Calculadora de fórmula cuadrática

Cómo utilizar la calculadora de fórmula cuadrática

Esta calculadora en línea es una herramienta muy fácil de usar para resolver ecuaciones cuadráticas (también conocidas como ecuaciones de segundo grado). En el álgebra, una ecuación cuadrática es aquella que puede expresarse de la siguiente forma:

ax²+bx+c=0

donde:

a≠0

Para utilizar esta calculadora de ecuaciones cuadráticas, simplemente ingrese los coeficientes a, b y c en sus campos correspondientes y presione "Calcular". Tenga en cuenta que el valor de a no puede ser cero, mientras que para b y c, el cero sí es un valor aceptable. Ya sea que se trate de raíces reales o complejas, la calculadora aplicará la fórmula general para determinar todas las soluciones de la ecuación ingresada. Además de aplicar la fórmula cuadrática, nuestra herramienta simplificará el radical resultante para mostrarle las soluciones paso a paso en su forma más reducida.

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas usando la fórmula general

Es posible resolver cualquier ecuación de segundo grado utilizando la fórmula cuadrática. Para aplicarla, primero debe asegurarse de que la ecuación esté ordenada en su forma estándar: ax²+bx+c=0. Una vez estructurada de esta manera, las soluciones se calculan mediante la siguiente expresión:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

A la expresión que se encuentra dentro de la raíz cuadrada, b²-4ac, se le conoce como discriminante.

• Si el discriminante es positivo (b²-4ac>0), la ecuación tendrá dos raíces reales distintas.
• Si el discriminante es negativo (b²-4ac<0), la ecuación tendrá dos raíces complejas, dado que la raíz cuadrada de un número negativo da como resultado un número imaginario o complejo.
• Si el discriminante es igual a cero (b²-4ac=0), la ecuación tendrá una única raíz real (raíz doble).

Nuestra calculadora de ecuaciones de segundo grado no solo muestra el resultado final, sino también el desarrollo paso a paso para hallar dichas soluciones. Asimismo, calcula el valor del discriminante y le indica claramente si este es positivo, negativo o igual a cero.

Ejemplos prácticos

Ejemplo 1 (con raíces reales)

Resolvamos la siguiente ecuación cuadrática:

2x²+3x-2=0

En este ejemplo, los coeficientes son a=2, b=3, c=-2.

Al aplicar la fórmula cuadrática con estos valores, obtenemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

El discriminante de esta ecuación es positivo (b²-4ac=25>0); por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces reales.

A continuación, simplificamos el radical resultante:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ y\ \ \ x=\ \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ y\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ y\ \ \ x=-2$$

Finalmente, obtenemos las soluciones:

x=0,5

x=-2

Ejemplo 2 (con raíces complejas)

Resolvamos la siguiente ecuación cuadrática:

x²+2x+5=0

En este ejemplo, los coeficientes son a=1, b=2, c=5.

Al sustituir estos valores en la fórmula cuadrática, obtenemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

El discriminante de esta ecuación es negativo (b²-4ac=-16<0); por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces complejas.

A continuación, procedemos a simplificar el radical:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Finalmente, las soluciones son:

x=-1+2i

x=-1-2i

Ejemplo 3 (con una raíz)

Resolvamos la siguiente ecuación de segundo grado:

3x²+6x+3=0

En este ejemplo, los coeficientes son a=3, b=6, c=3.

Aplicando la fórmula general, obtenemos:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

El discriminante de esta ecuación es igual a cero, $(x₁\neq x₂)$ b²-4ac=0; por lo tanto, la ecuación tiene una única raíz real.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Finalmente:

x=-1

Deducción de la fórmula cuadrática

Como hemos visto, es posible utilizar la fórmula general para resolver absolutamente cualquier ecuación de segundo grado, sin importar si su discriminante es positivo, negativo o cero. Ahora analizaremos cómo se deduce esta expresión. Conocer los principios matemáticos detrás de la deducción de la fórmula es sumamente útil, especialmente si alguna vez olvida la ecuación exacta.

