Calculadora de Desvio Padrão

O desvio padrão como medida estatística

O desvio padrão é uma das métricas estatísticas mais utilizadas para analisar e caracterizar um determinado conjunto de dados. Em termos simples, o desvio padrão é uma medida que indica o grau de dispersão dos dados. Ao calcular o desvio padrão, você descobre se os valores numéricos estão próximos ou distantes da média aritmética. Se os pontos de dados estiverem muito afastados da média, significa que há um alto desvio no conjunto. Portanto, quanto maior for a dispersão dos dados, maior será o valor do desvio padrão.

Nossa calculadora determina rapidamente o desvio padrão de qualquer conjunto de dados e exibe o passo a passo matemático envolvido em todo o cálculo.

Como usar a calculadora de desvio padrão

Esta ferramenta aceita a inserção de uma lista de números separados por um delimitador. Alguns exemplos de formatos de entrada válidos são apresentados na tabela abaixo.

Os valores numéricos podem ser separados por vírgula, espaço, quebra de linha ou uma combinação desses elementos, podendo ser inseridos no formato de linha ou coluna. Em todos os formatos exemplificados na tabela acima, a calculadora processará a entrada perfeitamente como: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 e 89.

Após inserir os dados, selecione se o conjunto representa uma amostra ou uma população e pressione enter. A calculadora exibirá cinco parâmetros estatísticos fundamentais do seu conjunto de dados: contagem (número total de observações), média, soma dos quadrados dos desvios, variância e o próprio desvio padrão.

Os problemas que esta calculadora foi projetada para resolver

Desenvolvida para calcular o desvio padrão de conjuntos de dados discretos, nossa calculadora também oferece uma visão detalhada da teoria estatística por trás de cada cálculo.

Os dados podem representar uma população, que é o conjunto de todas as observações possíveis em um experimento (de qualquer tipo) sob condições específicas. No entanto, em muitos casos, é impossível analisar ou coletar dados de cada membro de uma população inteira.

Na prática estatística, é muito comum trabalhar com um subconjunto dessa população maior, o qual chamamos de "amostra". Isso ocorre porque, frequentemente, é inviável ou impraticável coletar informações de todos os indivíduos. Assim, fazemos estimativas ou inferências sobre a população baseando-nos nos dados extraídos da amostra.

Ao calcular o desvio padrão, a fórmula matemática utilizada sofre um ajuste dependendo se estamos lidando com uma amostra ou com a população completa. Esse ajuste é feito por meio de um fator conhecido como "graus de liberdade". Para uma amostra, ao calcular a variância, dividimos por n - 1 (onde n é o tamanho da amostra) em vez de apenas n. A variância é, então, elevada à raiz quadrada para encontrar o desvio padrão. Essa correção compensa o uso de dados amostrais para estimar o desvio padrão populacional, garantindo que nossa estimativa não seja tendenciosa.

O desvio padrão mede, portanto, a dispersão, o desvio médio ou a variabilidade de um conjunto de dados em relação à sua média. É comumente representado pela letra grega σ (sigma) para uma população, ou pela letra s para uma amostra. Um valor maior de σ ou s indica uma dispersão maior dos pontos de dados em relação à média amostral, e vice-versa.

Considere os seguintes exemplos de conjuntos de dados:

(Conjunto I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

( Conjunto II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Ao inserir esses conjuntos de dados na calculadora, obtemos os seguintes resultados para o Conjunto I:

• x̄=16 - o valor da média
• s=8,3904708 - o desvio padrão

E para o Conjunto II:

• x̄=16 - o valor da média
• s=2,3664319 - o desvio padrão

Fica evidente que, no Conjunto I, os números desviaram-se significativamente da média da amostra (s=8,39), enquanto no Conjunto II a variabilidade é muito menor (s=2,36) em comparação ao primeiro.

Fórmulas para calcular o desvio padrão

A fórmula a seguir é aplicada quando analisamos todos os valores de uma população:

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ é o desvio padrão da população,
• xᵢ é o valor de uma observação individual da população,
• μ é a média aritmética da população,
• n é o tamanho da população.

Já a fórmula abaixo é utilizada para amostras, ou seja, quando a população é muito grande e apenas uma parcela representativa é extraída para análise estatística:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s é o desvio padrão da amostra,
• xᵢ é o valor de uma observação amostral individual,
• x̄ é a média da amostra,
• n é o tamanho da amostra.

Passo a passo do cálculo do desvio padrão

O cálculo do desvio padrão envolve as seguintes etapas matemáticas:

Passo 1: Calcule a média da amostra ou da população. Trata-se da soma de todos os pontos de dados dividida pelo número total de observações (N ou n), ou seja:

Média da amostra:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

Média da população:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

Passo 2: Calcule os desvios, subtraindo a média (amostral ou populacional) de cada ponto de dados individual, ou seja:

Desvios da amostra:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Desvios da população:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

Passo 3: Eleve ao quadrado os desvios obtidos para cada ponto de dados.

