Калькулятор коренів квадратного рівняння

Використання калькулятора квадратних рівнянь

Наш безкоштовний онлайн-калькулятор квадратних рівнянь — це потужний та зручний інструмент, створений для миттєвого й точного знаходження коренів. В алгебрі квадратним (або рівнянням другого степеня) називається будь-яке поліноміальне рівняння, яке можна записати у стандартному вигляді:

ax²+bx+c=0

де

a≠0

Щоб скористатися нашим покроковим калькулятором для розв'язання квадратних рівнянь, просто введіть коефіцієнти A, B та C у відповідні поля й натисніть кнопку «Обчислити». Зверніть увагу: коефіцієнт A не може дорівнювати нулю, тоді як для B і C нуль є цілком припустимим значенням. Незалежно від того, має ваше рівняння дійсні чи комплексні корені, наш інструмент застосовує класичну формулу квадратного рівняння для пошуку всіх можливих розв'язків. Більш того, калькулятор автоматично спрощує радикали (корені), видаючи кінцевий результат у максимально компактному та точному вигляді.

Розв'язання квадратних рівнянь за допомогою формули

Формула коренів квадратного рівняння — це універсальний алгебраїчний метод, що дозволяє розв'язати абсолютно будь-яке рівняння такого типу. Щоб скористатися цією формулою, спочатку необхідно звести задане рівняння до стандартного вигляду: ax²+bx+c=0. Після цього точні розв'язки обчислюються так:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Вираз під знаком квадратного кореня, b²-4ac, називається дискримінантом. Це ключовий показник, який визначає кількість та характер коренів:

• Якщо дискримінант додатний, b²-4ac>0, рівняння має два різні дійсні корені.
• Якщо дискримінант від'ємний, b²-4ac<0, рівняння має два комплексні корені (адже добування квадратного кореня з від'ємного числа дає уявне число).
• Якщо дискримінант дорівнює нулю, b²-4ac=0, рівняння має рівно один дійсний корінь (кратний корінь).

Наш калькулятор квадратних рівнянь не просто видає готові відповіді — він демонструє повний покроковий процес знаходження розв'язку. Інструмент також автоматично обчислює дискримінант, щоб наочно показати, є він додатним, від'ємним чи дорівнює нулю.

Практичні приклади

Приклад 1 (з дійсними коренями)

Розв'яжімо таке квадратне рівняння:

2x²+3x-2=0

У цьому прикладі

a=2,b=3,c=-2.

Використовуючи формулу коренів для цих значень, отримаємо:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-3±\sqrt{3^2-4(2)(-2)}}{2(2)}=\frac{-3±\sqrt{9--16}}{4}=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}$$

Дискримінант цього рівняння додатний,

b²-4ac=25>0

Отже, рівняння має два дійсні корені.

Тепер спростимо отриманий радикал:

$$x=\frac{-3±\sqrt{25}}{4}=\frac{-3±5}{4}$$

$$x=\frac{-3+5}{4}\ \ \ and\ \ \ x= \frac{-3-5}{4}$$

$$x=\frac{2}{4}\ \ \ and\ \ \ x=-\frac{8}{4}$$

$$x=\frac{1}{2}\ \ \ and\ \ \ x=-2$$

Остаточний результат:

x=0.5

x=-2

Приклад 2 (з комплексними коренями)

Розв'яжімо таке квадратне рівняння:

x²+2x+5=0

У цьому прикладі

a=1,b=2,c=5

Використовуючи формулу коренів для цих значень, отримаємо:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-2±\sqrt{2^2-4(1)(5)}}{2(1)}=\frac{-2±\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}$$

Дискримінант цього рівняння від'ємний,

b²-4ac=-16<0

Отже, рівняння має два комплексні корені.

Тепер спростимо отриманий радикал:

$$x=\frac{-2±\sqrt{-16}}{2}=\frac{-2±4i}{2}=\frac{-2}{2}±\frac{4i}{2}=-1±2i$$

Остаточний результат:

x=-1+2i

x=-1-2i

Приклад 3 (з одним коренем)

Розв'яжімо таке квадратне рівняння:

3x²+6x+3=0

У цьому прикладі

a=3,b=6,c=3

Використовуючи формулу коренів для цих значень, отримаємо:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}=\frac{-6±\sqrt{6^2-4(3)(3)}}{2(3)}=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{6}=\frac{-6±\sqrt0}{6}$$

Дискримінант цього рівняння дорівнює нулю, b²-4ac=0. Отже, рівняння має рівно один корінь.

$$x=\frac{-6}{6}$$

Остаточний результат:

x=-1

Виведення формули коренів квадратного рівняння

Як наочно демонструють приклади вище, формула коренів — це надійний інструмент для розв'язання абсолютно будь-якого квадратного рівняння, незалежно від того, чи є його дискримінант додатним, від'ємним або ж дорівнює нулю. Але як саме була створена ця формула? Розуміння фундаментальних принципів її виведення є надзвичайно корисним — особливо на випадок, якщо ви раптом забудете сам вираз.

