Kalkulator Isi Padu

Setiap objek tiga dimensi yang pepejal memenuhi ruang. Sama ada telefon pintar di atas meja, tangki simpanan air di kawasan perumahan anda, atau bola keranjang di gelanggang, semuanya memenuhi ruang.

Dalam matematik dan sains, ruang yang dipenuhi ini ditakrifkan sebagai isi padu. Isi padu juga boleh merujuk kepada kapasiti sesuatu objek. Sebagai contoh, berbanding memberi tumpuan kepada ruang fizikal yang dipenuhi oleh bekas air di dalam garaj, kita sering ingin mengetahui kapasitinya—iaitu jumlah air yang tepat yang boleh ditampung oleh bekas tersebut.

Mengira isi padu ialah kemahiran penting dalam pelbagai disiplin sains dan matematik.

Kalkulator isi padu kami yang komprehensif memudahkan proses ini dengan menyokong pelbagai unit ukuran dan pelbagai jenis bentuk 3D. Lebih menarik lagi, kalkulator ini bukan sahaja memberikan jawapan akhir; ia memaparkan formula isi padu yang tepat dan membimbing anda melalui proses pengiraan langkah demi langkah. Dalam panduan ini, kita akan meneroka cara mengira isi padu, menerangkan formula untuk pelbagai bentuk geometri, dan meneliti contoh praktikal dalam kehidupan sebenar.

Unit dan Ukuran

Untuk memastikan ketepatan dan kebolehpercayaan, pengiraan isi padu bergantung pada unit ukuran standard. Unit SI (Sistem Unit Antarabangsa) standard untuk isi padu ialah meter padu (m³). Walau bagaimanapun, isi padu objek yang lebih kecil sering dinyatakan dalam unit yang lebih kecil, seperti sentimeter padu (cm³) atau milimeter padu (mm³).

Bergantung pada keperluan khusus anda, anda mungkin lebih menyukai satu sistem ukuran berbanding yang lain. Kalkulator isi padu kami menyokong sepenuhnya kedua-dua Sistem Metrik dan Unit Imperial/Customary AS. Anda mempunyai kebebasan sepenuhnya untuk memilih daripada unit berikut:

• kilometer,
• meter,
• sentimeter,
• milimeter,
• mikrometer,
• nanometer,
• angstrom,
• batu,
• ela,
• kaki,
• inci.

Apabila menggunakan formula manual untuk mengira isi padu, anda mesti menggunakan unit yang seragam. Biasanya, ini bermakna menukar semua ukuran kepada unit yang sama untuk memudahkan pengiraan matematik. Sebagai contoh, untuk mengira isi padu silinder dengan ketinggian 75 cm dan jejari 0.5 m, anda perlu sama ada menukar ketinggian kepada meter (menghasilkan jawapan dalam meter padu) atau menukar jejari kepada sentimeter (menghasilkan jawapan dalam sentimeter padu).

Namun, bagaimana jika anda ingin memasukkan ketinggian dalam inci dan jejari dalam nanometer? Kalkulator kami mengendalikannya dengan lancar, melakukan penukaran unit yang diperlukan di sebalik tabir dan memaparkan langkah-langkahnya dengan jelas.

Anda boleh memilih unit yang berbeza untuk setiap input ukuran, dan kalkulator formula isi padu tetap akan memberikan hasil yang sangat tepat. Katakan anda mempunyai silinder dengan ketinggian 5 inci dan jejari 10,506,070 nanometer. Hanya pergi ke bahagian kalkulator isi padu silinder, masukkan nilai tersebut, dan pilih unit yang sepadan daripada menu lungsur.

Kalkulator akan mengeluarkan isi padu serta-merta dalam dua format: 2.6874044006564 inci³ (inci padu) dan 4.4038667907438E+22 nanometer³ (nanometer padu). Ia menyediakan kedua-dua pilihan kerana ia mengandaikan anda mahukan jawapan akhir anda dalam salah satu unit asas yang anda berikan. Alat ini juga memaparkan proses pengiraan yang lengkap bersama dengan penukaran unit!

