Calculadora de Fórmula Quadrática

Como usar a Calculadora de Equação do 2º Grau (Fórmula Quadrática)

Nossa calculadora de equação do 2º grau é uma ferramenta prática e intuitiva, projetada para resolver equações quadráticas em segundos. Na álgebra, uma equação do segundo grau é qualquer equação que possa ser expressa na seguinte forma padrão:

ax²+bx+c=0

onde:

a≠0

Para usar nossa calculadora da fórmula de Bhaskara, basta inserir os coeficientes de a, b e c nos campos correspondentes e clicar em "Calcular". Lembre-se de que o valor de a não pode ser igual a zero, mas para b e c, zero é uma entrada perfeitamente aceitável. Seja para encontrar raízes reais ou complexas, a calculadora utilizará a fórmula quadrática para determinar todas as soluções possíveis para a sua equação. Além de aplicar a fórmula passo a passo, a ferramenta também simplificará o radical resultante, entregando as raízes na sua forma mais reduzida e exata.

Como resolver equações do 2º grau usando a Fórmula de Bhaskara

Você pode resolver qualquer equação quadrática facilmente aplicando a fórmula quadrática (também conhecida no Brasil como Fórmula de Bhaskara). Para utilizá-la, o primeiro passo é organizar a equação na sua forma padrão: ax²+bx+c=0. Em seguida, as soluções (ou raízes) podem ser encontradas através da seguinte fórmula:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

A expressão matemática que fica dentro da raiz quadrada, b²-4ac, é chamada de discriminante (frequentemente representado pela letra grega Delta, $\Delta$).

• Se o discriminante for positivo, b²-4ac>0, a equação terá duas raízes reais e distintas.
• Se o discriminante for negativo, b²-4ac<0, a equação terá duas raízes complexas conjugadas, pois a raiz quadrada de um número negativo resulta em um número complexo.
• Se o discriminante for igual a zero, b²-4ac=0, a equação terá apenas uma raiz real (ou duas raízes reais iguais).

Nossa calculadora de equações do 2º grau não apenas exibe o resultado final, mas também mostra todo o passo a passo (fluxo de resolução) para chegar até as raízes. Além disso, ela calcula o valor do discriminante automaticamente e indica se ele é positivo, negativo ou nulo.

Exemplos práticos

Exemplo 1 (com raízes reais)

Vamos resolver a seguinte equação quadrática:

2x²+3x-2=0

Neste exemplo a=2,b=3,c=-2.

Aplicando a fórmula quadrática com estes valores, obtemos o seguinte passo a passo:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Como o discriminante desta equação é positivo, b²-4ac=25>0, a equação possui duas raízes reais.

Agora, vamos simplificar o radical resultante e encontrar os valores de x:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ e\ \ \ x=\ \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ e\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ e\ \ \ x=-2$$

Finalmente,

x=0,5

x=-2

Exemplo 2 (com raízes complexas)

Vamos resolver a seguinte equação quadrática:

x²+2x+5=0

Neste exemplo a=1,b=2,c=5.

Aplicando a fórmula quadrática a estes valores, obtemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Como o discriminante desta equação é negativo, b²-4ac=-16<0, a equação possui duas raízes complexas.

Simplificando o radical resultante com a unidade imaginária i:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Finalmente,

x=-1+2i

x=-1-2i

Exemplo 3 (com uma raiz)

Vamos resolver a seguinte equação quadrática:

3x²+6x+3=0

Neste exemplo a=3,b=6,c=3.

Aplicando a fórmula quadrática:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

O discriminante (Delta) desta equação é igual a zero, b²-4ac=0, portanto, a equação terá apenas uma raiz real.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Finalmente,

x=-1

Dedução da fórmula quadrática

Como vimos nos exemplos acima, você pode usar a fórmula de Bhaskara para resolver absolutamente qualquer equação do 2º grau, independentemente de o discriminante ser positivo, negativo ou igual a zero. Mas de onde vem essa fórmula? Vamos investigar como ela foi deduzida.

