Калькулятор формули відстані

Легко та швидко обчислюйте відстань між двома точками на двовимірній (2D) координатній площині за допомогою нашого інтуїтивно зрозумілого онлайн-калькулятора відстані. Просто введіть координати будь-яких двох точок, і цей інструмент миттєво знайде точну відстань між ними. Оскільки найкоротший шлях між двома точками — це пряма лінія, наш сервіс чудово підходить і як калькулятор довжини відрізка.

Як користуватися калькулятором відстані

Цей інструмент дозволяє знайти точну відстань між Точкою 1 (X₁, Y₁) та Точкою 2 (X₂, Y₂). Щоб виконати розрахунок, введіть координати ваших точок у відповідні поля, дотримуючись цих простих вказівок:

• Використовуйте кому для розділення координат x та y кожної точки. Наприклад, якщо ви введете «4,5» у поле (X₁, Y₁), калькулятор зрозуміє це як Точку 1 з координатою x = 4 та координатою y = 5. Якщо ваша координата є десятковим дробом, використовуйте крапку для відокремлення цілої частини від дробової. Наприклад, введіть «4.5,7» для координати x = 4,5 та координати y = 7.
• Калькулятор підтримує як цілі, так і десяткові числа. Звичайні дроби (наприклад, 1/2) не підтримуються.
• Додавання пробілів між координатами не є обов'язковим, але ви можете використовувати їх для зручності читання (наприклад, варіанти «4, 5» та «4,5» є однаково правильними).

Після введення координат натисніть кнопку «Розрахувати» (Calculate). Калькулятор миттєво покаже кінцевий результат відстані разом із детальним покроковим рішенням.

Формула відстані

На двовимірній (2D) координатній площині ви можете знайти відстань d між Точкою 1 (X₁, Y₁) та Точкою 2 (X₂, Y₂) за допомогою стандартної формули відстані між двома точками:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Простіше кажучи, відстань між двома точками у двовимірному просторі — це квадратний корінь із суми квадратів різниць їхніх відповідних координат x та y. Це фундаментальне математичне правило широко відоме як формула евклідової відстані, саме тому наш інструмент часто називають калькулятором евклідової відстані.

Виведення формули евклідової відстані

Щоб краще зрозуміти, як виводиться ця формула, давайте уявимо дві окремі точки на координатній площині (X, Y):

Провівши вертикальну лінію вниз від Точки 2 та горизонтальну лінію від Точки 1, ми утворимо прямокутний трикутник. Гіпотенуза (найдовша сторона) цього трикутника і є прямою відстанню між цими двома точками.

Довжина вертикального катета дорівнює різниці по вертикалі між точками: Y₂ – Y₁. Довжина горизонтального катета дорівнює різниці по горизонталі: X₂ – X₁. Оскільки довжини катетів цього прямокутного трикутника тепер відомі, ми можемо застосувати теорему Піфагора, щоб знайти довжину гіпотенузи:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Приклади розрахунку відстані

Приклад 1: Стандартні координати

Знайдемо відстань між Точкою 1 з координатами (X₁, Y₁) = (3, 1) та Точкою 2 з координатами (X₂, Y₂) = (5, 7). Підставивши значення X₁, Y₁, X₂ та Y₂ у формулу евклідової відстані, ми отримаємо:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Зверніть увагу, що зміна порядку точок не впливає на кінцевий результат. Оскільки різниці між координатами підносяться до квадрата, значення під коренем завжди залишається додатним. Давайте перевіримо це, виконавши обчислення у зворотному порядку. Припустимо, що Точка 1 має координати (5, 7), а Точка 2 — (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

Приклад 2: Від'ємні координати

Розглянемо випадок із використанням від'ємних координат. Ми обчислимо відстань між Точкою 1 (X₁, Y₁) = (-4, 2) та Точкою 2 (X₂, Y₂) = (6, -6). Підставивши ці значення у формулу відстані, отримаємо:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

Застосування в реальному житті

Як було показано вище, формула евклідової відстані безпосередньо базується на теоремі Піфагора. Однак вона адаптує цю теорему для ситуацій, коли відомі лише точні координати точок, а не довжини сторін геометричної фігури. Ця формула є надзвичайно корисною для обчислення відстаней на основі GPS-координат, картографічних даних або комп'ютерної графіки. Вона також слугує базовим математичним концептом для знаходження модулів комплексних чисел і векторів.

Приклад 3: Драбина, прихилена до стіни

Уявіть драбину, прихилену до стіни. У цьому практичному сценарії підлога виконує роль осі X нашої двовимірної площини, а стіна — осі Y, як показано на малюнку нижче. Якщо драбина спирається на стіну в точці (0, 2) і торкається підлоги в точці (3, 0), як визначити її загальну довжину?

Рішення

Щоб знайти довжину драбини на цій площині, нам спочатку потрібно визначити координати її кінцевих точок: (X₁, Y₁) та (X₂, Y₂).

Давайте позначимо точку, де драбина торкається стіни, як Точку 1 (X₁, Y₁), а місце контакту з підлогою — як Точку 2 (X₂, Y₂). З умови задачі відомо, що драбина спирається на стіну в координатах (0, 2). Отже:

X₁ = 0, Y₁ = 2

Зверніть увагу, що X₁ = 0. Як видно на ілюстрації, початкова точка (0, 0) — це фізичний кут, де підлога зустрічається зі стіною, тому від'ємні значення відстані в цьому контексті є неможливими.

Далі, ми знаємо, що драбина торкається підлоги в координатах (3, 0). Відповідно:

X₂ = 3, Y₂ = 0

Тут Y₂ = 0, оскільки нижній край драбини стоїть безпосередньо на підлозі. Тепер залишається лише застосувати формулу відстані, щоб обчислити довжину драбини:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

Відповідь

Довжина драбини становить приблизно 3,6 одиниці.

Обчислення відстані у тривимірному (3D) просторі

Термін «евклідова відстань» означає саме те, що більшість людей у повсякденному житті називає просто «відстанню». Коли ви кажете, що об'єкт розташований за 5 метрів від вас, ви описуєте саме його евклідову відстань. Зручність розглянутої 2D-формули полягає в тому, що її можна легко адаптувати для трьох (або навіть більшої кількості) вимірів.

Щоб знайти відстань між двома точками у 3D-просторі — Точкою 1 (X₁, Y₁, Z₁) та Точкою 2 (X₂, Y₂, Z₂) — вам так само потрібно обчислити квадратний корінь із суми квадратів різниць між їхніми відповідними координатами. Формула просто доповнюється ще одним компонентом для осі Z:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$