Kalkulator Isi Padu: Skop, Ciri, dan Contoh

Kaedah yang digunakan untuk mengira isi padu sangat berbeza bergantung pada bentuknya. Banyak bentuk geometri standard bergantung pada formula aritmetik mudah berdasarkan sifat seperti panjang sisi atau jejari.

Bentuk-bentuk lain adalah jauh lebih kompleks, menyebabkan pengiraan isi padu secara langsung menjadi mustahil. Dalam kes sedemikian, kaedah pengiraan lanjutan—seperti penyepaduan geometri dan analisis unsur terhingga—diperlukan. Mujurlah, kalkulator isi padu kami menyokong pelbagai jenis objek, menjadikannya sangat mudah untuk mencari isi padu hampir apa sahaja.

Sfera

Sfera ialah setara tiga dimensi yang sempurna bagi sebuah bulatan. Contoh klasik ialah mana-mana bola yang bulat sepenuhnya (seperti bola lisut atau glob). Formula isi padu untuk sfera ialah:

$$V_{sfera}=\frac{4}{3}π r^3$$

Seperti anda lihat, isi padu sfera bergantung sepenuhnya pada jejarinya (r). Jejari ditakrifkan sebagai jarak tepat dari pusat sfera ke mana-mana titik pada permukaan luarnya. Memandangkan bola lisut standard mempunyai jejari r = 3.65 cm, kita boleh menggunakan kalkulator isi padu sfera kami untuk mencari isi padunya:

$$Isi\ padu = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3.65^3 = 203.68882488692 \ sentimeter^3$$

Kon

Kon ialah bentuk 3D yang terdiri daripada tapak bulat yang meruncing lancar ke satu titik bucu, yang dikenali sebagai apeks. Semua titik pada lilitan tapak disambungkan ke apeks ini dengan segmen garis lurus. Kita mentakrifkan sifat kon menggunakan dua ukuran utama: jejari tapak bulat (r) dan ketinggian dari pusat tapak ke apeks (h).

Isi padu kon boleh dinyatakan sebagai:

$$V_{kon}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r ialah jejari, dan h ialah ketinggian kon

Bayangkan anda sedang menganjurkan parti hari jadi dan ingin membuat topi parti berbentuk kon sendiri yang juga boleh digunakan sebagai bekas bertih jagung kemudian nanti.

Jika anda mereka bentuk topi kon dengan jejari 7.5 cm dan ketinggian 0.45 m, you boleh menggunakan kalkulator isi padu kon untuk menentukan dengan tepat berapa banyak ruang di dalam setiap topi.

0.45 meter = 45 sentimeter

$$Isi\ padu = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7.5^2 × 45 = 2650.7188014664 \ sentimeter^3$$

Ini memberikan anda jumlah bertih jagung yang tepat yang boleh anda muatkan ke dalam setiap kon pada akhir parti!

Kubus

Siapa yang tidak pernah cuba menyelesaikan Kiub Rubik?

Kubus ialah objek geometri yang mempunyai 8 bucu dan 6 sisi segi empat sama yang sama rata. Isi padu kubus bergantung pada satu ukuran sahaja: panjang sisi kubus (a).

$$V_{kubus}=a^3$$

Katakan kita ingin membeli 30 Kiub Rubik untuk pusat pembangunan belia bagi membantu kanak-kanak meningkatkan keupayaan kognitif mereka. Kita pergi ke kedai dan menemui kiub yang sesuai. Panjang satu sisi kiub ialah 5.7 sentimeter. Walau bagaimanapun, jurujual kedai hanya mempunyai satu kotak sahaja untuk mengangkut semua kiub tersebut. Kotak itu berbentuk kubus sepenuhnya, dengan panjang sisi 20 sentimeter. Adakah kesemua 30 kiub kita akan muat di dalamnya?

Isi padu kiub:

$$Isi\ padu = 5.7³ = 185.19\ sentimeter³$$

Jumlah isi padu untuk 30 kiub adalah:

$$185.19 × 30 = 5,555.7\ sentimeter³$$

Isi padu kotak:

$$Isi\ padu = 20³ = 8,000\ sentimeter³$$

Dengan membandingkan jumlah isi padu 30 kiub dengan keseluruhan isi padu kotak, kita dapat melihat:

$$5,555.7 < 8,000$$

Nampaknya kiub-kiub tersebut akan muat dengan sempurna di dalam kotak itu!

