Kalkulator Równań Kwadratowych

Kalkulator Równań Kwadratowych

Równania kwadratowe są istotną częścią programu nauczania matematyki w szkołach i na uniwersytetach. Na przykład rozwiązanie równania kwadratowego dostarcza różnych informacji, takich jak tempa zmian, wzrostów i spadków funkcji. Znalezienie rozwiązania równania kwadratowego wymaga wykonania zestawu działań algebraicznych i arytmetycznych. Chociaż rozwiązanie ma standardową formę, ręczne wykonanie obliczeń zajmuje trochę czasu.

Kalkulator formuły kwadratowej online to łatwe w użyciu narzędzie, które natychmiastowo dostarcza użytkownikowi rozwiązanie równania kwadratowego. To darmowe narzędzie podaje odpowiedzi i prezentuje kroki zastosowane podczas rozwiązywania równania. W konsekwencji użytkownik zrozumie rozwiązywanie problemów, wyniki numeryczne oraz krok po kroku przewodnik przez rozwiązanie.

Równania Kwadratowe

Równanie kwadratowe, czasami nazywane funkcją kwadratową lub wielomianem drugiego stopnia, to równanie algebraiczne o ogólnej formie ax²+bx+c=0, gdzie x jest nieznaną zmienną do znalezienia. Współczynniki a i b to współczynniki x² i x odpowiednio, natomiast C to stała. Słowo "kwadratowe" lub "drugiego stopnia" pochodzi od faktu, że najwyższy wykładnik zmiennej x to 2, jak w x². Poniżej przedstawiamy kilka przykładów równań kwadratowych.

$$2x²-4x+0,5=0$$

$$-3x²+\frac{1}{3}x+6=0$$

Równanie 2x²=0 jest również równaniem kwadratowym, z b=0 i c=0. Jednakże 2x+3=0 nie reprezentuje równania kwadratowego, ponieważ w równaniu nie znajduje się kwadratowy wyraz ax². Jak pokazano w poprzednich przykładach, wartości A, B i C mogą być dodatnimi/ujemnymi liczbami całkowitymi lub dziesiętnymi (ułamkami), tak że a≠0.

Rozwiązywanie Równań Kwadratowych

Liczba możliwych rozwiązań równania równa jest najwyższemu wykładnikowi w równaniu. Równanie kwadratowe może mieć w tym kontekście maksymalnie dwa rozwiązania. Jednym ze sposobów rozwiązania funkcji kwadratowej jest użycie formuły kwadratowej przedstawionej w równaniu (1).

$$x₁=\frac{-b+\sqrt{b²-4ac}}{2a}\ \ \ \ \ \ \ ;\ \ \ x₂=\frac{-b-\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$ (1)

Można zapisać kompaktową formę formuły kwadratowej jako:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

To proste rozwiązanie, gdzie użytkownik może podstawić wartości A, B i C, aby otrzymać wartości x₁ i x₂. Zgodnie z wartością dyskryminantu oznaczanego przez wyraz pod pierwiastkiem kwadratowym b²-4ac, zmienia się liczba i rodzaj rozwiązania. Możemy omówić trzy przypadki:

• Jeśli dyskryminant jest dodatni; b²-4ac>0, wtedy istnieją dwa rzeczywiste rozwiązania (x₁≠x₂)
• Jeśli dyskryminant wynosi zero; b²-4ac=0, w

tedy istnieje jedno rzeczywiste rozwiązanie (x₁=x₂)

• Jeśli dyskryminant jest ujemny; b²-4ac<0, wtedy istnieją dwa złożone rozwiązania (x₁≠x₂)

Przedstawimy przykład każdego przypadku w sekcji Przykłady.

Graficznie, na płaszczyźnie współrzędnych x-y, gdzie y jest funkcją x, czytelnik może wizualnie zrealizować rozwiązanie(-a) funkcji kwadratowej jako współrzędne x punktów(-ów), gdzie funkcja y przecina oś x.

Korzystanie z Kalkulatora Formuły Kwadratowej

Kalkulator rozwiązań kwadratowych może rozwiązać wszystkie równania kwadratowe, niezależnie od charakteru rozwiązania (rzeczywiste lub złożone). Kalkulator przyjmuje trzy dane wejściowe: wartości A, B i C. W niektórych przypadkach użytkownik może musieć dokonać pewnych manipulacji z równaniem przed użyciem kalkulatora.

W 2x² = x + 3, użytkownik musi po prostu przenieść wyrazy z prawej strony na lewą stronę. W rezultacie otrzymujemy 2x²-x-3=0, gdzie a = 2, b = -1 i c = -3.

Ponadto, biorąc pod uwagę 4(x²-0,2x)=1, użytkownik musi rozwinąć nawias, zapisując 4x²-0,8x=1, a następnie przenieść wyrazy z lewej strony na prawą stronę, aby przekształcić równanie do ogólnej formy jako 4x²-0,8x-1=0 gdzie a = 4, b=-0,8 i c=-1.

Przykłady

W tej sekcji trzy przykłady wyjaśniają trzy możliwe przypadki rozwiązania równania kwadratowego przy użyciu kalkulatora równań kwadratowych.

Przykład 1: Dwa Rzeczywiste Rozwiązania

Wymagane jest znalezienie rozwiązania (rozwiązań) funkcji kwadratowej y₁ podanej jako y₁=x²-8x+12 i przedstawionej na Rysunku 1.

Intuicyjnie, celem jest znalezienie współrzędnej x punktu(ów), w którym funkcja y₁ przecina oś x – o ile takie istnieje.

