Máy tính công thức bậc hai

Cách sử dụng máy tính công thức bậc hai

Máy tính này là một công cụ dễ sử dụng để giải các phương trình bậc hai. Trong đại số, phương trình bậc hai là bất kỳ phương trình nào có thể được viết dưới dạng sau:

ax²+bx+c=0

trong đó

a≠0

Để sử dụng máy tính công thức bậc hai này, bạn hãy nhập các giá trị A, B và C vào các trường tương ứng và nhấn "Tính toán" (Calculate). Giá trị của A không thể bằng 0, còn B và C có thể bằng 0. Đối với các nghiệm thực và nghiệm phức, máy tính này sẽ sử dụng công thức bậc hai để xác định tất cả các nghiệm của một phương trình đã cho. Sau khi sử dụng công thức bậc hai, máy tính cũng sẽ đơn giản hóa căn thức thu được để tìm nghiệm ở dạng đơn giản nhất.

Giải phương trình bậc hai bằng công thức bậc hai

Bạn có thể giải bất kỳ một phương trình bậc hai nào bằng công thức bậc hai. Để sử dụng công thức bậc hai, trước tiên bạn phải đưa phương trình đã cho về dạng sau: ax²+bx+c=0. Khi đó, các nghiệm có thể được tìm thấy như sau:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Phần b²-4ac của phương trình dưới căn bậc hai được gọi là biệt thức.

• Nếu biệt thức dương, b²-4ac>0, phương trình sẽ có hai nghiệm thực.
• Nếu biệt thức âm, b²-4ac<0, phương trình sẽ có hai nghiệm phức vì căn bậc hai của số âm là số phức.
• Nếu biệt thức bằng 0, b²-4ac=0, phương trình sẽ chỉ có một nghiệm.

Công cụ máy tính phương trình bậc hai sẽ hiển thị nghiệm của các phương trình đã nhập và quy trình tìm các nghiệm này. Máy tính cũng sẽ tính toán biệt thức và chứng minh nó dương, âm hay bằng 0.

Ví dụ

Ví dụ 1 (2 nghiệm thực)

Hãy giải phương trình bậc hai này:

2x²+3x-2=0

Trong ví dụ này

a=2,b=3,c=-2.

Sử dụng công thức bậc hai cho các giá trị này, chúng ta nhận được:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Biệt thức của phương trình này là dương,

b²-4ac=25>0

Do đó, phương trình sẽ có hai nghiệm thực.

Bây giờ hãy đơn giản hóa căn thức kết quả:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ và\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ và\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ và\ \ \ x=-2$$

Đáp án

x=0,5

x=-2

Ví dụ 2 (2 nghiệm phức)

Hãy giải phương trình bậc hai sau:

x²+2x+5=0

Trong ví dụ này

a=1,b=2,c=5

Sử dụng công thức bậc hai cho các giá trị này, chúng ta nhận được:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Biệt thức của phương trình này là âm,

b²-4ac=-16<0

Do đó, phương trình sẽ có hai nghiệm phức.

Bây giờ hãy đơn giản hóa căn thức kết quả:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Đáp án,

x=-1+2i

x=-1-2i

Ví dụ 3 (1 nghiệm duy nhất)

Hãy giải phương trình bậc hai sau:

3x²+6x+3=0

Trong ví dụ này

a=3,b=6,c=3

Sử dụng công thức bậc hai cho các giá trị này, chúng ta nhận được:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Biệt thức của phương trình này bằng 0, b²-4ac=0. Do đó, phương trình sẽ có một nghiệm duy nhất.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Đáp án,

x=-1

Đạo hàm của công thức bậc hai

Như đã trình bày ở trên, bạn có thể sử dụng công thức bậc hai để giải bất kỳ một phương trình bậc hai nào, bất kể biệt thức là dương, âm hay bằng 0. Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu làm thế nào nó có thể giải được phương trình bậc hai. Biết các nguyên tắc cơ bản của việc suy ra công thức có thể rất hữu ích trong trường hợp bạn quên công thức đó.