Quadrados dos desvios da amostra:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Quadrados dos desvios da população:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

Passo 4: Calcule a soma dos quadrados dos desvios (SS), adicionando todos os valores individuais obtidos na etapa anterior.

Soma dos quadrados dos desvios da amostra:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Soma dos quadrados dos desvios da população:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x_3-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

Passo 5: Divida a soma dos quadrados dos desvios pelo número de graus de liberdade para encontrar a variância. Para uma população, divida por N; para uma amostra, divida por n-1.

Variância da amostra:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Variância da população:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Ao calcular a variância de uma amostra, poderíamos supor que a expressão natural a ser usada seria:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

onde

x̄ é a média da amostra e n é o tamanho da amostra. No entanto, na prática estatística, essa fórmula não é utilizada.

Isso ocorre porque tal expressão não forneceria uma estimativa precisa da variância populacional. Quando a população geral é imensa e a amostra analisada é pequena, a variância calculada por essa fórmula subestimaria a verdadeira variância da população, apresentando um valor muito baixo devido à limitação dos dados. Assim, ao usarmos a expressão n-1 no denominador, aplicamos uma correção que aumenta o valor da variância potencial, tornando-a não tendenciosa.

Portanto, em vez de dividir por n, encontramos a variância amostral dividindo por n-1. Essa operação resulta em um valor de variância ligeiramente maior e muito mais fiel à realidade.

Passo 6: Extraia a raiz quadrada do resultado obtido. O desvio padrão nada mais é do que a raiz quadrada da variância.

Desvio padrão da amostra:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Desvio padrão da população:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Exemplo prático de cálculo do desvio padrão de uma amostra

Vamos considerar as seguintes notas obtidas por uma amostra de n=8 alunos em uma prova de Física:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 e 84

Nossa calculadora processa o desvio padrão dessa amostra aplicando os seguintes passos:

Passo 1: Cálculo da média.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Passo 2: Cálculo dos desvios.

Passo 3: Cálculo dos quadrados dos desvios.

Passo 4: Soma dos quadrados dos desvios.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Passo 5: Calcule a variância dividindo a soma dos desvios ao quadrado pelos graus de liberdade (n-1). Se estivéssemos lidando com uma população inteira, a variância nesta etapa seria dividida por N em vez de n-1. Como se trata de uma amostra (ou seja, dados sobre apenas uma parcela dos alunos), usamos n-1.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Passo 6: Extraia a raiz quadrada da variância para encontrar o desvio padrão final.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

Aplicações práticas do desvio padrão

O desvio padrão é uma ferramenta estatística fundamental para analisar e compreender a dispersão de um conjunto de dados. Se a variância ou o desvio padrão de um grupo for elevado, significa que os dados estão amplamente dispersos em relação à média. Essa informação é extremamente útil ao comparar dois ou mais conjuntos de dados para determinar qual deles apresenta a maior variabilidade.

Na indústria, o desvio padrão é amplamente utilizado no controle de qualidade. Na produção em larga escala, certas características de um produto devem permanecer dentro de uma faixa rigorosa, que pode ser avaliada por meio desse cálculo estatístico. Por exemplo, na fabricação de porcas e parafusos, a variação em seus diâmetros deve ser mínima; caso contrário, as peças não se encaixarão perfeitamente.

No setor financeiro e em diversas outras áreas, o desvio padrão é essencial para a avaliação de riscos. Na análise técnica de mercados, por exemplo, ele é aplicado na construção das Bandas de Bollinger e no cálculo direto da volatilidade de ativos.

Além do mercado financeiro, áreas como a sociologia também dependem intensamente dessa métrica. Em pesquisas de opinião pública e amostragens demográficas, o desvio padrão ajuda a calcular a margem de erro e a incerteza dos resultados.

A variância e o desvio padrão também são usados para determinar quantos valores de um conjunto de dados se enquadram em um determinado intervalo de distribuição. Por exemplo, a desigualdade de Tchebichev (ou Chebyshev) demonstra que, para qualquer distribuição de dados, pelo menos 75% dos valores estarão localizados a uma distância de até 2 desvios padrão em relação à média.

Vejamos um exemplo simples relacionado ao clima. Suponha que estamos analisando as temperaturas diárias de duas cidades na mesma região: uma localizada no litoral e a outra no interior. A temperatura máxima diária média nessas duas cidades pode até ser idêntica. No entanto, o desvio padrão — ou seja, a dispersão dessas temperaturas máximas — será muito maior na cidade continental. Em contrapartida, a cidade costeira apresentará um desvio padrão bem menor.

Na prática, isso significa que a cidade continental sofrerá variações climáticas e amplitudes térmicas diárias muito mais extremas ao longo do ano. Já a cidade litorânea, devido à menor variabilidade indicada pelo desvio padrão, terá um clima notavelmente mais ameno e estável.