Máy tính công thức tính khoảng cách

Công cụ tính toán này giúp bạn dễ dàng tìm ra khoảng cách giữa hai điểm trên mặt phẳng tọa độ 2D (không gian hai chiều) khi biết trước tọa độ của chúng. Vì đoạn thẳng luôn biểu diễn khoảng cách ngắn nhất giữa 2 điểm, nên công cụ này cũng chính là một máy tính độ dài đoạn thẳng cực kỳ tiện lợi và chính xác.

Cách sử dụng

Công cụ này sẽ tính toán khoảng cách giữa Điểm 1 có tọa độ (X₁, Y₁) và Điểm 2 có tọa độ (X₂, Y₂). Để bắt đầu, bạn chỉ cần nhập tọa độ của hai điểm vào các ô tương ứng theo hướng dẫn sau:

• Sử dụng dấu phẩy để ngăn cách hoành độ và tung độ của một điểm. Ví dụ: nhập "4,5" vào trường (X₁, Y₁) để biểu diễn Điểm 1 có hoành độ x là 4 và tung độ y là 5. Nếu tọa độ là số thập phân, hãy sử dụng dấu chấm để ngăn cách phần nguyên và phần thập phân; ví dụ: nhập "4.5, 7" để biểu diễn một điểm có hoành độ x là 4,5 và tung độ y là 7.
• Công cụ chỉ chấp nhận giá trị tọa độ là số nguyên hoặc số thập phân. Không hỗ trợ định dạng phân số.
• Việc thêm khoảng trắng giữa các tọa độ (sau dấu phẩy) là không bắt buộc, nhưng bạn có thể thêm vào để dễ nhìn hơn.

Sau khi nhập xong tọa độ, hãy nhấn nút “Tính toán” (Calculate). Công cụ sẽ trả về kết quả cuối cùng kèm theo các bước giải chi tiết.

Công thức tính khoảng cách

Trên mặt phẳng tọa độ 2D, khoảng cách d giữa Điểm 1 (X₁, Y₁) và Điểm 2 (X₂, Y₂) được tính bằng công thức sau:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Nói cách khác: khoảng cách giữa 2 điểm trong không gian 2 chiều bằng căn bậc hai của tổng bình phương hiệu số giữa các tọa độ tương ứng (hoành độ và tung độ). Đây được gọi là Công thức khoảng cách Euclide. Do đó, công cụ này cũng có thể được gọi là máy tính khoảng cách Euclide.

Cách xây dựng công thức khoảng cách Euclide

Để chứng minh và xây dựng công thức này, hãy xét hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng tọa độ (X, Y):

Từ Điểm 1, kẻ một đường thẳng nằm ngang sang phải. Từ Điểm 2, kẻ một đường thẳng đứng hướng xuống. Hai đường thẳng này cắt nhau tạo thành một tam giác vuông, trong đó cạnh huyền chính là khoảng cách cần tính giữa hai điểm.

Độ dài cạnh góc vuông đứng của tam giác bằng chênh lệch tung độ giữa Điểm 2 và Điểm 1: Y₂ – Y₁. Độ dài cạnh góc vuông ngang bằng chênh lệch hoành độ giữa hai điểm: X₂ – X₁. Theo định lý Pytago (Pythagoras), bình phương độ dài cạnh huyền bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông. Ta có:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

Ví dụ tính toán

Ví dụ 1

Bài toán: Tính khoảng cách giữa Điểm 1 (X₁, Y₁) = (3, 1) và Điểm 2 (X₂, Y₂) = (5, 7). Thay các giá trị X₁, Y₁, X₂, Y₂ vào công thức khoảng cách Euclide, ta có:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Cần lưu ý rằng việc hoán đổi thứ tự của hai điểm sẽ không làm thay đổi kết quả cuối cùng, vì bình phương của một số âm vẫn là số dương. Hãy thử tính toán lại bằng cách đảo ngược thứ tự: giả sử (X₁, Y₁) = (5, 7) và (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6,32$$

Ví dụ 2

Cùng xét một ví dụ với tọa độ âm: Tìm khoảng cách giữa Điểm 1 (X₁, Y₁) = (-4, 2) và Điểm 2 (X₂, Y₂) = (6, -6). Tiếp tục thay các giá trị này vào công thức, ta được:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12,8$$

Ví dụ thực tế

Như đã trình bày, công thức khoảng cách Euclide thực chất là một ứng dụng của định lý Pytago. Tuy nhiên, nó cho phép bạn tính toán trực tiếp thông qua tọa độ của các điểm thay vì phải biết trước độ dài các cạnh của tam giác. Công thức này vô cùng hữu ích trong thực tế, đặc biệt khi đo đạc khoảng cách giữa các tọa độ trên bản đồ, trên đồ thị biểu đồ, hay tính toán độ lớn của số phức và vectơ.

Ví dụ 3

Hãy tưởng tượng có một chiếc thang đang dựa vào tường. Trong ví dụ này, mặt sàn tượng trưng cho trục x và bức tường tượng trưng cho trục y của mặt phẳng 2D, như minh họa trong hình dưới đây. Nếu thang chạm tường tại vị trí có tọa độ (0, 2) và chạm mặt sàn tại vị trí (3, 0), hãy tính chiều dài của chiếc thang.

Lời giải

Để tìm chiều dài của chiếc thang trên mặt phẳng tọa độ tạo bởi bức tường và mặt sàn, trước tiên ta cần xác định tọa độ các điểm tiếp xúc của thang: X₁, Y₁, X₂, Y₂.

Gọi điểm thang chạm vào tường là Điểm 1 (X₁, Y₁) và điểm thang chạm mặt sàn là Điểm 2 (X₂, Y₂). Ta biết thang chạm tường tại điểm có tọa độ (0, 2). Do đó:

X₁ = 0, Y₁ = 2

Lưu ý rằng X₁ = 0 là vì điểm (0, 0) chính là gốc tọa độ - vị trí thực tế nơi bức tường giao với mặt sàn. Do đó, tọa độ X và Y ở đây không thể mang giá trị âm.

Tương tự, ta biết thang chạm mặt sàn tại điểm có tọa độ (3, 0). Do đó:

X₂ = 3, Y₂ = 0

Ở đây Y₂ = 0 vì điểm này nằm ngay trên mặt sàn. Bây giờ, áp dụng công thức khoảng cách để tính chiều dài của thang:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3,6$$

Đáp án

Chiều dài của chiếc thang xấp xỉ 3,6 đơn vị.

Khoảng cách trong không gian 3D

"Khoảng cách Euclide" thực chất chính là thuật ngữ hàn lâm của khái niệm "khoảng cách" thông thường mà chúng ta hay nhắc đến. Khi chúng ta nói một vật cách chúng ta 5 mét, đó chính là khoảng cách Euclide. Tuyệt vời hơn, công thức khoảng cách 2D nêu trên có thể dễ dàng được mở rộng cho không gian 3 chiều (3D), hoặc thậm chí là không gian nhiều chiều hơn nữa!

Trong không gian 3 chiều, khoảng cách d giữa Điểm 1 có tọa độ (X₁, Y₁, Z₁) và Điểm 2 có tọa độ (X₂, Y₂, Z₂) được tính bằng căn bậc hai của tổng bình phương hiệu số giữa các tọa độ tương ứng (trục x, trục y và trục z):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$