حاسبة المسافة ثنائية الأبعاد

تساعدك حاسبة المسافة بين نقطتين في إيجاد المسافة الدقيقة بين أي نقطتين على المستوى الديكارتي (ثنائي الأبعاد) متى كانت إحداثياتهما معروفة. وبما أن الخط المستقيم يمثل أقصر مسافة بين نقطتين، تُعد هذه الأداة مثالية للاستخدام كـ حاسبة لطول الخط المستقيم.

تعليمات الاستخدام

تقوم حاسبة المسافة بحساب البعد بين النقطة الأولى (X₁، Y₁) والنقطة الثانية (X₂، Y₂). لإيجاد المسافة بين أي نقطتين، ما عليك سوى إدخال إحداثياتهما في الحقول المخصصة مع اتباع الإرشادات التالية:

• استخدم الفاصلة (,) للفصل بين إحداثيات كل نقطة. على سبيل المثال: أدخل "4,5" في حقل النقطة الأولى (X₁، Y₁) لتعيين الإحداثي السيني (X) بقيمة 4، والإحداثي الصادي (Y) بقيمة 5. إذا كانت الإحداثيات تحتوي على أرقام عشرية، فاستخدم النقطة (.) لفصل العدد الصحيح عن الكسر المتبقي؛ على سبيل المثال: أدخل "4.5,7" لتعيين الإحداثي السيني (X) بقيمة 4.5 والإحداثي الصادي (Y) بقيمة 7.
• تقبل الآلة الحاسبة الأعداد الصحيحة والأرقام العشرية فقط كإحداثيات. لا يُسمح بإدخال الكسور الاعتيادية.
• ترك مسافات (فراغات) بين الإحداثيات ليس أمراً إلزامياً، ولكن يمكنك إضافتها لتسهيل القراءة.

بمجرد إدخال الإحداثيات، انقر على زر "حساب". ستعرض لك الآلة الحاسبة النتيجة النهائية مع خطوات الحل التفصيلية.

معادلة المسافة

على المستوى ثنائي الأبعاد، يمكن إيجاد المسافة (d) بين النقطة الأولى (X₁، Y₁) والنقطة الثانية (X₂، Y₂) باستخدام قانون المسافة بين نقطتين التالي:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

بعبارة أخرى: تُحسب المسافة بين نقطتين في الفضاء ثنائي الأبعاد عن طريق إيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعات الفروق بين الإحداثيات المتقابلة. يُعرف هذا القانون رياضياً باسم معادلة المسافة الإقليدية، ولهذا السبب، يُطلق على هذه الأداة أيضاً اسم حاسبة المسافة الإقليدية.

اشتقاق معادلة المسافة الإقليدية

لفهم كيفية اشتقاق هذا القانون، دعونا نتأمل نقطتين محددتين على المستوى الإحداثي (x، y):

لإيجاد المسافة بين النقطتين 1 و 2، سنقوم برسم خط رأسي متجه لأسفل من النقطة 2، وخط أفقي متجه لليمين من النقطة 1. سيشكل هذان الخطان مع مسار المسافة المطلوبة مثلثاً قائم الزاوية. يتكون الضلع الرأسي لهذا المثلث من المسافة العمودية بين النقطتين (Y₂ - Y₁)، بينما يتكون الضلع الأفقي من المسافة الأفقية بينهما (X₂ - X₁). يمثل وتر هذا المثلث المسافة الدقيقة بين النقطتين. وبما أن أطوال ضلعي القائمة في هذا المثلث معروفة، يمكننا إيجاد طول الوتر بسهولة باستخدام نظرية فيثاغورس:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

أمثلة حسابية

مثال 1

لنقم بحساب المسافة بين النقطة الأولى مع (X₁، Y₁) = (3، 1) والنقطة الثانية مع (X₂، Y₂) = (5، 7). بالتعويض بقيم X₁ و Y₁ و X₂ و Y₂ في معادلة المسافة الإقليدية، نحصل على:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