Silinder

Silinder ialah prisma geometri 3D yang mempunyai tapak bulat yang seragam. Anda boleh membayangkannya sebagai beberapa bulatan seiras yang disusun terus di atas satu sama lain. Seperti kon, sifat silinder ditakrifkan oleh jejari bulatnya (r) dan ketinggiannya (h), iaitu jarak dari permukaan bawah ke permukaan atas. Formula untuk isi padu silinder ialah:

$$V_{silinder}=π r^2h$$

Mari kita kira isi padu lilin silinder hiasan untuk mengetahui dengan tepat berapa banyak lilin parafin yang diperlukan oleh seorang tukang untuk membentuknya. Ketinggian lilin yang dirancang ialah 15 sentimeter, dan diameternya ialah 8 sentimeter. Daripada diameter tersebut, kita dapat menyimpulkan dengan mudah bahawa jejarinya ialah 4 sentimeter. Menggunakan formula, kita mengira:

$$Isi\ padu = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753.98223686155\ sentimeter^3$$

Tangki Segi Empat Tepat

Tangki segi empat tepat (atau prisma segi empat tepat) ialah variasi kubus di mana semua tepi yang bersebelahan adalah berserenjang, walaupun tidak semestinya sama panjang. Bentuk ini memerlukan tiga ukuran: panjang (l) dan lebar (w)—yang mentakrifkan tapak segi empat tepat dua dimensinya—dan ketinggian (h), yang memberikan kedalaman tiga dimensi. Isi padu tangki segi empat tepat dikira sebagai:

$$V_{tangki\ segi\ empat\ tepat}=l × w × h$$

Contoh klasik dan universal bagi tangki segi empat tepat ialah kontena penghantaran standard. Mengikut piawaian ISO, ukuran kontena penghantaran biasa ialah:

• Lebar = 2.43 m
• Tinggi = 2.59 m
• Panjang = 6.06 m atau 12.2 m

Oleh kerana ukuran ini diseragamkan secara global, isi padunya juga diseragamkan. Sila masukkan dimensi ini ke dalam kalkulator isi padu tangki segi empat tepat kami. Mari kita lakukan pengiraan untuk kedua-dua panjang standard: 6.06 m dan 12.2 m.

$$Isi\ padu = 6.06 × 2.43 × 2.59 = 38.139822\ meter³$$

dan

$$Isi\ padu = 12.2 × 2.43 × 2.59 = 76.78314\ meter³$$

Bentuk geometri tiga dimensi yang lebih kompleks

Sering kali, objek harian adalah gabungan bentuk geometri asas. Sebagai contoh, apakah jumlah isi padu bentuk di bawah?

Jika diperhatikan dengan teliti, kita dapat melihat bahawa objek ini adalah komposit: ia terdiri daripada silinder asas dengan kon diletakkan dengan sempurna di atasnya. Oleh itu, jumlah isi padu objek tersebut hanyalah hasil tambah isi padu silinder dan isi padu kon:

$$V_{objek}=V_{silinder}+V_{kon}$$

Kedua-dua silinder dan kon berkongsi diameter 4 cm. Mengetahui perkara ini, kita menyimpulkan bahawa:

$$r_{silinder}=r_{kon}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Selain itu, jumlah ketinggian adalah gabungan kedua-dua ketinggian individu:

$$h_{objek}=h_{silinder}+h_{kon}$$

Memandangkan:

$$h_{objek}=10\ cm$$

dan:

$$h_{kon}=3\ cm$$

kita boleh menentukan dengan mudah bahawa ketinggian silinder ialah:

$$h_{silinder}=7\ cm$$

Kini kita boleh memasukkan nilai-nilai ini terus ke dalam kalkulator isi padu:

$$V_{objek}=V_{silinder}+V_{kon}=87.96\ cm^3+12.56\ cm^3$$

$$V_{objek}=100.52\ cm^3$$

Pendekatan komposit ini membantu anda memahami dengan lebih baik pelbagai bentuk lanjutan yang disokong oleh kalkulator isi padu kami di bawah.

