Калькулятор наибольшего общего делителя

Калькулятор наибольшего общего делителя

Калькулятор наибольшего общего делителя — это онлайн-инструмент, который позволяет быстро и точно найти наибольший общий делитель (GCF) списка чисел и всех делителей чисел, включенных в этот список.

GCF иногда называют наибольшим общим знаменателем или наибольшим общим делителем. Таким образом, калькулятор GCF можно использовать для поиска решения для любого из этих условий.

Указания по использованию

Чтобы использовать средство поиска GCF, введите все числа, разделенные запятыми или пробелами, и нажмите «Рассчитать». Калькулятор вернет GCF перечисленных чисел и продемонстрирует решение для нахождения его значения. Калькулятор всегда будет иллюстрировать решение посредством факторизации. Чтобы удалить все введенные данные, нажмите «Очистить».

Ограничения на вводные значения

1. Следует вводить целые числа.
2. Только одно из чисел может быть равно нулю.
3. Можно вводить только положительные целые числа.

Определение наибольшего общего делителя

Наибольший общий коэффициент (GCF), также известный как наибольший общий делитель (GCD), - это наибольшее положительное целое число, которое делит два или более заданных целых чисел без остатка. Это наибольшее число, на которое можно разделить все заданные целые числа. Например, GCF от 12 и 18 равно 6, так как 6 - это наибольшее число, которое делит 12 и 18 без остатка.

В случае с нулем GCF - это абсолютное значение ненулевого целого числа, поскольку каждое целое число делит ноль. Однако если все целые числа в наборе равны нулю, GCF не определен.

Например, делителями числа 12 будут 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Общие делители нескольких чисел — это те делители, на которые можно разделить все эти числа без остатка. Например, если бы нам нужно было найти все общие делители чисел 12 и 16, нам сначала нужно было бы перечислить все делители каждого числа, а затем проверить, какие делители есть в обоих списках:

12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

16: 1, 2, 4, 8, 16

Общие делители данных чисел (12 и 16) равны 1, 2 и 4. Наибольший общий делитель — это просто наибольшее из этих чисел. В случае 12 и 16 GCF равен 4.

Как найти наибольший общий делитель

Есть несколько способов найти GCF нескольких чисел. Наиболее простым является решение методом факторизации.

Решение методом факторизации

Чтобы найти GCF с помощью этого метода, выполните шаги, описанные выше, — сначала определите делители всех чисел в списке, затем найдите общие и выберите наибольший.

Решение методом факторизации более практично для небольших чисел или когда факторы чисел легко определить. Для больших чисел более эффективными могут оказаться такие методы, как факторизация простых чисел или алгоритм Евклида.

Пример расчета

Найдем наибольший общий делитель следующих чисел: 3, 9 и 48.

Решение:

Делители 3 равны 1 и 3. Делители 9 равны 1, 3 и 9. Делители 48 равны 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 и 48.

Общими делителями являются 1 и 3. Наибольший общий делитель - 3.

Ответ: GCF = 3

Факторизация целых чисел

Другая стратегия поиска наибольшего общего делителя набора чисел состоит из следующих шагов:

1. Найдите все простые делители чисел в заданном множестве.
2. Перечислите простые делители, общие для всех заданных чисел.
3. Чтобы получить наибольший общий делитель, нужно умножить общие простые делители.

Пример расчета

Найдем наибольший общий делитель следующих чисел: 16, 24 и 76.

Решение

• Факторизация целых чисел для 16: 2 × 2 × 2 × 2 или 2⁴.
• Факторизация целых чисел для 24: 2 × 2 × 2 × 3 или 2³ × 3¹.
• Факторизация целых чисел для 76: 2 × 2 × 19 или 2² × 19¹.
• Общими основными делителями являются: 2 × 2 или 2².

Следовательно, наибольший общий делитель: 2 × 2 = 2² = 4

Ответ: GCF = 4

Алгоритм Евклида

Этот алгоритм очень полезен для нахождения наибольших общих делителей больших чисел, где использование любого типа факторизации было бы очень громоздким и трудоемким. Данный алгоритм, разработанный Евклидом, использует тот факт, что GCF двух чисел m и n, где m>n, совпадает с GCF двух чисел n и m-n.

Чтобы использовать этот алгоритм для нахождения GCF двух чисел m и n, нужно последовательно заменить наибольшее из двух чисел разностью чисел:

Сначала заменим m на m-n. Получим новый набор чисел: m-n и n.

Выясним, какое из чисел больше, и заменим это число разностью текущих чисел.

Будем повторять до тех пор, пока два числа не станут равными. Это число будет наибольшим общим делителем исходного набора чисел.

Пример расчета

Найдем наибольший общий делитель следующих чисел: 124, 98.

Решение

Наибольшее число в этом наборе — 124. Заменим его на разность чисел 124 - 98 = 26 , чтобы получить следующий набор:

26, 98

Наибольшее число в этом наборе — 98. Заменим его на разность чисел (98 - 26) = 72, чтобы получить следующий набор:

26, 72

Мы можем вычесть 26 из большего числа еще два раза: 72 - 26 - 26 = 20. Теперь наш набор выглядит следующим образом:

26, 20

В следующем повторении мы заменим 26 на 26-20=6, чтобы получить

6, 20

Далее из 20 вычтем 6. Мы можем повторить эту операцию три раза, так как полученная в результате разность все равно будет больше 6:

20 - 6 - 6 - 6 = 2

Теперь наш набор выглядит следующим образом:

6, 2

Следующие повторения:

(6 - 2 = 4), 2 или 4, 2

(4 - 2 = 2), 2 или 2, 2

Теперь у нас есть набор из двух одинаковых чисел:

2, 2

Следовательно, наибольший общий делитель 124 и 98 равен 2.

Ответ: GCF = 2

Почему GCF определяется только для положительных чисел

Наибольший общий делитель определяется только для положительных чисел. Калькулятор GCF также принимает в качестве вводных данных только положительные целые числа. Это связано с тем, что GCF всегда будет положительным, даже для отрицательных чисел. К примеру, -4 - это делитель -8. Однако 4 также является фактором -8, поскольку -8 = 4 × (-2). Поскольку наибольший общий делитель всегда является наибольшим из всех общих делителей, он всегда будет положительным.

Наибольший общий делитель 0

Наибольший общий множитель числа и нуля всегда равен абсолютному значению ненулевого числа. Это связано с тем, что любое число является делителем нуля. Например, GCF от 8 и 0 равен 8, а GCF от -8 и 0 равен 8 (абсолютное значение -8).