거리 공식 계산기

이 계산기는 2차원 평면 상에서 좌표가 주어진 두 점 사이의 거리를 정확하고 빠르게 구해주는 도구입니다.

두 점을 잇는 직선은 최단 거리를 의미하므로, 이 도구는 선분 길이 계산기로도 유용하게 활용할 수 있습니다.

사용 방법

이 계산기는 (X₁, Y₁) 좌표를 가진 점 1과 (X₂, Y₂) 좌표를 가진 점 2 사이의 거리를 계산합니다.

두 점 사이의 거리를 구하려면 지정된 입력 필드에 각 점의 좌표를 입력해 주세요. 좌표 입력 시 다음 규칙을 참고하시기 바랍니다.

• 각 점의 x좌표와 y좌표는 쉼표로 구분해야 합니다. 예를 들어, x좌표가 4이고 y좌표가 5인 점 1의 경우 (X₁, Y₁) 필드에 "4,5"를 입력합니다. 소수점이 포함된 좌표를 입력할 때는 정수 부분과 소수 부분을 마침표로 구분합니다. 예를 들어 x좌표가 4.5이고 y좌표가 7인 경우에는 "4.5,7"을 입력하세요.
• 좌표 값으로는 정수와 소수만 입력할 수 있으며, 분수는 지원되지 않습니다.
• 쉼표 뒤에 공백을 넣을 필요는 없지만, 가독성과 편의를 위해 띄어쓰기를 추가해도 무방합니다.

좌표 입력을 마친 후 "계산" 버튼을 클릭하세요. 계산기가 두 점 사이의 거리 결과와 함께 상세한 계산 과정(풀이 알고리즘)을 제공할 것입니다.

거리 계산 공식

2차원 좌표 평면에서 점 1 (X₁, Y₁)과 점 2 (X₂, Y₂) 사이의 거리 $d$는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다.

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

즉, 2차원 공간에서 두 점 사이의 거리는 x좌표와 y좌표 차이를 각각 제곱하여 더한 값의 양의 제곱근으로 정의됩니다. 이 공식은 수학적으로 유클리드 거리(Euclidean Distance) 공식으로 잘 알려져 있으며, 본 도구를 유클리드 거리 계산기라고 부르기도 합니다.

유클리드 거리 공식 유도 과정

이 공식이 어떻게 도출되었는지 (X, Y) 좌표 평면 위의 두 점을 통해 살펴보겠습니다.

두 점 사이의 거리를 구하기 위해, 점 2에서 아래로 수직선을 긋고 점 1에서 오른쪽으로 수평선을 긋습니다. 이 두 선과 두 점을 잇는 직선은 직각삼각형을 만듭니다. 여기서 수직 변의 길이는 두 점 사이의 수직 거리인 Y₂ – Y₁이 되고, 수평 변의 길이는 수평 거리인 X₂ – X₁이 됩니다. 직각삼각형의 빗변은 우리가 구하고자 하는 두 점 사이의 거리를 나타냅니다.

직각삼각형의 두 변의 길이를 알고 있으므로, 피타고라스의 정리를 적용하여 빗변의 길이를 계산할 수 있습니다.

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

거리 계산 예시

예제 1

점 1 (X₁, Y₁) = (3, 1)과 점 2 (X₂, Y₂) = (5, 7) 사이의 거리를 구해 봅시다. X₁, Y₁, X₂, Y₂의 값을 유클리드 거리 공식에 대입하면 다음과 같습니다.

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

공식에서는 두 좌표 차이를 제곱하므로, 점의 순서를 바꾸어 계산하더라도 최종 결과는 달라지지 않습니다. 점 1을 (5, 7), 점 2를 (3, 1)로 가정하고 계산을 다시 수행해 보겠습니다.

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

예제 2

이번에는 음수 좌표가 포함된 경우를 살펴봅시다. 점 1 (X₁, Y₁) = (-4, 2)와 점 2 (X₂, Y₂) = (6, -6) 사이의 거리를 구해 보겠습니다. 주어진 값을 유클리드 거리 공식에 대입하면 다음과 같습니다.

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

앞서 확인한 바와 같이, 유클리드 거리 공식은 피타고라스의 정리를 기반으로 합니다. 다만 삼각형의 변의 길이를 직접 사용하는 대신, 알려진 좌표값만으로 거리를 구한다는 점이 다릅니다. 이 공식은 지도나 그래프 상의 특정 좌표 간 거리를 계산할 때 매우 유용하며, 나아가 복소수나 벡터의 크기를 계산하는 수학적 분석에도 널리 활용됩니다.

예제 3

벽에 비스듬히 기대어 있는 사다리를 상상해 봅시다. 이 상황을 2차원 평면으로 모델링하면 바닥은 x축, 벽은 y축이 됩니다. 상황은 아래 이미지와 같습니다. 사다리가 벽의 (0, 2) 지점에 닿고, 바닥의 (3, 0) 지점에 닿을 때, 이 사다리의 전체 길이를 구해 보겠습니다.

해설

벽과 바닥이 이루는 2차원 좌표 평면에서 사다리의 길이를 구하려면 가장 먼저 사다리 양 끝점의 좌표 (X₁, Y₁)와 (X₂, Y₂)를 설정해야 합니다. 사다리가 벽과 닿는 지점을 점 1 (X₁, Y₁)로, 바닥과 닿는 지점을 점 2 (X₂, Y₂)로 정하겠습니다. 사다리가 (0, 2) 좌표에서 벽과 만나므로 (X₁, Y₁) = (0, 2)가 됩니다.

X₁ = 0, Y₁ = 2

여기서 X₁ = 0이라는 것은 위의 이미지에서 벽과 바닥이 만나는 물리적 모서리가 원점 (0, 0)임을 명확히 보여줍니다. 실제 물리적 공간을 다루고 있으므로 사다리 예제에서는 X와 Y 좌표의 음수 값이 존재할 수 없습니다.

또한 사다리가 (3, 0) 좌표에서 바닥에 닿으므로 (X₂, Y₂) = (3, 0)이 됩니다.

X₂ = 3, Y₂ = 0

Y₂ = 0이라는 것은 해당 지점이 바닥면(x축)에 완벽히 밀착해 있음을 의미합니다. 이제 거리 공식을 사용하여 사다리의 길이를 계산해 보겠습니다.

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

정답

사다리의 길이는 3.6입니다.

3차원 공간에서의 거리 계산

우리가 일상생활에서 물리적인 "거리"라고 부르는 개념은 대부분 유클리드 거리를 의미합니다. 예를 들어 "그 물체가 나에게서 5미터 떨어져 있다"라고 말할 때, 우리가 염두에 두는 직선거리가 바로 유클리드 거리입니다. 앞서 설명한 2차원 거리 공식은 3차원 공간이나 그 이상의 다차원 공간으로도 쉽게 확장하여 적용할 수 있습니다.

3차원 공간에서 좌표 (X₁, Y₁, Z₁)를 가진 점 1과 좌표 (X₂, Y₂, Z₂)를 가진 점 2 사이의 거리는 각 축의 좌표 차이를 제곱하여 더한 값의 제곱근으로 동일하게 계산할 수 있습니다.

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$