Kapsul

Kapsul ialah salah satu bentuk yang paling biasa untuk pil perubatan. Menggunakan logik daripada contoh sebelum ini, kita dapat melihat bahawa kapsul pada asasnya ialah silinder yang ditutup dengan dua hemisfera seiras pada hujung yang bertentangan.

Memandangkan dua hemisfera yang sepadan membentuk satu sfera yang lengkap, kita boleh menyatakan bahawa jumlah isi padu kapsul hanyalah isi padu silinder tengahnya ditambah dengan isi padu satu sfera.

$$V_{kapsul} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Di mana r ialah jejari dan h ialah ketinggian bahagian silinder.

Terima kasih kepada kalkulator isi padu kapsul kami yang khusus, anda tidak perlu mengira dan menggabungkan isi padu silinder dan sfera secara manual. Anda boleh memasukkan ketinggian dan jejari secara terus, dan alat ini akan mengeluarkan isi padu kapsul yang tepat serta-merta.

Ahli sains farmaseutikal sangat bergantung pada pengiraan ini untuk mereka bentuk ubat bersaiz bersesuaian. Oleh kerana kapsul mesti mengandungi dos yang sangat tepat, ahli sains kerap melaraskan ketinggian dan jejari untuk mencapai sasaran isi padu yang tepat.

Tudung Sfera

Dalam contoh sebelum ini, kita dapati bahawa hemisfera adalah tepat separuh daripada sfera. Walau bagaimanapun, tudung sfera (spherical cap) ialah sebahagian daripada sfera yang dipotong oleh satah rata. Hemisfera hanyalah kes khas tudung sfera di mana satah tersebut memotong tepat melalui pusat.

Rajah di bawah menunjukkan tudung sfera yang tipikal. Dalam model ini, (r) ialah jejari tapak tudung, (R) ialah jejari sfera penuh, dan (h) ialah ketinggian tudung. Oleh kerana pemboleh ubah ini dikaitkan secara matematik, dengan hanya mengetahui dua daripadanya membolehkan anda mengira yang ketiga!

• Diberi r dan R; $h=R±\sqrt{R^2-r^2}$
• Diberi r dan h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Diberi R dan h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

di mana:

• r ialah jejari tapak,
• R ialah jejari sfera,
• h ialah ketinggian tudung sfera.

Isi padu tudung sfera dikira sebagai:

$$V_{tudung\ sfera}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Alat kami hanya memerlukan dua daripada pemboleh ubah ini untuk berfungsi. Sebagai contoh, jika anda memasukkan R = 1m dan r = 0.25m, kalkulator secara mengejutkan akan mengembalikan dua isi padu yang mungkin: 0.00313 m³ dan 4.1856 m³. Mengapa?

Mengingat kembali hubungan matematik:

$$h=R±\sqrt{R^2-r^2}$$

kita melihat bahawa dengan nilai R dan r yang diberikan, ketinggian (h) sebenarnya mempunyai dua nilai berpotensi:

$$h_1=R+\sqrt{R^2-r^2}$$

dan

$$h_2=R-\sqrt{R^2-r^2}$$

Pecahan matematik ini menerangkan mengapa anda mendapat dua isi padu sah yang berbeza bergantung pada sama ada anda menggunakan $h_1$ atau $h_2$.

Nota: Peraturan R ≥ r mestilah sentiasa benar. Jika anda tersalah memasukkan jejari tapak yang lebih besar daripada jejari bola, kalkulator akan memaparkan mesej ralat untuk memberitahu anda bahawa ukuran tersebut telah tertukar.

Frustum Kon

Anda boleh mencipta frustum kon dengan memotong bahagian atas kon dengan potongan mendatar yang sempurna, selari dengan tapaknya. Ini meninggalkan anda dengan objek 3D yang mempunyai dua permukaan bulat selari dengan saiz yang berbeza.

Isi padu frustum kon ditakrifkan sebagai:

$$V_{frustum\ kon}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Di mana h ialah ketinggian antara pusat permukaan bawah dan atas, r ialah jejari permukaan atas, dan R ialah jejari permukaan bawah (di mana R ≥ r).