لاحظ أن تغيير ترتيب النقاط لا يؤثر على النتيجة النهائية، نظراً لأن عملية التربيع تلغي الإشارات السالبة للفروق بين الإحداثيات. دعونا نعيد الحساب السابق مع عكس النقاط، بحيث تكون (X₁، Y₁) = (5، 7) و (X₂، Y₂) = (3، 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

مثال 2

لنتناول مثالاً يحتوي على إحداثيات سالبة لإيجاد المسافة بين النقطة الأولى مع (X₁، Y₁) = (-4، 2) والنقطة الثانية مع (X₂، Y₂) = (6، -6). بالتعويض بهذه القيم في قانون المسافة، نجد أن:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

أمثلة من الحياة الواقعية

كما رأينا سابقاً، يستند قانون المسافة الإقليدية بشكل أساسي إلى نظرية فيثاغورس. ولكنه يكيّف النظرية لتناسب الحالات التي لا نعرف فيها سوى إحداثيات النقاط (بدلاً من أطوال أضلاع المثلث التي تعتمد عليها نظرية فيثاغورس). تُعد هذه المعادلة أداة بالغة الأهمية عند الحاجة إلى حساب المسافات بين الإحداثيات الجغرافية على الخريطة أو الرسم البياني، كما تُستخدم على نطاق واسع في حساب مقادير الأعداد المركبة والمتجهات الفيزيائية.

مثال 3

تخيل سلماً يستند إلى حائط. في هذا السيناريو، تمثل الأرضية المحور السيني (X) في المستوى ثنائي الأبعاد، بينما يمثل الحائط المحور الصادي (Y)، كما هو موضح في الشكل أدناه. إذا كان السلم يلامس الحائط عند النقطة (0، 2) ويلامس الأرض عند النقطة (3، 0)، فما هو طول السلم؟

خطوات الحل

لإيجاد طول السلم في هذا المستوى ثنائي الأبعاد، يجب علينا أولاً تحديد إحداثيات طرفي السلم: X₁ و Y₁ و X₂ و Y₂. لنفترض أن النقطة التي يلامس فيها السلم الحائط هي النقطة 1 (X₁، Y₁)، والنقطة التي يلامس فيها الأرض هي النقطة 2 (X₂، Y₂). نعلم أن السلم يلامس الحائط عند الإحداثيات (0، 2). بالتالي، (X₁، Y₁) = (0، 2)

X₁ = 0, Y₁ = 2

لاحظ أن X₁ = 0، وهو أمر منطقي كما يظهر بوضوح في الرسم التوضيحي أعلاه، حيث تتطابق النقطة (0، 0) مع زاوية التقاء الحائط بالأرض، مما يجعل القيم السالبة للإحداثيات X و Y غير ممكنة هندسياً في هذا السياق.

علاوة على ذلك، نعلم أن السلم يلامس الأرض عند النقطة ذات الإحداثيات (3، 0). وبناءً عليه، (X₂، Y₂) = (3، 0)

X₂ = 3, Y₂ = 0

نلاحظ أيضاً أن Y₂ = 0 لأن هذه النقطة تقع مباشرة على مستوى الأرض. الآن، نطبق معادلة المسافة لحساب طول السلم:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

الإجابة

طول السلم هو 3.6 تقريباً.

المسافة في الفضاء ثلاثي الأبعاد

المسافة الإقليدية هي المفهوم الشائع الذي يقصده معظم الناس عند ذكر كلمة "المسافة". فعندما نقول إن جسماً ما يبعد عنا مسافة 5 أمتار، فنحن نتحدث فعلياً عن المسافة الإقليدية. ومن المثير للاهتمام أنه يمكن توسيع نطاق معادلة المسافة المذكورة أعلاه بسهولة لتشمل الفضاء ثلاثي الأبعاد (بل وحتى أبعاداً أعلى!).

في الفضاء ثلاثي الأبعاد (3D)، تُحسب المسافة بين النقطة الأولى ذات الإحداثيات (X₁، Y₁، Z₁) والنقطة الثانية ذات الإحداثيات (X₂، Y₂، Z₂) بإيجاد الجذر التربيعي لمجموع مربعات الفروق بين الإحداثيات الثلاثة المتقابلة:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$