El proceso para deducir la fórmula cuadrática es bastante lógico y se basa en el método algebraico de "completar el cuadrado". Para obtener las soluciones generales a partir de la ecuación en su forma estándar ax²+bx+c=0, simplemente siga estos pasos:

1. Partimos de la ecuación original:

ax²+bx+c=0

Pasamos la constante c al lado derecho de la igualdad:

ax²+bx=-c

2. Ahora, eliminamos el coeficiente a que acompaña al término cuadrático x². Para lograrlo, dividimos toda la ecuación entre a:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Sumamos el siguiente término:

$$(\frac{b}{2a})^2$$

a ambos lados de la ecuación para completar el trinomio cuadrado perfecto:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. El lado izquierdo de la igualdad ahora tiene la forma x²+2dx+d². Esta expresión es un trinomio cuadrado perfecto y puede reescribirse como un binomio al cuadrado: (x+d)².

En nuestro caso, d está representado por $\frac{b}{2a}$.

Por lo tanto:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Sustituimos esto en el lado izquierdo de nuestra ecuación, dejando el lado derecho intacto por el momento:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

De esta forma, la incógnita x aparece una sola vez en toda la ecuación.

5. Extraemos la raíz cuadrada en ambos lados de la igualdad:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Movemos el término:

$$\frac{b}{2a}$$

hacia el lado derecho de la ecuación para despejar x:

$$x=-\frac{b}{2a} ± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Multiplicamos el lado derecho de la ecuación por el factor:

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Simplificamos la expresión obtenida:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Finalmente, reorganizando los términos, obtenemos la fórmula cuadrática general:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Datos interesantes sobre la ecuación cuadrática

• La suma de las dos raíces de cualquier ecuación cuadrática es igual a:

$$\frac{-b}{a}$$

En consecuencia, si el discriminante (b²-4ac) es igual a cero, la única raíz de la ecuación puede hallarse directamente con la fórmula:

$$\frac{-b}{2a}$$

• El producto de las dos raíces de una ecuación cuadrática es:

$$\frac{c}{a}$$

• El término "cuadrático" proviene de la palabra latina quadratus, que significa "cuadrado". A estas ecuaciones se les llama así porque la potencia más alta a la que se eleva la variable independiente (generalmente x) es 2; es decir, la variable está "al cuadrado".

• La fórmula cuadrática, tal como la conocemos en su forma actual, fue descrita en el año 628 d. C. por el matemático y astrónomo indio Brahmagupta. Curiosamente, no utilizó símbolos algebraicos, sino que explicó la solución mediante palabras. Sin embargo, Brahmagupta solo describió una de las dos soluciones posibles, omitiendo el crucial signo ± antes de la raíz cuadrada.

• La gráfica de una función cuadrática y=ax²+bx+c es siempre una parábola. Las soluciones (o raíces) de la ecuación representan, en realidad, las coordenadas de los puntos donde la gráfica interseca al eje x. Si la ecuación tiene dos raíces reales, la parábola cruza el eje x en dos puntos distintos. Si tiene una sola raíz real, la gráfica únicamente toca el eje x en su vértice (ya sea su punto máximo o mínimo). Por último, si la ecuación no tiene raíces reales, la parábola nunca llega a tocar ni a intersecar el eje x.

• Cuando el valor del coeficiente del término cuadrático (a) se aproxima a cero, la gráfica de la parábola se vuelve cada vez más plana. Eventualmente, si a=0, la ecuación deja de ser cuadrática y se convierte en una ecuación lineal, cuya representación gráfica es, lógicamente, una línea recta.

• Por otro lado, el signo de a determina la orientación de la gráfica: si a>0, la parábola se abrirá hacia arriba (en forma de "U"); si a<0, la parábola se abrirá hacia abajo; y como se mencionó antes, si a=0, la figura resulta ser completamente plana, formando una línea recta.

Las ecuaciones cuadráticas son herramientas fundamentales y se utilizan ampliamente en casi todas las áreas de las ciencias exactas. En la física, por ejemplo, son indispensables para calcular trayectorias y describir con precisión el movimiento parabólico de un proyectil en caída libre.