द्विघात सूत्र गणक

द्विघात सूत्र गणक का उपयोग करना

यह गणक उपयोग में आसान एक उपकरण है जो द्विघात समीकरणों को हल करता है। बीजगणित में, द्विघात समीकरण कोई भी ऐसे समीकरण होता है जिसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

ax²+bx+c=0

जहाँ

a≠0

द्विघात सूत्र गणक का उपयोग करने के लिए, संबंधित जगह में A, B, और C के मान दर्ज करें और "गणना करें" दबाएं। A का मान शून्य के बराबर नहीं हो सकता, जबकि शून्य B और C के लिए एक स्वीकार्य इनपुट है। वास्तविक और जटिल जड़ों के लिए, गणक किसी दिए गए समीकरण के सभी समाधानों को निर्धारित करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करेगा। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बाद, गणक परिणामी मूलक को उनके सरलतम रूप में हल खोजने के लिए भी सरल करेगा।

द्विघात सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरणों को हल करना

आप द्विघात सूत्र से किसी भी द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको पहले दिए गए समीकरण को निम्न रूप में लाना चाहिए: ax²+bx+c=0। फिर, समाधान निम्नानुसार पाया जा सकता है:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

वर्गमूल के अंदर समीकरण के भाग को b²-4ac, विवेचक कहा जाता है।

• यदि विवेचक धनात्मक है, तो b²-4ac>0, समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।
• यदि विवेचक ऋणात्मक है, b²-4ac<0, तो समीकरण के दो सम्मिश्र मूल होंगे क्योंकि ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल एक सम्मिश्र संख्या है।
• यदि विवेचक शून्य के बराबर है, तो b²-4ac=0, समीकरण का केवल एक मूल होगा।

द्विघात समीकरण गणक दर्ज किए गए समीकरणों के समाधान और इन समाधानों को खोजने के कार्यप्रवाह को प्रदर्शित करेगा। गणक विवेचक की गणना भी करेगा और दिखायेगा कि यह धनात्मक है, ऋणात्मक है, या शून्य के बराबर है।

व्यावहारिक उदाहरण

उदाहरण 1 (वास्तविक मूलों के साथ)

आइए द्विघात समीकरण को हल करें:

2x²+3x-2=0

इस उदाहरण में a=2,b=3,c=-2.

इन मानों के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

इस समीकरण का विवेचक धनात्मक है, b²-4ac=25>0। इसलिए, समीकरण के दो वास्तविक मूल होंगे।

अब परिणाम में आये मूलक को सरल बनाते हैं:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ and\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ and\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ and\ \ \ x=-2$$

आखिरकार

x=0.5

x=-2

उदाहरण 2 (जटिल मूलो के साथ)

आइए निम्नलिखित द्विघात समीकरण को हल करें:

x²+2x+5=0

इस उदाहरण में a=1,b=2,c=5.

इन मानों के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए, हमे प्राप्त होता हैं:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

इस समीकरण का विवेचक ऋणात्मक है, b²-4ac=-16<0। इसलिए, समीकरण के दो जटिल मूल होंगे।

अब परिणाम में आये मूलक को सरल बनाते हैं:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

आखिरकार,

x=-1+2i

x=-1-2i

उदाहरण 3 (एक मूल के साथ)

आइए निम्नलिखित द्विघात समीकरण को हल करें:

3x²+6x+3=0

इस उदाहरण में a=3,b=6,c=3.

इन मानों के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करते हुए, हमे प्राप्त होता हैं:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

इस समीकरण का विवेचक शून्य के बराबर है, $(x₁\neq x₂)$ b²-4ac=0। इसलिए समीकरण का एक मूल होगा।

$$x=\frac{-6}{6}$$

आखिरकार,

x=-1

द्विघात सूत्र की व्युत्पत्ति

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, आप किसी भी द्विघात समीकरण को हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, भले ही विवेचक सकारात्मक हो, नकारात्मक हो या शून्य के बराबर हो। अब आइए देखें कि इसे कैसे प्राप्त किया जा सकता है। यदि आप सूत्र को ही भूल जाते हैं तो सूत्र व्युत्पत्ति के मूल सिद्धांतों को जानना बहुत उपयोगी हो सकता है।

