Calculateur PPCM

Ce calculateur PPCM en ligne vous permet de trouver le plus petit commun multiple de deux nombres ou plus. Le plus petit commun multiple est le plus petit nombre, qui est un multiple de tous les nombres donnés. Par exemple, le PPCM de 2 et 3 serait 6 puisque 6 est le plus petit nombre qui est divisible par les deux nombres donnés (2 et 3). Le calculateur montre également les solutions détaillées permettant de trouver le PPCM à l'aide de diverses méthodes : listage des multiples, factorisation des nombres premiers, méthode gâteau / échelle, méthode de division, méthode PGCF et diagramme de Venn.

Mode d'emploi

• Pour utiliser le calculateur PPCM, saisissez les nombres désirés et appuyez sur "Calculer".
• Utilisez un espace ou bien une virgule pour séparer vos nombres. Veuillez noter que vous ne pouvez pas utiliser de virgules dans un nombre. Par exemple, vous devez écrire mille sous la forme 1 000 et non 1,000. Le calculateur affichera immédiatement le plus petit multiple commun des nombres saisis.
• Pour afficher une solution détaillée, choisissez la méthode de résolution désirée dans le menu déroulant et appuyez sur "Calculer".
• Si vous voulez voir les étapes de la solution pour une méthode différente, changez de méthode dans le menu déroulant et appuyez à nouveau sur « Calculer ».
• Pour effacer le champ de saisie, appuyez sur "Effacer".

Algorithmes de calcul

Listage des multiples

La façon la plus simple de trouver le plus petit commun multiple de plusieurs nombres est d'écrire les listes de multiples de chaque nombre donné par ordre croissant jusqu'à ce que l'un des multiples apparaisse sur toutes les listes. Ce multiple sera le PPCM.

Par exemple : trouvons le PPCM de 5 et 7, qui s’écrit aussi PPCM (5, 7) :

Multiples de 5 : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, etc.

Multiples de 7 : 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, etc.

35 est le premier multiple apparaissant dans les deux listes. Donc : PPCM (5, 7) = 35.

Factorisation première

Pour trouver le PPCM de plusieurs nombres par factorisation première, suivez les étapes ci-dessous :

1. Écrivez les facteurs premiers de chaque nombre.
2. Notez la factorisation première de chaque nombre sous la forme d'exposant (par exemple, 2 × 2 × 2 s’écrit 2³).
3. Multipliez les puissances les plus élevées de tous les facteurs premiers.
4. Le nombre résultant sera le PPCM des nombres donnés.

Notez que vous pouvez trouver le PPCM sans exprimer la factorisation première sous la forme d'exposant. Dans ce cas, vous devez remplacer l'étape 3 en multipliant chaque facteur premier un maximum de fois qu'il se produit pour un nombre donné.

Par exemple, trouvons le PPCM de 3, 12, et 40, aussi écrit PPCM (3, 12, 40) :

1. Trouver les facteurs premiers de chaque nombre.

Facteurs premiers de 3 : 3 est premier.

Facteurs premiers de 12 : 2 × 2 × 3

Facteurs premiers de 40 : 2 × 2 × 2 × 5

2. Écrire la factorisation première sous forme d'exposant.

3 = 3¹

12 = 2² × 3

40 = 2³ × 5¹

3. Multiplier les puissances les plus élevées de tous les facteurs premiers.

2³ × 3¹ × 5¹ = 120

4. PPCM (3, 12, 40) = 120

Si on ne souhaite pas exprimer les fractions sous la forme d'exposant, l'étape 3 deviendrait 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120.

Le calculateur PPCM montrera ces deux options dans l'algorithme de solution de factorisation première.

Méthode gâteau/échelle

Cette méthode tire son nom du fait que l'algorithme de solution résultant ressemble à un gâteau (ou à une échelle). Etudions cet algorithme en partant immédiatement un exemple et en trouvant le PPCM de 12, 15 et 24.

1. Tout d'abord, écrivez les nombres donnés les uns à côté des autres et dessinez une "marche d'échelle" ou une "couche de gâteau autour d'eux", comme ceci :

2. Trouvez un nombre qui peut diviser au moins deux des nombres donnés. Écrivez-le à gauche du nombre donné et effectuez la division. Notez les résultats de la division dans la « couche de gâteau » suivante. Si l'un des nombres n'est pas divisible, conservez-le.

Utilisons 2 comme premier nombre dans notre exemple puisque 12 et 24 sont divisibles par 2. Nous obtiendrons l'image suivante :

3. Continuez à répéter l'étape 2, jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de nombres pouvant diviser uniformément deux des nombres donnés :

4. Le PPCM des nombres donnés sera le produit des nombres de la colonne de gauche et de la rangée du bas. Dans notre cas:

MCML (12, 15, 24) = 2 × 2 × 3 × 1 × 5 × 2 = 120

Méthode de la division

La méthode de la division est très similaire à la méthode gâteau/échelle. Mais dans ce cas, vous continuez à effectuer des divisions tant que l'un des nombres donnés est divisible par un nombre premier. En conséquence, la ligne du bas ne comportera que des uns et vous pouvez trouver le PPCM en multipliant tous les nombres de la colonne de gauche. Si nous reprenons l'exemple précédent de recherche de PPCM (12, 15, 24), la table de division ressemblera à ceci :

2	12	15	24
2	6	15	12
2	3	15	6
3	3	15	3
5	1	5	1
	1	1	1

Et ainsi : PPCM (12, 15, 24) = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 120

Méthode PGCF

Pour trouver le PPCM de deux nombres à l'aide du PGCF, utilisez la formule suivante :

PPCM (x, y) = (x × y) / PGCF (x, y)

Vous devez itérer la formule ci-dessus pour trouver le PPCM de plus de deux nombres. Par exemple, le PPCM de trois nombres peut être trouvé comme suit :

PPCM (x, y, z) = PPCM (PPCM (x, y), z)

Par exemple, trouvons le PPCM de 6 et 8. Le PGCF (6, 8) est 2. Par conséquent,

PPCM (6, 8) = (6 × 8)/2 = 48/2 = 24

Diagramme de Venn

Pour trouver le PPCM à l'aide des diagrammes de Venn, vous devez commencer par identifier les facteurs premiers de chaque nombre. Ensuite, vous devez regrouper ces facteurs en fonction de leur affiliation avec deux ou trois des nombres donnés et les dessiner sous forme de diagramme de Venn. Pour PPCM (12, 15, 24), le diagramme ressemblera à ceci :

Notez que le calculateur en ligne n'affichera que la solution du diagramme de Venn pour 2 ou 3 nombres.

Exemple de calcul

Mike et Lina prennent tous les deux part à des cours de karaté. Cependant, leurs horaires sont différents : Mike y va tous les 5 jours, tandis que Lina y va tous les 3 jours. Aujourd'hui, ils ont pris part à la leçon ensemble. Combien de jours s'écouleront avant qu'ils prennent à nouveau part à un cours ensemble ?

Solution

Pour résoudre ce problème, nous devons trouver le plus petit commun multiple de 5 et 3, PPCM (5, 3). Faisons-le à l'aide de la méthode de factorisation en nombres premiers.

3 est premier, donc 3 = 3¹

5 est aussi premier, donc 5 = 5¹

PPCM (5, 3) = 3¹ × 5¹ = 15

Réponse

Mike et Lina iront au même cours de karaté dans 15 jours.