Thuật toán đạo hàm công thức bậc hai tương đối đơn giản và dựa trên quy trình giải phương trình bậc hai. Để rút ra nghiệm của phương trình bậc hai tiêu chuẩn ax²+bx+c=0, bạn cần làm theo các bước dưới đây:

1. Chúng ta có phương trình:

ax²+bx+c=0

Di chuyển hằng số c sang vế phải của phương trình:

ax²+bx=-c

2. Bỏ hệ số A bên cạnh số hạng bình phương x². Để làm điều này, hãy chia phương trình cho A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Cộng

$$(\frac{b}{2a})^2$$

cả hai vế của phương trình:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Vế trái bây giờ có dạng

x²+2dx+d²

Biểu thức này có thể được viết lại thành

(x+d)²

Trong phương trình của chúng ta, d được biểu thị bằng

$$\frac{b}{2a}$$

Vì vậy:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Thay thế phần này vào phía bên trái của công thức của chúng ta và giữ nguyên phía bên phải:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Bây giờ nghiệm x chỉ xuất hiện một lần trong phương trình.

5. Xuất căn bậc hai từ cả hai phần của phương trình:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Di chuyển $\frac{b}{2a}$ sang vế phải của phương trình:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Nhân vế phải của phương trình với

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Rút gọn phương trình:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. Kết quả là chúng ta nhận được một công thức bậc hai:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Sự thật thú vị về phương trình bậc hai

• Tổng hai nghiệm của phương trình bậc hai là

$$\frac{-b}{a}$$

Do đó, nếu biệt thức của phương trình bậc hai b²-4ac bằng 0, bạn có thể tìm nghiệm duy nhất của phương trình là

$$\frac{-b}{2a}$$

• Tích của hai nghiệm của phương trình bậc hai là

$$\frac{c}{a}$$

• Thuật ngữ "bậc hai" xuất phát từ tiếng Latin "quadratus", có nghĩa là "hình vuông". Phương trình được gọi là bậc hai vì lũy thừa cao nhất của biến là 2, tức là "bình phương".

• Công thức bậc hai hiện tại đã được mô tả từ rất sớm, vào năm 628 sau Công Nguyên, bởi nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta, người không sử dụng các ký hiệu mà thay vào đó bàn luận về giải pháp bằng từ ngữ. Tuy nhiên, Brahmagupta chỉ mô tả một trong hai giải pháp có thể có, bỏ qua dấu ± quan trọng trước căn bậc hai.

• Đồ thị của một hàm bậc hai y=ax²+bx+c là một đường cong chữ U, được gọi là đồ thị của một parabol. Các nghiệm của phương trình bậc hai thực ra chính là tọa độ của các điểm giao cắt của đồ thị với trục hoành x. Nếu phương trình có hai nghiệm thực, đồ thị cắt trục hoành x hai lần. Nếu phương trình chỉ có một nghiệm, đồ thị của parabol tương ứng chỉ tiếp xúc với trục hoành x tại giá trị cực đại hoặc cực tiểu của nó. Nếu phương trình không có nghiệm thực, đồ thị của parabol tương ứng không giao cắt trục hoành x.

• Khi giá trị của hệ số A (theo số hạng bình phương) tiến tới 0 thì đồ thị của parabol tương ứng trở nên phẳng hơn, cuối cùng có xu hướng trở thành một đường thẳng. Khi a=0, phương trình trở thành tuyến tính và biểu diễn bằng đồ họa của nó rõ ràng là một đường thẳng!

• Tương tự, khi a>0 thì parabol hướng lên trên. Nếu a<0, parabol tương ứng sẽ mở xuống dưới. Nếu a=0, "parabol" là phẳng, tức nó là một đường thẳng.

Phương trình bậc hai được sử dụng rộng rãi trong mọi lĩnh vực khoa học. Ví dụ, trong vật lý, phương trình bậc hai được sử dụng để mô tả chuyển động của vật được ném đi.