communicatie mogelijk, waardoor het mogelijk is voor ons om over de hele wereld verbonden te blijven.

Binaire getallen sturen geautomatiseerde machines aan zoals robots en CNC-machines in de productie. Deze machines gebruiken binaire code om instructies te interpreteren, waardoor ze precieze taken kunnen uitvoeren zoals boren, snijden en lassen.

Binaire getallen worden ook gebruikt in de medische sector. Medische apparatuur zoals CT-scanners, MRI's en röntgenapparaten gebruiken binaire code om medische beelden te verwerken en te analyseren.

Binaire getallen worden ook gebruikt in de transportsector. Moderne auto's gebruiken binaire code om verschillende functies te regelen, zoals motormanagement, airconditioning en navigatie.

Het concept van binaire getallen, voor het eerst geïntroduceerd door Leibniz, is een essentieel onderdeel geworden van ons dagelijks leven. Tegenwoordig is het gebruik van binaire getallen essentieel voor de werking van moderne technologie en blijft het een essentiële rol spelen in de ontwikkeling van nieuwe technologieën.