Kalkylator för andragradsformeln

Använda en kalkylator för andragradsekvationer

Vår kalkylator för andragradsekvationer är ett mycket effektivt och lättanvänt verktyg utformat för att omedelbart lösa andragradsekvationer. Inom algebran är en andragradsekvation en polynomekvation av andra graden som kan skrivas på standardformen:

ax²+bx+c=0

där

a≠0

För att använda den här steg-för-steg-lösaren för andragradsekvationer anger du bara koefficienterna A, B och C i respektive fält och klickar på "Beräkna". Observera att A inte kan vara noll, medan noll är ett fullt acceptabelt värde för B och C. Oavsett om din ekvation har reella eller komplexa rötter tillämpar kalkylatorn lösningsformeln (abc-formeln) för att hitta alla möjliga lösningar. Dessutom förenklar den automatiskt de resulterande rotuttrycken och levererar de slutgiltiga svaren i sin mest förenklade och exakta form.

Lösa andragradsekvationer med lösningsformeln

Lösningsformeln (även känd som abc-formeln) är en universell metod som låter dig lösa vilken andragradsekvation som helst. För att använda denna metod måste du först ställa upp din givna ekvation på standardformen: ax²+bx+c=0. Därefter kan de exakta lösningarna beräknas med hjälp av följande formel:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Uttrycket under rottecknet, b²-4ac, kallas för diskriminanten. Det är ett avgörande värde som bestämmer rötternas natur:

• Om diskriminanten är positiv, b²-4ac>0, får ekvationen två olika reella rötter.
• Om diskriminanten är negativ, b²-4ac<0, får ekvationen två komplexa rötter, eftersom kvadratroten ur ett negativt tal resulterar i ett imaginärt tal.
• Om diskriminanten är noll, b²-4ac=0, får ekvationen exakt en reell rot (en dubbelrot).

Vår andragradskalkylator visar inte bara de slutgiltiga svaren; den tillhandahåller ett komplett arbetsflöde steg för steg för hur man hittar dessa lösningar. Den beräknar också diskriminanten för att tydligt demonstrera om den är positiv, negativ eller noll.

Praktiska exempel

Exempel 1 (med reella rötter)

Låt oss lösa följande andragradsekvation:

2x²+3x-2=0

I det här exemplet är

a=2,b=3,c=-2.

Om vi använder lösningsformeln med dessa värden får vi:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Diskriminanten för den här ekvationen är positiv,

b²-4ac=25>0

Därför har ekvationen två reella rötter.

Nu förenklar vi rotuttrycket:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ och\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ och\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ och\ \ \ x=-2$$

Slutligen

x=0.5

x=-2

Exempel 2 (med komplexa rötter)

Låt oss lösa följande andragradsekvation:

x²+2x+5=0

I det här exemplet är

a=1,b=2,c=5

Om vi använder lösningsformeln med dessa värden får vi:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Diskriminanten för den här ekvationen är negativ,

b²-4ac=-16<0

Därför har ekvationen två komplexa rötter.

Nu förenklar vi rotuttrycket:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Slutligen,

x=-1+2i

x=-1-2i

Exempel 3 (med en rot)

Låt oss lösa följande andragradsekvation:

3x²+6x+3=0

I det här exemplet är

a=3,b=6,c=3

Om vi använder lösningsformeln med dessa värden får vi:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Diskriminanten för den här ekvationen är noll, b²-4ac=0. Därför har ekvationen exakt en rot.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Slutligen,

x=-1

Härledning av lösningsformeln

Som vi visat i exemplen ovan kan du tryggt använda lösningsformeln för att lösa absolut alla andragradsekvationer, oavsett om diskriminanten är positiv, negativ eller noll. Men varifrån kommer den här formeln? Att förstå de grundläggande principerna för dess härledning är otroligt hjälpsamt, särskilt om du någonsin glömmer bort själva formeln.

Härledningsprocessen är relativt enkel och bygger på en klassisk algebraisk teknik som kallas "kvadratkomplettering". För att härleda rötterna till en andragradsekvation på standardformen ax²+bx+c=0, följer du dessa systematiska steg:

1. Vi börjar med standardekvationen:

ax²+bx+c=0

Flytta konstanten C till höger sida av ekvationen:

ax²+bx=-c

2. Eliminera koefficienten A intill x²-termen. För att göra detta delar du hela ekvationen med A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Addera

$$(\frac{b}{2a})^2$$

till båda sidor av ekvationen:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Den vänstra sidan utgör nu ett perfekt kvadratiskt trinom på formen

x²+2dx+d²

Detta uttryck kan smidigt skrivas om som

(x+d)²

I vår ekvation uttrycks d som

$$\frac{b}{2a}$$

Så:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Sätt in detta på vänster sida i vår ekvation och lämna höger sida oförändrad tills vidare:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Nu förekommer variabeln x endast en gång i hela ekvationen.

5. Dra roten ur på båda sidor av ekvationen:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Isolera x genom att flytta \$\frac{b}{2a}\$ till höger sida av ekvationen:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Multiplicera höger sida av ekvationen med

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Förenkla det resulterande uttrycket:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Som ett resultat landar vi i standardformeln (abc-formeln) för andragradsekvationer:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Intressanta fakta om andragradsekvationer

• Summan av de två rötterna till en andragradsekvation är alltid lika med

$$\frac{-b}{a}$$

Följaktligen, om diskriminanten b²-4ac är noll, kan du snabbt hitta ekvationens enda dubbelrot genom att använda

$$\frac{-b}{2a}$$

• Produkten av de två rötterna i en andragradsekvation är exakt lika med

$$\frac{c}{a}$$

• Termen "kvadratisk" härstammar från det latinska ordet quadratus, som betyder "kvadrat" eller "fyrkant". Ekvationen fick detta namn eftersom variabelns högsta potens är 2, vilket betyder att den inledande variabeln är "kvadrerad" (upphöjd till två).

• Lösningsformeln i sin nuvarande form dokumenterades redan år 628 e.Kr. av den briljante indiske matematikern Brahmagupta. Intressant nog använde han inga moderna symboler; istället förklarade han den matematiska lösningen helt med ord. Brahmagupta detaljerade också endast en av de två möjliga lösningarna och utelämnade det avgörande ±-tecknet före kvadratroten.

• Den grafiska representationen av en andragradsfunktion y=ax²+bx+c bildar en kurvform som kallas en parabel. Andragradsekvationens lösningar, eller rötter, representerar de exakta koordinaterna där parabeln skär x-axeln (nollställen). Om ekvationen har två reella rötter korsar grafen x-axeln två gånger. Om det bara finns en reell rot nuddar parabelns vändpunkt (vertex) x-axeln vid sin max- eller minimipunkt. Om ekvationen har komplexa rötter skär parabeln överhuvudtaget aldrig x-axeln.

• När värdet på den inledande koefficienten, A, närmar sig noll blir grafen för motsvarande parabel allt plattare och övergår så småningom till en rät linje. Naturligtvis, när a=0 reduceras ekvationen helt enkelt till en linjär ekvation, och dess graf blir en helt rät linje!

• Koefficienten A dikterar också parabelns övergripande riktning. När a>0 är parabeln öppen uppåt i en "U"-form (en så kallad "glad mun"). Omvänt, om a<0 är parabeln öppen nedåt ("ledsen mun"). Och som nämnts, om a=0 plattas "parabeln" ut helt till en rät linje.

Andragradsekvationer används i stor utsträckning inom alla vetenskapliga discipliner. Inom fysiken är de till exempel viktiga matematiska verktyg som används för att beräkna kastbanor, modellera kinematik och exakt beskriva projektilrörelser.