Conhecer os princípios matemáticos por trás da dedução da fórmula pode ser extremamente útil, especialmente se você esquecê-la durante uma prova. O método de dedução da fórmula quadrática é bastante lógico e baseia-se na técnica de completar quadrados. Para deduzir a fórmula que resolve a equação padrão ax²+bx+c=0, siga os passos matemáticos abaixo:

1. Partimos da equação padrão:

ax²+bx+c=0

Movemos a constante C para o lado direito da igualdade:

ax²+bx=-c

2. Isolamos o termo quadrático x² removendo o coeficiente A. Para fazer isso, dividimos toda a equação por A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Adicionamos

$$(\frac{b}{2a})^2$$

a ambos os lados da equação para completar o quadrado perfeito:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. O lado esquerdo agora tem o formato de um trinômio perfeito x²+2dx+d². Esta expressão pode ser fatorada e reescrita como (x+d)².

Na nossa equação, d é representado por:

$$\frac{b}{2a}$$

Portanto:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Substituímos essa fatoração no lado esquerdo da nossa equação e mantemos o lado direito inalterado por enquanto:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Observe que agora a variável x aparece apenas uma vez na equação.

5. Extraímos a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Movemos o termo $\frac{b}{2a}$ para o lado direito da equação, isolando o x:

$$x=-\frac{b}{2a} ± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Ajustamos os termos do lado direito da equação multiplicando pelo fator necessário para igualar os denominadores:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Simplificamos a expressão resultante:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Como resultado, obtemos a famosa fórmula quadrática (Fórmula de Bhaskara):

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Curiosidades e fatos interessantes sobre a equação quadrática

• A soma das duas raízes de uma equação quadrática (Relações de Girard) é sempre igual a:

$$\frac{-b}{a}$$

Consequentemente, se o discriminante (Delta) da equação b²-4ac for igual a zero, a única raiz real da equação pode ser rapidamente calculada através de:

$$\frac{-b}{2a}$$

• O produto das duas raízes de uma equação do 2º grau é sempre igual a:

$$\frac{c}{a}$$

• O termo “quadrático” deriva da palavra latina “quadratus”, que significa “quadrado”. A equação recebe esse nome porque a maior potência da variável desconhecida é 2, ou seja, a variável está elevada ao “quadrado”.

• No Brasil, a fórmula é popularmente conhecida como Fórmula de Bhaskara, em homenagem ao matemático indiano Bhaskara Akaria. No entanto, historicamente, a fórmula em sua forma rudimentar foi descrita já em 628 d.C. pelo também matemático indiano Brahmagupta. Ele não utilizava símbolos algébricos, mas sim discutia a solução através de palavras, descrevendo apenas uma das raízes possíveis e omitindo o importante sinal de ± antes da raiz quadrada.

• O gráfico de uma função quadrática y=ax²+bx+c é sempre uma parábola. As soluções (raízes) da equação representam exatamente as coordenadas onde a parábola cruza (intercepta) o eixo x do plano cartesiano. Se a equação tiver duas raízes reais, a parábola cruza o eixo x em dois pontos distintos. Se tiver apenas uma raiz, o vértice da parábola apenas toca o eixo x em seu ponto máximo ou mínimo. Já se a equação não possuir raízes reais, a parábola flutua no gráfico e não intercepta o eixo x em nenhum momento.

• Quando o valor do coeficiente a (que acompanha o termo quadrado) se aproxima de zero, a concavidade da parábola vai se tornando cada vez mais aberta e plana. Se a=0, a equação deixa de ser do 2º grau e se torna uma equação linear, cujo gráfico é uma linha reta perfeita!

• O sinal do coeficiente a determina a direção da parábola: se a>0 (positivo), a concavidade da parábola é voltada para cima (formando um sorriso). Se a<0 (negativo), a concavidade é voltada para baixo. E, como mencionado, se a=0, ela se degenera em uma reta plana.

As equações do 2º grau são amplamente utilizadas em diversas áreas da ciência e do cotidiano. Na física, por exemplo, as equações quadráticas são essenciais na cinemática para calcular e descrever a trajetória e o movimento de projéteis.