द्विघात सूत्र व्युत्पत्ति का एल्गोरिथ्म अपेक्षाकृत सरल है और वर्ग को पूरा करने की प्रक्रिया पर आधारित है। मानक द्विघात समीकरण $ax² bx c=0$ के समाधान प्राप्त करने के लिए, आपको नीचे दिए गए चरणों का पालन करना होगा:

1. हमारे पास एक समीकरण है:

ax²+bx+c=0

स्थिरांक C को समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ:

ax²+bx=-c

2. वर्ग पद x² के आगे गुणांक A से छुटकारा पाएं। ऐसा करने के लिए, समीकरण को A से विभाजित करें:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. समीकरण के दोनों तरफ $(\frac{b}{2a})^2$ जोड़ें:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. बाईं ओर अब $x² 2dx d^2$ का रूप है। इस अभिव्यक्ति को $(x d)^2$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।

हमारे समीकरण में, d को

$$\frac{b}{2a}$$

के रूप में व्यक्त किया जाता है।

इसलिए:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

इसे हमारे सूत्र के बाएं हाथ की ओर में बदलें, और दाहिने हाथ की ओर को अभी के लिए अछूता छोड़ दें:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

अब मूल x समीकरण में केवल एक बार दिखाई देता है।

5. समीकरण के दोनों हिस्सों से वर्गमूल निकालें:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

$$\frac{b}{2a}$$

को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. समीकरण के दाएँ ओर को

$$\frac{2a}{2a}$$

से गुणा करें:

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. समीकरण को सरल कीजिए:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. परिणामस्वरूप, हमें एक द्विघात सूत्र प्राप्त होता है:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

द्विघात समीकरण के बारे में रोचक तथ्य

• द्विघात समीकरण के दो मूलों का योग

$$\frac{-b}{a}$$

होता है। नतीजतन, यदि द्विघात समीकरण b²-4ac का विवेचक शून्य के बराबर है, तो आप समीकरण का एकमात्र मूल

$$\frac{-b}{2a}$$

के रूप में पा सकते हैं।

• द्विघात समीकरण के दो मूलों का गुणनफल

$$\frac{c}{a}$$

होता है।

• शब्द "क्वाड्रटिक" लैटिन शब्द "क्वाड्रैटस" से आया है, जिसका अर्थ है "वर्ग।" समीकरण को द्विघात कहा जाता था क्योंकि चर की उच्चतम घात 2 है, अर्थात चर "वर्ग" है।

• अपने वर्तमान आकार में द्विघात सूत्र का वर्णन भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा 628 ईस्वी में किया गया था, जिन्होंने प्रतीकों का उपयोग नहीं किया, बल्कि शब्दों का उपयोग करके समाधान पर चर्चा की। हालांकि, ब्रह्मगुप्त ने वर्गमूल से पहले महत्वपूर्ण ± चिह्न को छोड़कर, दो संभावित समाधानों में से केवल एक का वर्णन किया।

• द्विघात फलन का आलेख $y=ax² bx c$ एक परवलय है। द्विघात समीकरण के समाधान, या मूल, वास्तव में x-अक्ष के साथ आलेख के अवरोधों के निर्देशांक हैं। यदि समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, तो आलेख x-अक्ष को दो बार प्रतिच्छेद करता है। यदि समीकरण का केवल एक मूल है, तो संगत परवलय का आलेख केवल x-अक्ष को उसके अधिकतम या न्यूनतम पर स्पर्श करता है। यदि समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, तो संबंधित परवलय का आलेख x-अक्ष को बिलकुल प्रतिच्छेद नहीं करता है।

• जब वर्ग पद से गुणांक का मान, A, शून्य के करीब पहुंच जाता है, तो संबंधित परवलय का आलेख सपाट हो जाता है, आखिरकार एक सीधी रेखा बनने की प्रवृत्ति होती है। जब a=0, समीकरण रैखिक हो जाता है, और इसका चित्रमय प्रतिनिधित्व स्पष्ट रूप से एक सीधी रेखा है!

• इसी तरह, जब a>0, परवलय ऊपर की ओर होगा। यदि a<0, तो संबंधित परवलय नीचे की ओर खुलेगा। यदि a=0, "परवलय" समतल है, अर्थात, यह एक सीधी रेखा है।

विज्ञान के सभी क्षेत्रों में द्विघात समीकरणों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, भौतिकी में, प्रक्षेप्य गति का वर्णन करने के लिए द्विघात समीकरणों का उपयोग किया जाता है।