Процес виведення відносно простий і базується на класичному алгебраїчному методі, відомому як «виділення повного квадрата». Щоб самостійно вивести формулу для стандартного рівняння ax²+bx+c=0, достатньо виконати такі послідовні кроки:

1. Почнемо зі стандартного рівняння:

ax²+bx+c=0

Перенесемо константу C у праву частину рівняння:

ax²+bx=-c

2. Усунемо коефіцієнт A біля члена у квадраті x². Для цього поділимо все рівняння на A:

$$x²+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

3. Додамо

$$(\frac{b}{2a})^2$$

до обох частин рівняння:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

4. Ліва частина тепер утворює повний квадратний тричлен у вигляді

x²+2dx+d²

Цей вираз можна зручно переписати як

(x+d)²

У нашому рівнянні d виражається як

$$\frac{b}{2a}$$

Отже:

$$x²+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2 = \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$$

Підставимо це назад у ліву частину нашої формули, поки що залишаючи праву частину без змін:

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2$$

Тепер змінна x фігурує у всьому рівнянні лише один раз.

5. Добудемо квадратний корінь з обох частин рівняння:

$$x+\frac{b}{2a}=± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

6. Ізолюємо x, перенісши $$\frac{b}{2a}$$ у праву частину рівняння:

$$x=-\frac{b}{2a}± \sqrt{-\frac{c}{a}+(\frac{b}{2a})^2}$$

7. Помножимо праву частину рівняння на

$$\frac{2a}{2a}$$

$$x=\frac{-b ± \sqrt{-\frac{c}{a} × (2a)^2 + (\frac{b}{2a})^2 × (2a)^2}}{2a}$$

8. Спростимо отриманий вираз:

$$x=\frac{-b±\sqrt{-4ac+b²}}{2a}$$

9. У результаті ми отримуємо стандартну формулу коренів квадратного рівняння:

$$x=\frac{-b±\sqrt{b²-4ac}}{2a}$$

Цікаві факти про квадратні рівняння

• Сума двох коренів квадратного рівняння завжди дорівнює

$$\frac{-b}{a}$$

Отже, якщо дискримінант b²-4ac дорівнює нулю, ви можете швидко знайти єдиний кратний корінь рівняння за допомогою

$$\frac{-b}{2a}$$

• Добуток двох коренів квадратного рівняння завжди становить

$$\frac{c}{a}$$

• Термін «квадратне» (від англ. quadratic) походить від латинського слова quadratus, що перекладається як «квадрат». Рівняння отримало таку назву саме тому, що найвищий степінь його змінної дорівнює 2 — тобто головна змінна завжди перебуває «у квадраті».

• Формула для розв'язання квадратних рівнянь була задокументована ще у 628 році нашої ери видатним індійським математиком Брахмагуптою. Цікаво, що він не використовував жодних сучасних символів: натомість увесь математичний процес був описаний винятково словами. Брахмагупта також деталізував лише один із двох можливих розв'язків, не врахувавши важливий знак ± перед квадратним коренем.

• Графічне зображення квадратичної функції y=ax²+bx+c завжди утворює криву, відому як парабола. Розв'язки (або корені) квадратного рівняння — це точні координати точок, де парабола перетинає вісь x (вісь абсцис). Якщо рівняння має два дійсні корені, графік перетинає вісь x двічі. Якщо дійсний корінь лише один, вершина параболи просто торкається осі x у точці свого максимуму чи мінімуму. А якщо корені комплексні, парабола взагалі не перетинає горизонтальну вісь.

• Що ближче значення старшого коефіцієнта A до нуля, то пологішим стає графік відповідної параболи, поступово перетворюючись на пряму лінію. І дійсно, коли a=0, наше рівняння з квадратного перетворюється на лінійне, а його графік стає ідеально прямою лінією!

• Крім того, коефіцієнт A визначає напрямок гілок параболи. Якщо a>0, парабола «відкривається» вгору, нагадуючи літеру «U». І навпаки, якщо a<0, гілки параболи спрямовані вниз. Як уже зазначалося, при a=0 «парабола» повністю вирівнюється.

Квадратні рівняння мають надзвичайно широке застосування в різних наукових дисциплінах. Наприклад, у фізиці вони є базовим математичним інструментом для обчислення просторових траєкторій, моделювання кінематичних процесів та точного опису руху тіл, кинутих під кутом до горизонту.