2D距離計算機

この「2点間の距離計算ツール」は、平面上にある2点の座標から、その間の距離を正確に計算します。本ツールは2次元（2D）空間に対応しています。

2点間を結ぶ直線は最短距離を表すため、このツールは「線分の長さ計算機」としてもご活用いただけます。

使用方法

この計算機は、点1（座標：X₁, Y₁）と点2（座標：X₂, Y₂）の2点間の距離を算出します。

距離を求めるには、対応する入力フィールドに各点の座標を入力してください。座標の入力ルールは以下の通りです：

• 各点のX座標とY座標は、カンマ（,）で区切って入力します。例えば、(X₁, Y₁) フィールドに「4, 5」と入力すると、点1のX座標が4、Y座標が5に設定されます。小数を入力する場合は、小数点（.）を使用してください。例えば、X座標が4.5、Y座標が7の点を作成するには、「4.5, 7」と入力します。
• 座標として入力できるのは、整数と小数のみです。分数はご利用いただけません。
• 座標の間のスペース（空白）は必須ではありませんが、見やすくするために入力しても問題ありません。

座標を入力し、「計算」ボタンをクリックすると、最終的な計算結果（距離）と詳細な計算手順（解法アルゴリズム）が表示されます。

2点間の距離を求める公式（距離の公式）

2次元（2D）平面上において、点1（X₁, Y₁）と点2（X₂, Y₂）の間の距離dは、以下の公式を用いて計算できます：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

言い換えると、2次元空間における2点間の距離は、「各座標の差の2乗の和」の平方根（ルート）として求められます。この数式は「ユークリッド距離の公式」として知られており、本ツールも「ユークリッド距離計算ツール」と呼ばれることがあります。

ユークリッド距離の公式の導出

この公式を導き出すために、(X, Y) 座標平面上の2つの点を見てみましょう：

点1と点2の間の距離を求めるために、点2から下に向かって垂線を、点1から右に向かって水平線を引きます。これにより、これら2本の線と求めたい距離（点1と点2を結ぶ線分）で直角三角形が形成されます。

この直角三角形の垂直方向の辺（高さ）は、点1と点2の間の垂直距離である Y₂ - Y₁ となります。水平方向の辺（底辺）は、2点間の水平距離である X₂ - X₁ となります。そして、この直角三角形の斜辺が、求めたい2点間の距離を表します。

直角三角形の底辺と高さの長さが分かっている場合、斜辺の長さは「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」を用いて導き出すことができます：

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

計算例

例 1

点1の座標を (X₁, Y₁) = (3, 1)、点2の座標を (X₂, Y₂) = (5, 7) としたときの2点間の距離を計算してみましょう。ユークリッド距離の公式に X₁、Y₁、X₂、Y₂ の値を代入すると、以下のようになります：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

※計算の際、点の順序を逆にしても、座標間の差は2乗されるため最終的な結果は変わりません。実際に (X₁, Y₁) = (5, 7) と (X₂, Y₂) = (3, 1) として同じ計算をしてみましょう：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

例 2

次に、負の座標が含まれるケースを見てみましょう。点1の座標が (X₁, Y₁) = (-4, 2)、点2の座標が (X₂, Y₂) = (6, -6) の間の距離を計算します。ユークリッド距離の公式にそれぞれの値を代入すると、以下のようになります：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

実用的な活用例

前述の通り、ユークリッド距離の公式は「三平方の定理（ピタゴラスの定理）」に基づいています。この定理を応用することで、三角形の辺の長さが分からなくても、点の座標さえ分かっていれば距離を求めることが可能です。

この公式は、地図上やグラフ上の座標から2点間の直線距離を計算する際に非常に役立ちます。また、複素数の絶対値やベクトルの大きさを計算する数学的処理など、様々な分野で活用されています。

例 3

はしごが壁に立てかけられている状況を想像してみましょう。以下の図に示すように、床を2次元平面のX軸、壁をY軸と見立てます。はしごが座標 (0, 2) の点で壁に接し、座標 (3, 0) の点で床に接しているとき、はしごの長さを求めます。

解法

壁と床によって形成される2次元平面上で、はしごの長さを計算します。まず、はしごの両端の座標（X₁, Y₁ および X₂, Y₂）を特定しましょう。

はしごが壁に接している点を「点1 (X₁, Y₁)」、床に接している点を「点2 (X₂, Y₂)」とします。 壁との接点の座標は (0, 2) であるため、(X₁, Y₁) = (0, 2) となります：

X₁ = 0, Y₁ = 2

上の図からも分かるように、X₁ = 0（つまり原点 (0, 0)）は壁と床が交わる物理的な点に対応します。したがって、この実例ではXやYに負の値が入ることはありません。

また、はしごが床と接している点の座標は (3, 0) であるため、(X₂, Y₂) = (3, 0) となります：

X₂ = 3, Y₂ = 0

Y₂ = 0 となるのは、この点が直接床（X軸）の上にあるためです。次に、距離の公式を使用して、はしごの長さ（2点間の距離）を計算してみましょう：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

回答

はしごの長さは約 3.6 となります。

3D（3次元）空間での距離

「ユークリッド距離」とは、日常生活で私たちが一般的に「距離」と呼んでいるもののことです。例えば、「対象物が私たちから5メートル離れている」と言うときの直線距離が、まさにユークリッド距離にあたります。そして、先ほど説明した2次元の距離公式は、3次元（あるいはそれ以上の多次元）空間にも簡単に拡張することができます。

3次元（3D）空間において、点1（座標：X₁, Y₁, Z₁）と点2（座標：X₂, Y₂, Z₂）の間の距離は、「対応する各座標の差の2乗の和」の平方根として、以下の公式で計算できます：

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$