Bayangkan anda mengunjungi kedai roti mewah dan memesan kek lava coklat yang mendakwa mempunyai teras yang diperbuat daripada tepat "35% coklat cair."

Jika anda seorang peminat matematik, anda mungkin ingin menguji dakwaan tersebut! Pertama, ukur jejari atas, jejari bawah, dan jumlah ketinggian untuk mencari keseluruhan isi padu kek.

Katakan ukuran anda ialah r = 16 cm, R = 20 cm, dan h = 10 cm.

Dengan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam kalkulator isi padu frustum kon kami, anda mendapat:

$$Isi\ padu=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ sentimeter^3$$

Untuk mengetahui berapa banyak limpahan coklat yang lazat di dalamnya, kira 35% daripada 10,220.65 cm³. Anda akan dapati terdapat kira-kira 3,577.23 cm³ coklat di dalam kek anda!

Elipsoid

Apabila sfera yang sempurna diregangkan atau diubah bentuk dalam satu atau lebih arah, ia menghasilkan elipsoid. Bayangkan elipsoid sebagai sfera seperti bujur yang diregangkan di mana jarak dari pusat ke permukaan berbeza-beza bergantung pada arah.

Elipsoid mempunyai tiga paksi yang berbeza, dan isi padunya ditentukan oleh tiga jejari yang merentasi dari pusat ke tepi setiap paksi. Tiga jejari ini ditunjukkan oleh pemboleh ubah a, b, dan c.

Kita sering menganggap bola sebagai sfera yang sempurna, tetapi bola elipsoid sangat biasa dalam sukan—lihat sahaja bola ragbi! Mari kita andaikan jejari bola ragbi standard ialah a = 9.3 cm, b = 9.3 cm, and c = 14.3 cm.

Formula isi padu elipsoid ialah:

$$V_{elipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

(Nota: Susunan a, b, dan c tidak penting; mendarabkannya dalam sebarang susunan akan menghasilkan keputusan yang sama.)

Menggunakan kalkulator isi padu elipsoid kami, mencari isi padu tepat bola ragbi adalah sangat mudah:

$$Isi\ padu=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ sentimeter^3$$

Piramid Tapak Segi Empat Sama

Menyebut tentang piramid serta-merta mengingatkan kita kepada struktur monolitik purba di Mesir. Piramid tapak segi empat sama mempunyai tapak segi empat sama yang sempurna yang meruncing ke atas ke satu titik apeks, menghubungkan keempat-empat penjuru tapak secara terus ke bahagian atas. Formula isi padunya ialah:

$$V_{piramid\ tapak\ segi\ empat\ sama}=\frac{1}{3}a^2h$$

Di sini, a mewakili panjang tepi tapak segi empat sama, manakala h ialah ketinggian dari pusat tapak terus ke apeks.

Mari kita lihat Piramid Agung Khufu yang megah berdasarkan dimensi asalnya: h = 146.6 m dan a = 230.33 m. Menggunakan kalkulator isi padu piramid tapak segi empat sama kami, kita boleh menentukan saiznya yang monumental:

$$Isi\ padu=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ meter^3$$

Tiub

Berbeza dengan silinder pepejal, tiub adalah berongga sepenuhnya, bermakna ia mempunyai diameter luar dan diameter dalam. Untuk mencari isi padu tepat bahan yang membentuk tiub tersebut, anda perlu mengambil kira perbezaan antara kedua-dua diameter ini.

$$V_{tiub}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Seperti yang anda duga, d₁ dan d₂ masing-masing mewakili diameter luar dan dalam tiub, manakala l mewakili jumlah panjang tiub.

Mari kita gunakan formula ini untuk mengetahui isi padu gelang konkrit yang diperlukan untuk telaga baharu di kawasan rumah kebun. Ketinggian (atau panjang) gelang kita ialah 0.89 meter, diameter luar ialah 1.16 meter, dan diameter dalam ialah tepat 1 meter.

Memasukkan nilai ini ke dalam kalkulator isi padu tiub kami memberikan kita:

$$Isi\ padu=π\frac{1.16^2-1^2}{4} × 0.89 = 0.076896 π = 0.24\ meter^3$$