Rysunek 1: Wykres y₁=x²-8x+12

Najpierw funkcja jest przyrównywana do zera (y₁ jest zastępowane przez 0), co prowadzi do x²-8x+12=0. Widać, że ostatnie równanie jest w standardowej formie równania kwadratowego, gdzie a=1, b=-8 i c=12. Możemy bezpośrednio użyć kalkulatora wzoru kwadratowego.

Sprawdzając wartość dyskryminanty b²-4ac=(-8)²-4(1)(12)=16>0, funkcja kwadratowa powinna mieć dwa rzeczywiste rozwiązania. Po kliknięciu przycisku oblicz, kalkulator podaje numeryczne rozwiązanie i kroki rozwiązania przy użyciu wzoru kwadratowego równania (1).

Ważne jest, aby podkreślić, że po wprowadzeniu wartości A, B i C, kalkulator pokazuje równanie. Użytkownik może rozważyć weryfikację, czy wyświetlone równanie jest takie samo jak równanie w ręku, aby uniknąć błędów wprowadzania.

• Równanie: x²-8x+12=0

• Rozwiązanie: x₁=2 i x₂=6

• Kroki:

$$x = \frac {-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a}=\frac{-(-8) ±\sqrt{(-8)^2-4×1×12}}{2×1}=\frac{8 ±\sqrt{16}}{2}=4 ±2=6 \ lub \ 2$$

Rozwiązaniem jest zatem x₁=2 i x₂=6. Możemy graficznie zweryfikować wyniki, sprawdzając przecięcie funkcji z osią x. Rysunek 2 pokazuje, że funkcja przecina oś x w wymienionych punktach.

Rysunek 2: Wykres y₁=x²-8x+12

Przykład 2: Jedno Rzeczywiste Rozwiązanie

Rozważając inną funkcję, y₂-3x²+25=-4x²+10x. Przed użyciem kalkulatora, początkowym krokiem będzie izolacja y₂ po jednej stronie i zebranie wszystkich pozostałych wyrazów po drugiej stronie jako y₂=-4x²+10x+3x²-25. Przyrównując y₂ do zera i wykonując działania arytmetyczne, ogólna forma jest uzyskana jako -x²+10x-25=0 z a=-1, b=10 i c=-25.

Dyskryminant jest równy zeru b²-4ac=(10)²-4(-1)(-25)=0, więc użytkownik spodziewałby się pojedynczego rozwiązania. Następnie możemy użyć kalkulatora wzoru kwadratowego, aby znaleźć x₁=x₂=5.

• Równanie: -x²+10x–25=0

• Rozwiązanie: x = 5

• Kroki:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² - 4ac}}{2a} = \frac{-10±{\sqrt{10^2 – 4 × (-1) × (-25)}}}{2×-1}=\frac{-10± \sqrt{0}}{-2} = 5$$

Rysunek 3 pokazuje wykres y₂, gdzie widać, że funkcja przecina oś x w jednym punkcie.

Rysunek 3: y₂=-x²+10x-25

Przykład 3: Dwa Rozwiązania Zespolone

Na koniec, y₃=x²-4x+8 jest badane, aby pokazać, jak funkcja kwadratowa może mieć dwa rozwiązania zespolone. Rysunek 4 pokazuje, że y₃ nie przecina osi x.

Rysunek 4: y₃=x²-4x+8

Patrząc na b²-4ac=(-4)²-4(1)(8)=-16<0, co wskazuje na istnienie dwóch rozwiązań zespolonych, ale czym są liczby zespolone?

Liczba zespolona to liczba wyrażona w formie kombinacji liczb rzeczywistych i urojonych, przyjmująca postać a+ib.

W tym przypadku 'i' w liczbach zespolonych oznacza jednostkę urojoną, reprezentującą pierwiastek kwadratowy z -1.

Termin A oznacza rzeczywistą część liczby zespolonej (Re). Z drugiej strony, ib to liczba urojona (Im), gdzie i=√-1.

Pierwiastek kwadratowy będzie zawierał liczbę ujemną, gdy termin b²-4ac jest mniejszy niż zero. Tak więc, wzięcie pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej wymaga użycia liczb zespolonych.

Wróćmy do rozwiązania x²-4x+8=0; kalkulator rozwiązuje równanie i znajduje x₁=2+2i oraz x₂=2-2i.

• Równanie: x²–4x+8=0

• Istnieją dwa możliwe rozwiązania: x=2±2i

• Kroki:

$$x = \frac{-b ± \sqrt{b² – 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) ± \sqrt{(-4)^2 – 4 × 1 × 8}}{2 × 1} = \frac{4 ± \sqrt{-16}}{2} = 2 ± 2i$$

Zakres Użytkowania i Porady

Kalkulator wzoru kwadratowego jest przeznaczony dla uczniów w szkołach i na uniwersytetach lub każdego, kto szuka szybkiego rozwiązania funkcji kwadratowej. Funkcje kwadratowe można znaleźć w inżynierii, ekonomii, rolnictwie itp.

Chociaż korzystanie z narzędzia jest proste, użytkownik powinien być w stanie wykonywać podstawowe działania arytmetyczne, aby umieścić równanie w standardowej formie kwadratowej ax²+bx+c=0, aby użyć narzędzia. Ponadto, preferowane jest (choć nie jest to wymóg) zaznajomienie się z liczbami zespolonymi, ponieważ rozwiązanie równania kwadratowego może być parą liczb zespolonych.

Użytkownik może być również zainteresowany użyciem niektórych narzędzi do rysowania, aby zwizualizować funkcję i jej rozwiązania.